Задачи

29

Задание

1. Можно ли на 24 полях обчченной шахматной доски расставить крестики так, чтобы при вычеркивании любых трех горизонталей и трех вертикалей оставались невычеркинутыми не менее шести крестиков?

2. Пусть $A$ — натуральное число. Обозначим через $b$ число, образованное двумя последними цифрами числа $A$, через $a$ — число, образованное остальные цифрами числа $A$ (например, для $A=2906$ получаем $a=29$, $b=06=6$). Докажите, что число $A$ делится на 7 тогда и только тогда, когда $a$) $2a+b$ делится на 7; 6) $5a-b$ делится на 7.

3. Существует ли такой год, в котором тринадцатое число ни разу не является попедельником? А какое наиболее число раз оно может быть попедельником?

4. На каждой из сторон треугольника $ABC$ построено по прямогольнику так, что они попарно касаются вершинами (см. рисунок). Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника $ABC$ с соответствующими вершинами образовавшегося треугольника $A_1B_1C_1$, пересекаются в одной точке.

5. Можно ли из квадрата размером $5\times5$ клеток вырезать одну клетку так, чтобы получившуюся фигуру можно было разрезать по линейным сетки на восемь прямогольных полосок размером $1\times3$ клетки?

Эти задания нам предложили Ф. Бартенев.
А. Картузов, А. Савин.