Экспонента

20

Экспонента

Член-корреспондент АПН СССР
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ

В любом школьном учебнике изложение темы о показательной функции и числе e содержит недоказанные утверждения, кратко изложенные места. Объясняется это сложностью темы. Здесь мы рассакем о другом подходе к этим понятиям, посящием их смысла и связь с дифференциальными уравнениями. При таком способе изложения также имеются недоказанные утверждения (обцая теорема существительных и единственности для дифференциальных уравнений и свойство непрерывной функции приимать промежуточные значения). Однако эти недоказанные утверждения имеют простой наглядный смысл и принципальное значение для всей математики.

1. Задча о падении тела в сопротивляющей среде

На опускашегося парашотиста действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха (остальные возможности для дифференциальных уравнений и свойство непрерывной функции приимать промежуточные значения). Силу сопротивления воздуха можно считать пропорциональной скорости $v$, то есть равной по величины $qv$ (козффициент $q$ зависит, в основном, от диаметра и формы парашота). Таким образом,

$$ma = mg - qv,$$

где $a = v'$ — величины ускорения (знак минус перед $qv$ связыван с тем, что сила сопротивления воздуха действует противоположно направлению падения; рис. 1). Разделив на $m$, получаем

$$v' = -\frac{q}{m} v + g.$$ (1)

Соответствие (1) представляет собой линейное дифференциальное уравнение: произvodная неизвестной функции $v = v(t)$ (которую требуется определить из этого уравнения) выражается в виде многочлена первой степени от этой неизвестной функции. Обозначая неизвестную функцию через $y = y(x)$, а коэффициенты через $a$ и $b$, запишем дифференциальное уравнение в виде

$$y' = ay + b.$$ (2)

Таким дифференциальным уравнением описывается не только падение тела в сопротивляющей среде, но и многогрегное физическое процессы.

2. Теорема существования и единственности

Теорема 1. Каковы бы ни были действительные числа $x_0, y_0$, существует и притом только одна функция $y = y(x)$, являющаяся решение уравнения (2) и удовлетворяющая соответствующую уравнению $y(x_0) = y_0$. Это решение определяно на всей числовой прямой.

Соотношение $y(x_0) = y_0$ называется наальным условием. Таким образом, теорема 1 означает, что уравнение (2) при любом заданном наальном условии имеет решение (и притом единственное).

Приведем геометрическое посяне этой теоремы, причем рассмотрим частный случай, когда $a = 1$, $b = 2$, то есть возьмем уравнение

$$y' = y + 2.$$ (3)

В точках, где $y = 0$ (на оси $x$), мы имеем, согласно (3), $y' = 2$, то есть график исходной функции $y(x)$ должен иметь в этих точках угловой коэффициент касательной, равный 2. Наметим коротками черточками, проведенными в точках оси абсцисс, направление касательной (рис. 2). Далее, при $y = 1$ имеем, согласно (3), $y' = 3$, то есть в точках прямой $y = 1$ график исходной функции должен иметь угловой коэффициент касательной, равный 3; наметим в точках прямой $y = 1$ коротками черточками направление касательной. Мы можем затем наметить черточки и на других прямых, параллельных оси абсцисс (рис. 2). Теперь становится понятным поведение «силовых линей» этого «поля направлений». В каждой точке «силовая линия» касается соответствующей черточки, то есть ее касательная имеет угловой коэффициент $y'$, который, в силу построения черточки, равен $y + 2$. Это означает, что «силовая линия» является графиком функции, удовлетворяющей уравнению (3). Из чертежа понятно, что через каждую точку $(x_0; y_0)$ проходит «силовая линия» и притом только одна. Это и дает наглядное подтверждение справедливости теоремы 1. Ее доказательство

21

3. Экспонента

Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению $y'=y$ и начальное условию $y(0)=1$, называется экспонентой и обозначается символьом expr.

Заметим, что уравнение $y'=y$ является частным случайным уравнения (2); поэтому его решение с начальным условием $y(0)=1$, в силу теоремы 1, существует и определяено однозначно, причем область определения этого решения (то есть экспоненты) является всячилась прямая.

Непосредственно из определения следует, что экспонента — дифференцируемая функция и ее производная совпадает с этой же функцией (поскольку она является решением уравнения $y'=y$):

$$\text{exp } x' = \text{exp } x.$$ (4)

Теорема 2. Значения функции expr положительных, то есть expr $>0$, для любого действительного $x$.

Доказательство. Допустим, что expr $x_0=0$ при некотором $x_0$. Тогда функция $y=\text{exp } x$ удовлетворяет уравнению $y'=y$ и условию $y(x_0)=0$. Функция $y\equiv 0$ также удовлетворяет уравнению $y'=y$ и условию $y(x_0)=0$. При этом функция $y=\text{exp } x$ и $y\equiv 0$ различны (например, expr $0=1$, то есть expr $0\neq 0$). Но тогда получается, что уравнение $y'=y$ имеет при начальном условии $y(x_0)=0$ два различных решения, что противоречит теореме 1. Итак, равенство expr $x=0$ не может иметь места ни при каком $x$.

Допустим теперь, что при некотором $x_1$ имеем expr $x_1<0$. Функция expr дифференцируема и потому непрерывна; следовательно, между двумя точками, в которых она принимает значения различных знаков ($\text{exp } x_1<0$, expr $0=1$), эта функция должна обращаться в нуль (рис. 3). Но это, как мы видели, невозможно.

Итак, экспонента не может принимать ни нульового значения, ни отрицательных значений; значит, expr $x>0$ при любом $x\in R$.

Следствие. Экспонента — возрастоящая функция.

22

Действительно, производная функция exp (то есть сама эта функция) принимает, по теореме 2, лишь положительные значения, и потому функция exp — возрастоящая.

Теорема 3. Для любых p, q ∈ R имеем

$$\exp(p+q) = \exp p \cdot \exp q.$$ (5)

Доказательство. Рассмотрим функцию y = exp(p+x). Имеем

$$y' = (\exp(p+x))' = \exp(p+x) = y$$

(cм. (4)), то есть эта функция удовлетворяет уравнению y’=y. При этом y(0) = exp p.

Рассмотрим теперь функцию y = exp p · exp x. Имеем

$$y' = \exp p \cdot (\exp x)' = \exp p \cdot \exp x = y$$

то есть эта функция также удовлетворяет уравнению y’=y. При этом y(0) = exp p. По теореме 1, рассматриваемые функции совпадают:

$$\exp(p+x) = \exp p \cdot \exp x.$$

В частности, при x=q получаем (5).

4. Число e

Значение функции exp. при x=1 обозначается буквой e, то есть e=exp 1. Чтобы найти приближенное значение числа e, можно поступить следующим образом. Разделим отрезок [0; 1] на n равных частей (каждая из них имеет длину Δx=1/n). Через точку A0 (0; 1) проведем «черточку», соответствующую уравнению y’=y; она имеет угловой коэффициент k1=y, то есть k1=1. Эту «черточку» будем рассматривать над отрезком [0; 1/n]. Правый ее коенц A1 имеет координаты x=1/n, y=1+k1Δx=1+1·1/n=1+1/n (рис. 4).

Через A1 проведем новую «черточку», также соответствующую уравнению y’=y; ее угловой коэффициент равен y (ординате точки A1), то есть равен k2=1+1/n. Эту «черточку» будем рассматривать над [1/n; 2/n]. Правый ее коенц A2 имеет координаты

$$x = \frac{2}{n}, y = \left(1 + \frac{1}{n}\right) + k_2 \Delta x =$$

$$= \left(1 + \frac{1}{n}\right) + \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$$

Через A2 снова проведем «черточку», соответствующую уравнению y’=y. Ее угловой коэффициент k3 равен ordinate точки A2, то есть k3=(1+1/n)^2, а правый коенц A3 имеет координаты x=3/n, y=(1+1/n)^2+k3Δx = (1+1/n)^3.

Продолжая, мы получим ломанную A0A1A2…An — ломанную Эйлера для уравнения y’=y (на рис. 4 для удобства взятые разные масштабы на осях); точка An имеет координаты x=1, y=(1+1/n)^n. Эта ломанная дает приближенное представление о решении уравнения y’=y, проходящем через точку A0, то есть о функции y=exp x (красный график на рисунке 4); в частности, точка An близко расположена к точке графика y=exp x, имеющей абсциссу x=1, то есть к точке (1; e). Иначе говоря, (1+1/n)^n≈e. Чем больше n, тем более точным является это приближенное равенство, и потому

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.$$ (6)

Например, взяв n=1 000 000, то есть выполнив действие 1,0000011000000 (это нетрудно сделать с помощью микрокалькулятора), находим e=2,7182818…

5. Обозначение e^x

Лемма. Для любого рационального x справедливо равенство

$$\exp x = e^x.$$ (7)

Писс. 4.

23

Доказательство. Последовательно применяя формулу (5), находим
$$\exp 2x = \exp (x+x) = \exp x \cdot \exp x = (\exp x)^2,$$
$$\exp 3x = \exp (2x+x) = \exp 2x \cdot \exp x = (\exp x)^2 \cdot \exp x = (\exp x)^3$$
и т. д. Итак, для натурального $n$ имеем
$$\exp nx = (\exp x)^n,$$
откуда $\exp x = (\exp nx)^{1/n}$. Поляга здесь $x=m/n$ (где $m$ — натуральное), получаем
$$\exp \frac{m}{n} = (\exp m)^{1/n} = (\exp m \cdot 1)^{1/n} = \left((\exp 1)^m\right)^{1/n} = (\exp 1)^{m/n} = e^{m/n}$$
Это означает, что для положительного рационального числа $x=m/n$ доказываемая lemma справедлива. Легко проверить, что она остается справедливой и для отрицательных рациональных чисел (а также для $x=0$).
Условия считать по определению, что соответствие (7) справедливо для любого действительного числа $x$. Иначе говоря, мы условия считать $e^x$ просто другой формул записи для $\exp x$ (причем для рациональных $x$ эта форма записи согласно в силу доказанной lemмы с понятным стелени с рациональным показателем). При использовании этого обозначения формула (5) прибретает привчный вид $e^{p+q} = e^p e^q$. Заметим, что в математической литературе используется обе формулы записи экспоненты: $y=e^x$ и $y=\exp x$.

6. Решение дифференциальных уравнений

При записи решения дифференциальных уравнений чаще применяют обозначение $e^x$, а не $\exp x$. Этот традиции мы и будем придерживаться.

Теорема 4. При $a \neq 0$ решение дифференциального уравнения (2) с начальным условиям $y(0)=y_0$ имеет вид
$$y = -\frac{b}{a} + ce^{ax},$$
(8)
$$e\delta e = b/a + y_0.$$
Доказательство. Так как (согласно теореме 1) исключение единственного, то достаточно лишь проверить, что функция (8) (при указанном значении $c$) удовлетворяет уравнению (2) и требуему начальному условияю. Имеем
$$y' = (ce^{ax})' = c(e^{ax})' = cae^{ax} = a(ce^{ax}) = a(y + \frac{b}{a}) = ay + b,$$
то есть функция (8), действительно, удовлетворяет уравнению (2) (при любом значении постоянной $c$). Далее,
$$y(0) = -\frac{b}{a} + ce^0 = -\frac{b}{a} + c = -\frac{b}{a} + \left(\frac{b}{a} + y_0\right) = y_0.$$
значит, при указанном значении $c$ функция $y$ удовлетворяет и требуемому начальному условияю.

Доказанную теорему обещено применяют следующим образом. Слагаемое $y = -b/a$ легко запомнить: оно получается, если $y'$ приравнять нулю; далее, коэффициент $a$ при неизвестной функции в (2) становится коэффициентом при аргументе в показатель экспоненты. Что же касается常态ы $c$, то ее значение (указанное в теореме 4) обычно не запомниют, а в каждом конкретном примере находится $c$ с помощью начальных условий.

Пример 1. Масса $m(t)$ радиоактивного вещества, имеющегося в куске породы в момент $t$, с течение времени убывает, то есть производаная $m'(t)$ (скорость распада) отрицательна. При необходимости количество радиоактивного вещества скорость распада пропорциональна массе радиоактивного вещества:
$$m' = -km$$
(где коэффициент $k > 0$ зависит от вида радиоактивного вещества). Найти закон изменения массы $m(t)$ с течение времени, если в начальной момент $t=0$ масса имеющегося радиоактивного вещества была равна $m_0$.

Решение. По теореме 4 имеем $m(t) = ce^{-kt}$. Подставляя $t=0$, получаем $m_0 = ce^0$, откуда $c = m_0$. Окончательное имеем $m(t) = m_0e^{-kt}$.

Пример 2. Через какой промежуток времени $T$ количество радиоактивного вещества уменьшитсяровно вдвое?

Решение. Надо найти $T$ из уравнения $m_0/2 = m_0e^{-kT}$, то есть $e^{-kT} = 1/2$, или $e^{kT} = 2$. Это соответствие равновесью следующему: $\ln 2 = kT$, откуда $T = (\ln 2)/k \approx 0.7/k$.

Значение $T = (\ln 2)/k$ называется перiodом полураспада. Он зависит от $k$ (то есть радиоактивного вещества); например, для радия $T \approx 1600$ лет.

24

Пример 3. Найти закон падения тела в сопротивляющей среде, зная, что при $t=0$ скорость падения была равна $v_0$.

Решение. Из уравнения (1) находим по теореме 4:

$$v(t) = \frac{mg}{q} + ce^{-\frac{q}{m}t}.$$

Подставляя $t=0$, получаем $v_0=mg/q+ce^0$, откуда $c=v_0-mg/q$. Таким образом, окончательное имеем

$$v(t) = \frac{mg}{q} + \left(v_0 - \frac{mg}{q}\right)e^{-\frac{q}{m}t}.$$

Так как $e^{-\frac{q}{m}t} \to 0$ при $t \to \infty$, то $v(t) \to mg/q$, стало бы, скорость падения постепенно установливается. Например, парашютист, падающий в затяжном прыжке с большой скоростью, после раскрытия парашюта быстро прибретает примерно постоянную скорость $mg/q$ (зависшую от массы парашютиса и параметров парашюта). Это позволяет расчитать парашют так, чтобы приземление было безопасным.

Задание

1. Докажите, что для любого $x \neq 0$ справедливо уравнение $x > x+1$.
2. Используя неравенство $\exp \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{n}$ (см. задач 1), докажите, что $e > (1+1/n)^n$.
3. Используя неравенство $\exp \left(-\frac{1}{n+1}\right) > 1 - \frac{1}{n+1}$ (см. задач 1), докажите, что $e > (1+1/n)^n$, то есть $e < (1+1/n)^{n+1}$.
4. С помощью неравенств, полученных в задач 2 и 3, докажите справедливо равенства (6).
5. Докажите, что решение уравнения (2) с начальным условием $y(x_0)=y_0$ имеет вид (8), где $c=(b/a+y_0)e^{-ax_0}$.
6. В момент $t=t_0$ масса имевшегося в куске породы радиоактивного вещества была равна $m_0$, а в момент $t=t_1$ она оказалась равной $m_1$. Определите период полураспада.
7. При распаде одного грама радиоактивного вещества образуется $d$ граммов продукта распада. Перiod полураспада $T$ этого радиоактивного вещества известен. Определите возраст куска породы, если в нем имеется $p$ граммов расматриваемого радиоактивного вещества и $q$ граммов продукта его распада.
8. В результате теплобмена со средой нагретое тело постепенно охлаждается, то есть его температура $t(\tau)$ уменьшается со временем $\tau$. Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость охлаждения пропорциональна разности температуры тела и среды: $t'(\tau) = -k(t(\tau) - t_{cp})$. Считая температур среды $t_{cp}$ постоянной, выведите формулу закона охлаждения.
9. Сила тока $I(t)$, протекающего в $RL$-целии (рис. 5), изменяется по правли $LI' + RI = E$, где $L$ — индуктивность катушки, $R$ — сопротивление резистора. Определите закон $I(t)$ изменения тока, если в момент замыкания цепи ($t=0$) ток был нулеевым.
10. В $RL$-контуре (рис. 6) в момент $t=0$ протекал ток $I_0$. Определите значение протекающего в цепи тока при $t>0$.
11. Наряжение $u(t)$ (разность потенциаль на обкладках конденсатора) изменяется в $RC$-целии (рис. 7) по правли $Cu' + u/R=0$. Определите характеристика изменения напряжения, если в момент $t=0$narяжение было равно $u_0$.
12. Рассмотрев ломанную Эйлера для уравнения $y'=y$ с начальным условием $y(0)=1$, показите, что при фиксированном $x>0$ последовательность $(1+x/n)^n$ возвращается и ограничена.
13. Пользовясь теоремой Вейерштрасса об ограниченной возрастанию последовательности и задачей 12, установите существование предела $(1+x/n)^n$ при фиксированном $x \geq 0$, а затем и при $x<0$.
    14*. Докажите существование экспоненты. Указание. Положив $y(x)=\lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$ (см. задач 13), вычислите произведение $y'(x)$ и установленное, что $y'(x)=\lim_{n \to \infty} (1+x/n)^n$; выведите отicioда, что $y(x)$ является решением уравнения $y'=y$ с начальным условием $y(0)=1$. (При вычислении $y'(x)$ воспользоваться формулой биома Ньютона.)
    15*. Докажите единственное экспоненты. Указание. Предположите противное (существование двух разных экспонент) и рассмотрите их разность.