Семинар руководителей НОУ

49

шадь обшей части «старого» и «нового» квадратов.

18. Правильный треугольник со стороны $a$ повернуть вокруг центра на $60^\circ$. Найдите площадь обшей части.

19. Докажите, что если соединить середины сторона выпukлого четырехугольника, то получится параллелограмм. Когда этот параллелограмм будет ромбом? Квадратом?

20. При каком значении $a$ угол между векторами $\vec{x} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ и $\vec{y} = a\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$ равен arccos $\frac{1}{2\sqrt{3}}$?

Физика

Задание устного экзамена

1. С крыши здания высотой $H = 16$ м через одинаковые промежутки времени падают калли воды, причем первая удержается о землю в тот момент, когда пята отделяется от крыши. Найдите расстояния между соседними каллими в момент удара первой о землю.

2. Посередние узкой запаянной с обих концов горизонтальной трубки находится стольник рути님 длиной $l = 0,1$ м. В обих половинах трубки содержится воздуха под давлением $p = 76$ мм рт. ст. На какое расстояние переместится стольник рути님, если трубку поставить вертикально? Длина трубки $L = 1$ м.

3. На сколько надо нагреть воздуха внутри сообщающегося с atmosферой воздуханого шара, сферическая оболочка которого имеет диаметр $d = 10$ м и массу $m = 10$ кг, чтобы шар взлетел? Atmosферное давление $p = 735$ мм рт. ст., температура $t = 27^\circ\text{C}$, молярная масса воздуха $\mu = 29$ г/mоль. Универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ Дж/(моль·К).

4. Найдите направления на конденсаторхемкость $C_1$ и $C_2$ в цепи, показанной на рисунке, если известно, что при коротком замыкнии ток через источник возрастает в 3 раза. ЭДС источника равна $\varepsilon$.

5. Расстояние между электрической лампокой и экраном $l = 1$ м. При каких положениях собираемой линии с фокусным расстоянием $F_1 = 0,21$ м изобравнение ниги лампоки будет отсутствивым? Будет ли изобравнение отсутствивым, если фокусное расстояние линии равно $F_2 = 0,26$ м?

Публикация подготовили
А. Красная, М. Мирзахмедов,
Р. Худайберганов, В. Ясколко

Информация

Семинар руководитель НОУ

Коллегия Министерства просвещения СССР, Секретарnat ЦК ВЛКСМ, Предидум Всесоизного совета научно-технических обществ, Правление Всесоюзного общества «Знание» провели 2—4 декабря 1981 года в г. Кищинне междуреспубликанским семинар-совещание руководителем и организаторов научных обществ учащихся. Целью совещания было дальнейшее совершенствование деятельности по развитию познавательной активности школьников, пропаганды среди них достижения науки, технически и производства, литературы и искусства, обобщение опыта работы научных обществ учащихся, укрепление связи школь и промышленных предприятий, вызов, научных учреждений.

На совещание приехали около 200 представителей из всех соизных ресурсных. В программе совещания была работа секций, беседа «за круглым столом», посещение занятой школьных секций Молдавского НОУ «Винторул». На совещании выступали не только представителей таких известных НОУ, как «Винторул», обведняющего школьников всея Молдавин, луреат премии Ленинского комсомола Челябинское НОУ, Симферопольское, Волгоградское, но и руководители совсем молдовых школьных НОУ.

В выступлении учатников отмечалось, что НОУ имеет очень большое значение, так как членов НОУ, работающие в секциях, связанных с взятием избиратями, в дальнейшем избирают профессию, связанную с професлом их работы в НОУ. Велики возможности НОУ по части малой автоматизации на небольших предприятиях, на которых нет шатных специалистов в этой области. Эти возможности используют — между таким представителем и секцией НОУ часто заключается договор, и член секции разрабатывает прибор и устройство, которые затем внедряются на данном предприятии. При этом учащиеся чувствуют себя сопротивлением к создательному труду, видят результаты своей работы, ее общественного полезности. Всего в ходе совещания было 100 предложений по лучшению и совершенствованию работы и руководства НОУ. Orgnанизаторы представили учатникам семинара методического литературы о работе НОУ Кищиннева, Челябинска, Волгограда, Иванова, Ростова-на-Дону, Киева, Московы и других городов.

Заметим, что материалы, освещющие опыт работы лучших НОУ, регуляро публикуются на страницах журналов «Математика в школе», «Физика в школе», «Народное образование», «Воспитание школьников», «Юный техник», «Техника и наука» и «Квант».

50

Заочная школа программирования

Двацатый урок, опубликованный в предыдущем номере «Кванта», стал последним в трехлетнем цикле Заочный школа программирования. Наступило время оглянуться назад и подвести первые итоги.

---

Когда в 1979 г. в «Кванте» открылась рубрика «Искусство программирования» и был опубликован первый урок Заочной шкoles, мы, конечно, не знали, каков будет открытик наших читателей на это начание. Нужно сказать, что среди прогнозы были и весы скептические. Однако результатыprevзошли самые оптимстические ожидания. Поток писем со всех угловов СССР и из-зарубежа с надписью «ЗШП, урок 1», все нарастая, прямо-tаки наводил помещение шкoles в Отделе информации ВЦ Сибирского отделения Академии наук, возглавляемом членом-корреспондентом АН СССР А. П. Ершовым. Пришло более 4000 писем, каждое из которых надо было тщательно проверить и быстро отправить ответ — и это без специального штана проверяющих! Тогда организаторы выручили приведение на помощь новосибирские юные программы, такие же школьники, как учащиеся ЗШП, только с большим программистским станем.

Постепенно наладилась организация проверки заданий, и, хотя штатных работников не прибавилось, нашлись в разных городах страны энтузиясты — было создано 5 региональных центров (филиалов ЗШП). Конечно, не все шло гладко — отсутствие специальства по программированию среди редакторов журнала, огромное расстояние между редакцией и новосибирскими авторами уроков привело к определенным трудностям (в частности, к досадным опечаткам). Слишком больше число желаюших учиться в ЗШП не позволило нам паралельно вести с 1980 года два курса, а с 1981 года — три, как первоначально планировалось.

Но все же мы довольны итогами. Около 1000 ребят — наш первый выпуск — в июне получат удостоверения об окончании трехгодичного курса ЗШП. Лучшим учащимся надолго заполнилиись Новосибирские летние шкoles юных программистов (см. «Квант», 1979, № 12 и 1980, № 12, а также статю Г. Звенигородского в следующем номере), где им довелось непосредственно паработать на современной вычислительной технике, и Ленинградская конференция по школьной информацией (о ней «Квант» еще написет).

Заочная школа программирования продолжит свою работу (с осени) так же, как квантовская рубрика «Искусство программирования». В ней будут печататься материалы не только для учащихся ЗШП, но и для всех, кто интересуется программированием и вычислительной технике. А доступные всем читателям материалы по этой тематике будут публикаться в обшем разделе журнала.

---

В качестве последнего материала нынешнего цикла ЗШП, мы в этом номере публикуем материал о сортировке, дополнительной Урок 19, но не помещившийся в «Кванте» № 3 из-за объема.

52

граничей число элементов массива без единицы.

Нижней границей можно считать число 2. Действительно, определять элемент с минимальным значением ключа не сложно. Процедура min(m) (ее описание здесь не приводится; трудолюбивый читатель может описать ее самостояльно) обнаруживает в массиве m элемент с минимальным значением ключа и переставляет его на первое место в массиве, сохраняя при этом порядок всех остальных элементов. В такой массиве первые два элемента обязательно упорядочены. Тогда, начиная с n=2, можно применять процедуру включение(m, n). Тот факт, что на первом месте с самого начала оказывается минимальный элемент, и позволяет переменную номер цикла в процедуре включение инциализировать значением 2.

При наличии описаний процедур min(m) и включение алгоритм сортировки включает записьяется procedure *sort включение(var m: массив); var n:integer; begin min(m); for n:=2 to 999 do включение(m, n) end; Сортировка включаем заменатель тем, что она практически не расходует дополнительной памяти: элементы массива сортируют, не выходя за пределы выделенной массиву памяти. Место для единственного элемента, куда приходит посылать элемент m [номер] на время смешения «хвостовой» части массива при очередном обращении к процедуре включение, безусловно, можно считать пребрежимо мальм.

Однако эта сортировка работает медленно. Алгоритм используетprimерно k обращений к процедуре включение (к — число элементов массива). При n-м обращении к этой процедуре выполняетсяprimерно n сравнения. В целом примерное число выполнения процедуры сравнение можно оценить

$$1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{(k+1)}{2} k.$$

Алгоритм сортировки, для которого требуется сравнимое с k^2/2 число сравнений, нельзя назвать быстроствушим: в практических задачах число k было очень большим. Вспомним («Квант» № 2), что сортировка слиянием обходится всего лишь k сравнений.

Не хотите ли попробовать построить алгоритм внешней сортировки включением (упорядочение файла) и оценить его быстроствущее?

С другой позиции подходит к решению задачи метод сортировки распределенем. Этот метод вообще не используется сравнению. Он расчитан на работу с элементами, ключи которых, подобно целым числом или словам, состоит из конечных наборов символов и имеют общий вид.

$$a_1 a_2 \dots a_i \dots a_l.$$

Каждай символ здесь принимает конечному множество, число p элементов которого сравнительно неверло (до нескольких десятиков). Таким является, в частности, буквенный алфавит.

Основу сортировки методом распределения представляет цикл с переменной i, которая имеет начальное значение l, границу 1 и шаг, равный —1: сначала рассматривается последнее буквы слов-ключей, затем предпоследние и т. д. до первого. При каждом выполнении этого цикла все элементы сортируемого файла распределяются по p файлам — «карманам»; для буквенных текстов на русском языке p=33 (32 буквiles плюс пробел). В файл-«карман», соответствующей букве a, попадают элементы, ключи которых в i-й позиции имеют букву a, в следующий «карман» попадают элементы с ключими, в i-й позиции которых стоит буква b, и т. д. Завершается каждое выполнение цикла обединением p файлов-«карманов» в единый файл, который служит объектом следующого выполнения цикла.

Алгоритм предполагает, что все ключи имеют одинаковую длину. Впрочем, это не является ограничением при работе с текстами: длину каждого слова можно принять равной числу l позиций, отведенных для значений ключа в исходном документе или в памяти ЭВМ. Если длина

54

слове — пять — задает число «карманов» $p=5+1=6$. В таблице показан процесс сортировки элементов этого примера.

Тем, кто разобрался в этом простом примере, несомненно понятно будет приводимое ниже описание процедуры, реализующей сортировку методом pasпределения. Несколько предварительных заменений. Речь идет о внешней сортировке. Поэтому предполагается, что описаны type запись = record
ключи: array[1..20] of char
контект: array[1..60] of char
end;
файл = file of запись;
В этой процедуре оказывается удобным механизм указателей (подумайте, почему). Поэтому читатель надо внимательно отнести к уроку 19 Заочной школе в третьем номере «Кванта». Программу помогут понять комментарии, номера которых включены в программу, а тексты приведены после нее. Итак, сортировка распределенем над 33-символьным алфавитом выполняется следующей процедурой:

procedure сортировед (var f:файл; l:integer);
{1}
var i, j: integer;
карман: array [1..33] of ↑файл; {2}
begin
for j to 33 do new(карман/j]);
for i:=l downto 1 do {4}
begin
for j to 33 do rewrite(карман/j)↑;
reset(f);
while NOT eof(f) do {7}
begin
write(карман/число(f↑.ключи/i))↑,f↑);
get(f);
end;
rewrite(f);
for j to 33 do {11}
begin
reset(карман/j)↑;
while NOT eof(карман/j)↑) do
begin
write(f, карман/j)↑);
get(карман/j)↑)
end {кочец цикла, читайтео карман}
end {кочец цикла, обведияюо карманы}
end {кочец основного цикла}
end; {кочец процедуры}

1: $f$ — сортируемый файл; $l$ — длина ключа.
2: карман — это массив, составленный из 33 указателей (по числу промежутных файлов, создаваемых при каждой выполнении цикла по $i$); порядок элементов массива карман соответствует порядку букв в алфавите абв…эюя.
3: Процедура new создает файлы карман $j/j$↑ является указателем переменными по отношению к указателем карман $j/j$ — элементами массива карман (см. урок 19).
4: Основной цикл по буквам ключа от конца к началу.
5: Очистка всех промежутных файлов — «карманов» в цикле; стрелка справа от карманов$j/j$ означает, что в круглых скобках стоит не элемент массива указателей, а значение, которое этим указателем отмечается, то есть файл.
6: Начальная установка файла $f$ для чтения.
7: Цикл чтения записей из файла $f$.
8: Здесь важно разобраться. В этой строке первая и третья стрелки — это обозначения бфера, а средняя символьизирует значение, отмещаемое указателем. Карман$j/j$ есть буква ключа, стоящая на $i$-м (справа) месте; $f↑.ключи$ — поле карманов переменной, то есть в текущей записи файла $f$; число($f↑.ключи/i$) — номер буквы карманов$j/j$ в алфавите абв…эюя, процедура число($x$), преобразующая букву в соответствующей номер, описана в Добавлении о сортировках («Квант» № 2); карман/число($f↑.ключи/i$)/↑ — промежутный файл «карман», определяемый соответствующим выборке указателем; процедура write здесь переписывает букфер $f↑$ в соответствующей файл — «карман».
9: Выборка очередной записи файла $f$.
10. Очистка файла $f$ перед созданием его следующого поколения.
11. Цикл обведения карманов.
12: Установка кармана для чтения из него.
13: Второй параметр процедуры write есть бфера (правая стрелка) файла карманов$j/j$↑.
14. Выборка очередного элемента из кармана. Читатель, заинтересовавшись задачи упорядочения информации, можно порекомендовать для серверного чтения третьий том фундаментального труда Д. Кнута «Искусство программирования на ЭВМ».
Этот том называется «Сортировки и поиск» (М., «Мир», 1978).

Ю. Первин

Поправка
В ответе на задачу I варианта I Московского института электронного машиностроения («Квант», 1982, № 2, с. 60) допущена ошибка. Правильный ответ: $((c; c))$ ($c \in R$) при $a=0$, $(0; 0)$, $(\frac{3}{2}a; \frac{9}{2}a)$, $(\frac{3}{4}a; -\frac{9}{4}a)$

при $a \neq 0$. В условиям I варианта I Ленинградского государственного педагогического института им. А. И. Герцена («Квант», 1982, № 3, с. 47) пропущена опечатака: вместо $\sqrt{ab}+a$ должно быть $\sqrt{ab}+a$.

55

Ответы, указания, решения

Оптические системы

1. Из системы выходит параллельный лучок лучей (система телекоппическая).

2. Изображение находится от линии на расстоянии
   $$f = \frac{Fd}{2d - F}.$$
   Изображение будет действительным при $d > F/2$ и минимум — при $d < F/2$.

3. $F = \frac{n_1R}{2(n_1 - n)}$; график зависимости $F$ от $n$ показан на рисунке 1. Если $n < n_1$, фокусное расстояние объектива положительное (собирающая линза); если $n > n_1$, фокусное расстояние отрицательное (рассеивающая линза); если же $n = n_1$, объектив превращается в плоскопаралельную плоскину с бесконечно большим фокусным расстоянием.

4. Поскольку нарушная поверхность глазарокодила плоская, параллельный лучок лучей не испытывает преломления на этой поверхности, независимо от показателя преломления внешней среды. Поэтому, если даже часть глаза находится в воде, а часть — в воздухе, достаточно удаленная плавающая добавча (частично она находится в воде, а частично — в воздухе) будет хорошо видна krocodилу.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Matematika
Вариант 1

1. $\{5\} \cup [4 + \sqrt{2}; +\infty[$. Комментарий. Многие абитриенты успешно справились с

$$F_{cm}$$
Рис. 1.

этоя задачей. Однако некоторые терили точку $x = 5$, ошибочно полагая, что исходное неравенство равносильно системе
$$\begin{cases} \sqrt{x} - 5 \geqslant 0 \\ \log_{\sqrt{2}}(x - 4) - 1 > 0, \end{cases}$$
упуская при этом из вида решения системы
$$\begin{cases} \sqrt{x} - 5 = 0 \\ \log_{\sqrt{2}}(x - 4) - 1 < 0. \end{cases}$$
2. $\{(-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi l\} (k, l \in \mathbb{Z})$. Решение. Данная система равносильно совокупности двух систем:
$$\begin{cases} \sin x = 0 \\ 2 \sin^2 x - \cos 2y - 2 = 0 \end{cases}$$
$$\begin{cases} \cos y = 0 \\ \sin x \geqslant 0 \\ 2 \sin^2 x - \cos 2y - 2 = 0. \end{cases}$$
Первая из них, оченьindo, решений не имеет, а вторая равносильно системе
$$\begin{cases} \cos y = 0 \\ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}$$
Комментарий. Некоторые абитриенты забывали включить во вторую систему неравенство $\sin x \geqslant 0$ и поэтому получали лишние корни. Некоторые допускали ошибки при решении простейших тригонометрических уравнений; это характерно и для абитриентов, поступивших на другие факультеты МГУ.

3. $18 \frac{1}{3}$ кг. Указание. Пусть $a$ и $b$ — количество соли в первом и втором сосудах соответственно, а $x$ и $y$ — количество испарившей воды. Тогда
   $$p = \frac{a}{5 - x} : \frac{a}{5}, \quad q = \frac{b}{20 - y} : \frac{b}{20},$$
   откуда
   $$x = 5 - 5/p, \quad y = 20 - 20/q, \quad x + y = 25 - \left(\frac{5}{p} + \frac{20}{q}\right).$$
   По условияю $pq = 9$ и $p, q \geqslant 1$; значит, требуется найти наиболее значение функции
   $$f(p) = 25 - \frac{5}{p} - \frac{20p}{9}$$

при $1 \leqslant p \leqslant 9$. Исследованием функции при помощи произвольной или использованным неравенства между средним аргументским и средним геометрическим установливается, что наиболее значение функции (1) на [1; 9] достигается при $p = 3/2$.

4. $2 \left[ \text{ctg}(30^\circ + a/4) + \text{ctg}(30^\circ - a/4) + \sqrt{3} \right]$. Решение. Положим $\text{BAE} = \alpha, \text{ABE} = \beta, \text{BEA} = \gamma$ (рис. 2). Тогда $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ, \beta - \alpha = a$. Величина других CBAD равна 240°, плоскую угол CED опирается на этудугу. Но $BC \parallel AD$, поэтому $AmB = CED = 120^\circ$ и угол BEA, опирающей на дуг AmB, равен 60°. Итак, $\gamma = 60^\circ, \beta - \alpha = a, \alpha + \beta = 120^\circ$, открывающая $\alpha = 60^\circ - a/2, \beta = 60^\circ + a/2, \gamma = 60^\circ$. (2) Пусть $P$ — периметр треугольника $ABE$, а $r$ — радиус вписанной в него окружности

56

(рис. 3). Из шести прямогольных треугольников получаем

$$P = 2r \left( \text{ctg} \left( \alpha/2 \right) + \text{ctg} \left( \beta/2 \right) \right),$$

откуда сразу следует ответ, если воспользоваться (2).

5. $$\frac{1}{4} \left( S + \sqrt{2} \sigma k \sqrt{1-l} \right).$$ Решение. Расстояние метраэдр $ABCD$; обозначим через $K, L, M, N$ середины ребер $AC, BC, BD, AD$ соответственно, через $H$ — расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ и через $S_1$ — площадь среднего сечения $KLMN$ (рис. 4). Показем, что объем $V$ метраэдра $ABCD$ равен $$\frac{2}{3} S_1 H.$$

Для этого достаточно метраэдр $ABCD$ до «клина» (треугольной признамы) $AA_1 A_2 BB_1 B_2$, выбрав точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ так, чтобы $A_1 B_1 \parallel A_2 B_2 \parallel AB$, $|A_1 B_1| = |A_2 B_2| = |AB|$ и $C$, $D$ были серединами отрезков $A_2 B_2$ и $A_1 B_1$ соответственно (рис. 5). Тогда расстояние $H$ от прямой $AB$ до прямой $CD$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB$ до плоскости $A_1 B_1 B_2 A_2$, и поэтому объем $V_2$ клина равен $$\frac{1}{2} S_2 H,$$ где $S_2$ — площадь параллелограмма $A_1 B_1 B_2 A_2$ (см. рис. 6); объем прямой признамы $A_3 A'_2 A_1 B_3 B'_2 B_1$ очень мало равен $$\frac{1}{2} S_2 H$$ и совпадает с объемом клина $AA_2 A_1 BB_2 B_1$). Далее, из подобия $KLMN$ и $A_2 B_2 B_1 A_1$ с коэффициентом 1/2 имеем $S_2 = 4S_1$. Осталось показать, что $V_2 = 3V$. Пусть $F$ — середина $AB$; тогда плоскость $CDF$ разбиает метраэдр $ABCD$ на два равных объема, каждый из которых равен $1/6V_2$ (например, $V_{CDFB} = \frac{1}{3} V_{CDFB_2 B_1 B_2} = \frac{1}{6} V_2$). Формула $V = \frac{2}{3} S_1 H$ доказана.

Площадь искомого сечения равна $$\frac{1}{4} S + S_1,$$ где $S_1$ — площадь среднего сечения метраэдра $BCDE$, параллельного ребром $BC$ и $DE$ (которая равна площади $KLMN$), а $S$ — дано (см. рис. 7). Объем метраэдра $BCDE$ равен $V$, а расстояние между прямыми $BC$ и $DE$ равно $H$, поэтому остается вычислить $V$ и $H$, чтобы найти $S_1$ из формулы $V = \frac{2}{3} S_1 H$. Пусть $r$ — радиус шара, висанного в $BCDE$, $s$ — расстояние от центра висанного шара до прямой $DE$. Тогда $$\frac{s}{H} = k, \quad r = s \sin \frac{\alpha}{2},$$ где $\alpha$ — величина двугранного угла при ребре $DE$. Значит,

$$V = \frac{1}{3} r \sigma = \frac{1}{3} s \left( \sin \frac{\alpha}{2} \right) \sigma =$$

$$= \frac{1}{3} k H \left( \sin \frac{\alpha}{2} \right) \sigma;$$

$$S_1 = \frac{3}{2} \frac{V}{H} = \frac{1}{2} k \left( \sin \frac{\alpha}{2} \right) \sigma.$$

Осталось найти $$\sin \frac{\alpha}{2}.$$ Пусть $(BF) \perp (DE)$ (рис. 8). Тогда $(B'F) \perp (DE)$. Имеем

$$tg B'DE = \frac{|B'F|}{|DF|}, \quad tg BDE = \frac{|BF|}{|DF|},$$

57

Значит, $l = |B'F| : |BF| = \cos \alpha$, откуда

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} = \frac{\sqrt{1-l}}{\sqrt{2}}$$
и, наконец,

$$S_1 = \frac{1}{2\sqrt{2}} k \sqrt{1-l} \sigma.$$

Вариант 2

1. $\{4\} \cup \{5\}; +\infty$ [.
2. $\left\{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k; \frac{\pi}{6} + \pi l\right\} (k, l \in \mathbf{Z})$.
3. 3480 кг. Указание. Задчаа свойства к нахождения наименьшего значения функции $f(k) = 1000(k-1) + 1960\left(\frac{9-k}{k}-1\right)$.
4. $\frac{1}{2(\sin a + \sin 2a + \sin 3a)}$.
5. $\frac{1}{4} (S + \sqrt{2} \sigma k \sqrt{1-\sqrt{1-l^2} \sin^2 \alpha})$. Указание. Решение аналогично решению задачи 5 из варианта 1. Искомая площадь сечения слова равна $S_1 + S/4$ (рис. 9). Достранья тетраэд $BCFG$ до клина, находим объем $BCFG, V = \frac{2}{3} S_1 H$, где $H$ — расстояние между прямыми $FG$ и $BC$. С другой стороны, этот объем равен $V = \frac{1}{3} \sigma r$, где $r$ — радиус вписанного шара.

Вариант 3

1. $] -\infty; -1,4] \cup \{2; 2,6\}$.
2. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbf{Z})$.
3. 20 км.
4. 2 arctg $\frac{\sqrt{17}-3}{2}$. Указание. Чтобы открыть точки экстремума функции $V = \frac{2\pi}{3} \times \left(1 + \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}\right)^2 \times \frac{tg^2 \frac{\alpha}{2} \cdot (1 - \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2})}{tg^2 \frac{\alpha}{2} \cdot (1 - \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2})}$, найдите точки экстремума функции $y = \frac{(1+t)^2}{t^2(1-t)}$.
5. $[-\sqrt{2}; 1] \cup [\sqrt{2}; +\infty$. Указание. $a^3 + (1-\sqrt{2}) a^2 - (3+\sqrt{2}) a + 3\sqrt{2} = (a-\sqrt{2}) (a^2+a-3); (a^2-2)^2 - [a^3 + (1-\sqrt{2}) a^2 - (3+\sqrt{2}) a + 3\sqrt{2}] (a+\sqrt{2}) = -(a^2-2)(a-1)$.

Вариант 4

1. $\{5\}$.
2. $x_1 = \pi k, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} l (k, l \in \mathbf{Z})$.
3. $\frac{147}{8}$.
4. $\frac{9}{4}$.
5. $\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}$. Решение. Пусть $DABC$ — данная парамида, $|AB| = 4, |DC| = 12, |AD| = |DB| = |AC| = |CB| = 7$ (рис. 10). Пусть $M$ — середина $[AB]$, $E$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $D$ на плоскость $ABC$. Тогда $MC \perp AB$ и $EM \perp AB$, то есть точки $E, M$ и $C$ лежат на одной прямой. Из $\triangle ACB$ находится $|MC| = 3\sqrt{5}$, а из $\triangle ADB$ находится $|DM| = 3\sqrt{5}$. В равно-бедренном треугольнике $DMC$ высота $MK$ имеет длину $|MK| = 3$; следовательно, $S_{\triangle DMC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 12 = 18$. С другой стороны, $S_{\triangle DMC} = \frac{1}{2} |DE| \cdot |MC|$. Отсюда $|DE| = \frac{12}{\sqrt{5}}$. Объем парамиды $V = \frac{1}{3} |DE| \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{\sqrt{5}} \cdot 6\sqrt{5} = 24$. Так как $S_{\triangle ADB} = S_{\triangle ABC} = 6\sqrt{5}$ и $S_{\triangle ADC} = S_{\triangle DBC} = 6\sqrt{13}$, сумма площадей всех граней парамиды $S = 12(\sqrt{5} + \sqrt{13})$. Если $r$ — длина радиуса сфереры, то $V = \frac{1}{3} r \cdot S$, откуда $r = \frac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}$. Поскольку плоскость $DMC$ делит пополам двумгранный угол, образованный плоскостями $ADC$ и $BDC$, а плоскость $AKB$ делит пополам двумгранный угол, образованный плоскостями $ADB$ и $ACB$, центр $O$ в плоскости сферы лежит на $[MK]$. Основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на грань $ADB$, лежит на $[DM]$, а основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на грань $ABC$, лежит на $[MC]$. Длины этих перпендикуров равны $r$ (рис. 11). Искомое расстояние $[OK]$ находится $S_{\triangle DMC} = \frac{1}{2} r \cdot |DM| + \frac{1}{2} r \cdot |MC| + \frac{1}{2} |OK| \cdot |DC|$.

Вариант 5

58

Рис. 12.

2. $\left\{ \frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{2}, \frac{\sqrt{2}-1-\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{2} \right\}$. Заметание. Догадавшись (при помощи теоремы Виета), что квадратное уравнение $t^2+(1-\sqrt{2})t-\sqrt{2}=0$ имеет корни $\sqrt{2}$ и $-1$, или применить легко проверяемое тожество $\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$, ответ можно записать в виде $\left\{ \frac{1}{10}, 10^{\sqrt{2}} \right\}$.

3. 4,5.

4. 22,5. Указание. Проведите через $O$ перпендикуляр $KL$ к $BC$ (рис. 12). При симметричной относительной $KL$ точка $C$ перейдет в точку $B$, а точка $D$ перейдет в точку $A$. Значит, $KL \perp AD$, откуда $BOL=OAK$.

5. $x=1, y=1+\frac{\pi}{2}+\pi k (k \in \mathbb{Z})$. Указание.

Положите $\cos^2 \frac{x-y}{2}=t$ и решите полученное уравнение относительно $t$.

Вариант 6

1. $\left\{ -\frac{1}{3}, 4 \right\}$.

2. $\frac{\pi}{4}+1$. Решение. $\max \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] y = \max \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] y = y \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4}+1$.

3. 1 кг сорокапроцентного и 2 кг шестидесятпроцентного.

4. $\frac{24}{\sqrt{145}}$.

5. $\{(1;-1)\}$. Решение. Данная система равносильна системе

$$\begin{cases} y^2=\frac{2x}{1+x^2} \\ 2(x-1)^2+1+y^3=0. \end{cases}$$

Поскольку $\frac{2x}{1+x^2} \leq 1$ при всех $x \in \mathbb{R}$, из первого уравнения системы (1) $-1 \leq y \leq 1$. Из второго уравнения системы (1) $y \leq -1$. Значит, $y=-1, x=1$.

Вариант 7

1. $\left\{ (4;2), \left( \frac{4}{3}; -\frac{2}{3} \right) \right\}$.

2. $\frac{\sqrt{2}-1}{2} a^2$.

Вариант 8

1. $x_1=\frac{\pi}{3} k, x_2=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4} l (k, l \in \mathbb{Z})$.

2. $]-\infty; 0] \cup \left[ 1 \frac{31}{32}; 2 \right]$.

3. $\frac{27}{8} \text{ см}^2$. Указание. $\frac{1}{2} |AB| \cdot |AM| \times \sin \widehat{BAM}=\frac{1}{2} |BH| \cdot |BM| (H$ — основание, высоты). Если $h$ — высота треугольника $BNM$, то $\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|BN|}{|ND|}=\frac{h}{|BH|-h}$.

4. Первый — 20, второй — 18.

5. Высота $\frac{4}{3} R$, радиус основания $\frac{2\sqrt{2}}{3} R$.

Физика

Физическая факультет

1. $v=\frac{L}{4} \sqrt{\frac{g}{2h}}$.

2. $T_2=T_1 \sqrt{\frac{g}{g-a} \frac{\cos \alpha_2}{\cos \alpha_1}}$.

3. $x=-\frac{F}{k}+\sqrt{\left( \frac{F}{k} \right)^2+\frac{m^2v^2}{k(M+m)}}$.

4. $x_M=\sqrt{\frac{mgH}{2k}}+\left( \frac{mg}{4k} \right)^2$.

5. $N=\frac{T_1-T_2}{T_1} \frac{qVv}{s} \approx 54 \text{ кВт}$.

6. $\Delta q=q_2-q_1=-C\left( \mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2 \right) \frac{R_2}{R_1+R_2}=-25,8 \text{ мкКл}$.

7. $q=C\alpha(R\tau+L)=2 \cdot 10^{-11} \text{ Kл}$.

8. $B=\frac{2\pi mv \cos \alpha}{Le} n$, где $n=1, 2, 3, \dots$.

9. $l=\frac{2d^2}{2d-F} \approx 21,3 \text{ см}$.

10. $x=d \frac{n-1}{n}=2 \text{ мм}$.

Механико-математический факультет

1. $t=\sqrt{\frac{2l}{a-\mu g}} \approx 2 \text{ с}$.

2. $E_n=\frac{F^2m_2x_0}{2(m_1+m_2)^2F_0}=0,1 \text{ Дж}$.

3. $\Delta U=Q-\left( p_0+\frac{mg}{S} \right) V \frac{\Delta T}{T} \approx 33 \text{ Дж}$.

4. $r=r_1k \frac{p_1}{p_0} \frac{T_2}{T_1} \approx 3,7 \%$.

5. Экран надо приблизить на $\Delta f=\frac{f^2D}{1+fD}=2 \text{ м}$.

59

Факультет вычислительной математики и киберnetики

1. $v_0 = \frac{4v}{4-\pi} \approx 233$ м/с.
2. $\frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1+R_2}{R_2} = 1,5$.
3. $\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_1 \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} = 3$ В или $\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_1 \frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}-1} = 12$ В.
4. $l = 2 \sqrt{\frac{\Gamma(d-F)^2-F^2}{\Gamma}} \approx 10$ см.
5. $x = \frac{4rd}{2d-R} = 3$ см.

Химический факультет

1. $F = mg tg \alpha_1 \approx 0,98$ Н.
2. $H = \frac{\eta N}{Qg} \approx 5$ м.
3. $a = \frac{q}{m} \sqrt{E^2+v^2B^2} \approx 2,5 \cdot 10^{13}$ м/c$^2$.
4. $a = 4h = 4$ см (в сторону смещения линзы $\varPi_2$).
5. $x = \frac{F(v_2-v_1)\Delta t}{d} = 1$ см.

Географический и геологический факультеты и факультет почвоведения

1. $n_2 = n_1 \frac{V_2}{V_1} \frac{T_1}{T_2} \approx 2,3$ моля.
2. $A = \frac{m}{\mu} R (T_2-T_1) \approx 1,7 \cdot 10^3$ Дж.
3. $m_\pi = \frac{m_\pi \lambda + (c(m_B+m_\pi)+C_k)(t-t_1)}{r+c(t_2-t)} \approx 0,06$ кг.
4. $R = \frac{\mathcal{E}_1 r_2 - \mathcal{E}_2 r_1}{\mathcal{E}_2} \approx 2,3$ Ом.
5. $\Delta I = I_0 - \frac{m}{kt} \approx 0,03$ А.

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика

Вариант 1

1. {(1; 1), $(\log_2 3; \log_3 2)$}.
2. $x = (-1)^k \arcsin \frac{2-\sqrt{2}}{2} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
3. $4-2\sqrt{3}$. Указание. Если $M = (BD) \cap (CK)$, то $\frac{|MK|}{|KB|} = \frac{|MC|}{|CD|}$; $|CD| < |AB|$.
4. $\frac{7}{2} \sqrt{5}$ или $\frac{1}{2} \sqrt{5}$ или 0. Указание.
   Рассмотите случай $|AO| \neq 0$ и $tg \alpha = 2$ ($\alpha$ — угол, который данная касательная образует с осью $Ox$); $|AO| \neq 0$ и $tg \alpha = -2$; $|AO| = 0$.
5. $2 \arcsin \frac{\sqrt{10}}{5} = \arccos \frac{1}{5} = 2 \arctg \frac{\sqrt{6}}{3}$.
   Указание. Проведите через вершины треугольника $ABC$ прямые, параллельные его

Рис. 13.

Рис. 14.

противоположим сторонам; обозначим через $A'$ точку пересечения прямых, проведенных через $B$ и $C$; аналогично вводятся $B'$ и $C'$. Тогда угол между плоскостями $SA'C'$ и $SA'B'$ — искомый. Разные формы ответа соответствуют разным способам определения его величины.

Вариант 2

1. 300 кг.
2. $x_1 = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi}{3} k$, $x_2 = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2} l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
3. $1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$. Указание. $\widehat{DOE} = 60^\circ$.
4. $] = \infty$; $0 [\cup [1; +\infty [$.
5. $\sqrt{2}$. Указание. Пусть $O$ — центр шара, вписанного в данную парамиду. Тогда центр $O_1$ данного шара радуса $\frac{3}{2\sqrt{6}}$ лежит на луче $[AO)$, а центр $O_2$ второго данного шара лежит на луче $[OB)$ (рис. 13). Вычислите радиус шара, вписанного в парамиду. Из его величины следует, что $|AO_1| = 3|AO|$, $|OO_2| = 2|OB|$.
   Если $[OK]$ — высота треугольника $AOB$ и $T$ — такая точка на $(AB)$, что $|KB| = |BT|$ (рис. 14), то $O_2T \perp AT$ и $O_1T \perp AT$; значить, $O_2TO_1$ — прямая, перпендикулярная $AT$. Отсюда $|O_1O_2| = 4|OK|$.

Физика

Вариант 1

1. $ABC = \arctg 1/2 \approx 27^\circ$.
2. Из симметрини системы следует, что после первого линзы лучи собираются в середине цилиндра. Рассмотрим луч, который падает на границу раздела стекло — вода под углом $\alpha$ и выходит в воду под углом преломления $\beta$ (рис. 15). Согласно закону преломления,
   $$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n}{n_{\text{ст}}} \approx \frac{\sin \alpha}{2h/l}$$
   где $h$ — расстояние от точки падения луча

60

Рис. 15.

до оси, $l$ — длина цилиндра. Для случая прохождения света из стекла в воздухах можно записать

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta_0} = \frac{1}{n_{cT}} \approx \frac{\sin \alpha}{h/F},$$

где $\beta_0$ — угол преломления в воздухе. Отсюда

$$\frac{\sin \beta_0}{\sin \beta} = n = \frac{l}{2F},$$ и $l = 2nF$.

3. Так как электроны растекаются по стержню симметрично, в точке $A$ ток $I_A = 0$, а по мере приближения к точке $B$ ток нарастает по линейному закону $I_l = \frac{I}{2} \frac{l}{L}$, где $L = |AB|$.

Согласно закону Ома для участка цепи,

$$U_{AB} = I_{cp} \frac{R}{2} = \frac{I_A + I_B}{2} \frac{R}{2} = \frac{I}{4} \frac{R}{2} = \frac{IR}{8}.$$

4. Пусть длина цистерны $l \sim 5$ м, а ее высота $h \sim 1$ м. Прием для оценки, что торможение прохождения с постояннымускорением $a = v^2/2s$. Тогда «эффективноеускорение силы тяжестями» равно $\vec{g}' = \vec{g} + \vec{a}$, и максимальное давление воды в полной цистерне при торможении равно

$$p = p_a + q(gh + al) = p_a + q\left(gh + \frac{v^2l}{2s}\right),$$

где $p_a$ — атмосферное давление ($p_a \sim 10^5$ Па), $q$ — плотность воды ($q = 10^3$ кг/м$^3$). При выбранных параметрах $p \sim 1,4 \cdot 10^5$ Па.

5. Гвоздики, повисшие на магнитте, сами становятся магнитами, причем расположенные одноименными полосов у них одинаково. В точках подвеса растяживания преляется треннее. Нижние концы гвоздики расходятся в соответствии с действием сил магнитного отталкивания и сил тяжестии.

Вариант 2

1. $x = h\left(\frac{\rho RT}{\mu p} - 1\right)$.

2. В первом и втором случая конденсаторы соединины параллельно; следовательно,

$$\frac{q_2}{C_1} = \frac{q_{02} - q_2}{C_2} \quad \text{и} \quad \frac{q_3}{C_1} = \frac{q_{03} - q_3}{C_3}.$$

Отсюда начальные заряды на конденсаторов 2 и 3 равны, соответствующей,

$$q_{02} = q_2 \frac{C_1 + C_2}{C_1} \quad \text{и} \quad q_{03} = q_3 \frac{C_1 + C_3}{C_1}.$$

В третьем случае конденсатор 1 оказывается подсоединенным параллельно системе заряда-

женных конденсаторов 2 и 3 (их соединение между собой нельзя последовательным, так как заряды не одинаковы):

$$\frac{q_1}{C_1} = \frac{q_{02} - q_1}{C_2} + \frac{q_{03} - q_1}{C_3},$$

откуда заряд на конденсаторе 1 равен

$$q_1 = \frac{q_2(C_1/C_2 + 1) + q_3(C_1/C_3 + 1)}{1 + C_1/C_2 + C_1/C_3}.$$

3. $h = Rm/M$. Указание. Воспользовитесь законами сохранения энергии и импульса. (Пока шарик не пройдет нижнюю точку выемки, брусок неподвижен.)

4. Выталкивающая сила, действующая на дирижабель, должна быть приблизительно равна суммарной силу груза (массой $M = 10^5$ кг), оболочки и геля. Пренебрегая массой оболочки и геля (плотность геля приблизительно в 7 раз (29/4) меньше плотности воздуха), получаем $F_B \sim Mg$. Выбрав самую простую форму дирижабеля — сферу, найдем ее радиус:

$$R \sim \sqrt[3]{\frac{M}{\qquad}} \sim 100 \text{ м}.$$

5. Пусть на линзу падает параллельный пучок света, а экран находится за линзой на расстоянии, большем двойного фокусного (рис. 16). Тогда на участки $AB$ и $EF$ — падает только прямой свет, на участок $CD$ — только рассеяющий линзой свет, а на участки $BC$ и $DE$ попадает как прямой, так и рассеяный свет. Вот почему в центре экрана виден темный круг, оказывающий светлым колютом.

Вариант 3

1. $\varphi_A - \varphi_B = \pm \varepsilon / 6$.

2. $M = 3m/2$.

3. Параллельный пучок, падающий на линзу под углом $a$ к главной оптической оси, собирается в фокальной плоскости в точке, отстоящей от оси на расстоянии $r = Ftg \alpha$ (рис. 17). Таким и будет наименший радиус светлого пятна. Если же размер $d$ линзы таков, что

62

напряжение между точками $C$ и $D$ равно нулю (см. рис. 4 в условия).
4. $R'/R = \sqrt{3}/5 \approx 0,77$. Указание. Воспользуйтесь законами сохранения кинетической энергии и импульса для замкнутой системы протон — ядро атома гелия.

Математiko-механический факультет и факультет прикладной математики — процессов управления

1. $E = \frac{\delta}{d} \frac{\varphi \varepsilon_0}{\varphi \varepsilon_0 + Cr}$.
2. $U = \frac{2P(1+k)}{l} = 33$ В (здесь $k=0,1$).
3. $F_1 = \frac{2ab(b-a)}{(b+a)^2} \approx 4,4$ см; $F_2 = \frac{2ab(b+a)}{(b-a)^2} = 120$ см. Указание. Изображение $B$ — всегда минимое, а изображение $C$ может быть как действительным, так и минимым.

Химический факультет

1. $v = \sqrt{\frac{Gm}{4r}}$ (здесь $G$ — гравиитонная постоянная).
2. $Q = m(g+a)h$.
3. $q = It/2 = 20$ Кл; $m = kq = kIt/2 = 6,6 \cdot 10^{-6}$ кг = 6,6 мг.

Ташкентский государственный университет им. В. И. Ленина

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. $\{0\}$.
2. $[-3; 0 [\bigcup [20; +\infty ]]$.
3. $\emptyset$. Указание. Данное уравнение равно сисете
   $$\begin{cases} \sin x = -1 \\ \sin 3x = -1. \end{cases}$$
4. $1 - \frac{\sqrt{2}}{4}$.
5. $\sqrt[3]{\frac{12Q\sqrt{-2}\cos \alpha}{\pi \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}}$.

Вариант 2

1. $\{-2\}$.
2. $] -\infty; -1 [\bigcup ]1; 3]$.
3. $x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k, x_2 = \pm \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2} l (k, l \in \mathbb{Z})$.
4. $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$ и $\frac{\pi}{2} - \arccos \sqrt{\frac{2}{3}}$.
5. $\frac{8p^2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{(1 + \sin \alpha + \cos \alpha)^2} = 4p^2 \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} \times \mathrm{tg} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

Вариант 3

1. $\left\{ \frac{1}{4}, 2 \right\}$.

2. $] -\infty; -3 [\bigcup ]-2; +\infty [$.

3. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.

4. $\max y = y(8) = 545, \min y = y(5) = 536.$

5. $\frac{9l^3 \cdot \mathrm{tg}^3 \frac{\varphi}{2}}{4 \sqrt{3} \mathrm{tg}^2 \frac{\varphi}{2} - 1}$. Указание. Если $SABC$ — данная парамида ($S$ — вершина) и $AP \perp SB$, то $APC = \varphi$.
   Задача устного экзамена

6. $\sqrt{10} - 3$. 2. a) $\sin 3; 6)$ $^3\sqrt{3}$.

7. a) $\left\{ \log_2 \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right\}; 6)$ $x = \frac{\pi}{2} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.

8. 4. 7. a) $[3; 4 [\bigcup ]4; +\infty [; 6)] 0; 2 [$.

9. -1. 9. $y = \left( \frac{97}{162} - 18\sqrt{3} \right) x + 4 \frac{13}{18} + 81\sqrt{3}$.

10. Квадрат со стороны $\frac{a}{4}$. 12. 2. 13. 2. 14. 1. 15. $k = 0$. Указание. Сравните площи для прямых $y = 2$ и $y = kx + 2 (k \neq 0)$. 16. $1 - \frac{\pi}{4}$.

11. $2(\sqrt{2} - 1)a^2$. 18. $\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$. 19. Ромбом, когда диагонали исходного четырехугольника конгруэнтны. Квадратом, когда они вдобавок взаимно перpendикулярны. 20. $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Физика

1. $l_{1-2} = 7$ м; $l_{2-3} = 5$ м; $l_{3-4} = 3$ м; $l_{4-5} = 1$ м.
2. $x \approx 0,22$ м.
3. $\Delta T = T \frac{mRT}{p\mu\pi d^3/6 - mRT} \approx 6$ К.
4. $U_1 = \frac{2}{3} \varepsilon \frac{C_2}{C_1 + C_2}; U_2 = \frac{2}{3} \varepsilon \frac{C_1}{C_1 + C_2}$.
5. Расстояние от линзы до лампочки равно $d = \frac{l}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{l}{2} \right)^2 - Fl}$.
   Если $F = F_1$, то $d_1 = 0,7$ м и $d_2 = 0,3$ м. Если же $F = F_2$, отсутствого изображения не будет.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 4)

1. Масса шарика 20 г, рыбки 30 г, конуса 50 г. Система приводится в равновесие либо шариками, либо рыбкой и палочки, либо шариком и двумя палочками.
2. 60 минут = 20 + 10 + 15 + 15 (см. рис. 20).

Рис. 20.