Надо ли делать проверку?

31

После этого его спросили, нет ли другого способа для получения этой формулы. Немного подумав, он записал cos 3α=±√1−sin² 3α=…, но быстро понял, что ничего хорошего на этом пути не получится.

А ведь в данном случае опять помогает дифференцирование. Продиферегировав обе части равенства (3) по α, получаем

3 cos 3α=3 cos α−12 sin² α cos α=
=3 cos α−12(1−cos² α) cos α,
откуда cos 3α=4 cos³ α−3 cos α.

Упражнения

1. Зная, что sin 5x=16 sin⁵ x−20 sin³ x+5 sin x, получите формулу, выражающего cos 5x через cos x.

2. При помощи дифференцирования получите из «простого» тождества 2 sin 2α sin α+cos 3α=cos α другое, «более сложное» тождество.

3. Известна формула a sin x+b cos x=
   =√a²+b² sin(x+φ), где угол φ определяется из условия sin φ=b/√a²+b², cos φ=a/√a²+b².
   Получите из этой формулы формулу для a cos x−b sin x.

В. Е. Ольхов

Надо ли делать проверку?

Школьники часто задают вопрос: «Мы нашли корни уравнения, надо ли делать проверку?» Проверять корни на всякий случай, «для надежности» (подставляя их в данное уравнение), конечно, полезно, во всяком случае, когда это не приводит к более трудом выкладкам, чем само решение. Но здесь не это имеет в виду — печь идет о проверке, связанной с возможностью «пробрежности построение корни». Школьники знают, что не сделав такую проверку, они могут иногда получить неверный ответ («лишний корень»). Более того, даже если ответ оказался верным, учитель или экзаменатор иногда объявляет решение неполным, если проверка отсутствует. Но когда? В каких случаях надо делать проверку? Поставаемся ответить на этот вопрос.

1. В тех случаях, когда корни были найдены по простейшим «готовым» формулам (таким, как формулы для решения линейных и квадратных уравнений или уравнения вида cos x=a,

log₂ x=a, b⁻=a и т.п.), проверку можно не делать.

Например, как правило, нет смысл проверять корни, полученные по формуле

x₁,₂ = -b ± √b²−4ac/2a

для квадратного уравнения ax²+bx+c=0. (Впрочем, если корни получаются целыми или разциональными, проверка делается быстро и вреда в ней нет.)

Тем не менее при использовании таких формул следует помнить об условиях, при которых их можно применять. Так, формулу (1) можно использовать при условиях a≠0, b²−4ac≥0. К сожалению, нередки случаи, когда школьники говорят, что при a=0 уравнение ax²+bx+c=0 не имеет корней, так как знаменитель в правой части формулы (1) обращается в нуль. При этом забывают о том, что при a=0 это уравнение не будет квадратным и имеет корень x=-c/b, если, конечно, b≠0.

Грубейшей ошибкой считается ответ x=±arccos 2+2πk, k∈Z для уравнения cos x=2, поскольку формулой x=±arccos a+2πk, k∈Z для корней уравнения cos x=a можно пользоваться только при |a|≤1.

2. Чаще же при решении уравнения приходим到 много преобразования; при этом данные уравнения заменяется каждый раз на какое-то новое, а у нового уравнения, естественно, могут быть и другие корни. Если в ходе преобразования уравнение заменить новый уравнение, имеющим все корни предыдущего и только их (то есть преобразовать уравнение так, чтобы не произшло потери или прибретания корней), то такие уравнения называются равносильными.

Хорошо известно, что

1. при перенос членов уравнения из одной части в другую,
2. при прибавлении к обеим частям уравнения одного и того же числа,
3. при умножении обих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число исходное и преобразование уравнения равносильны. Равносильны они также в том случае, если преобразование состоит в применении тождества, верных на множество всех действительных чисел, например тождеств сокращенного

32

умножения, формул синуса и косинуса суммы и т. п.

При применении всех этих преобразований каждый раз получается равносильные уравнения. Поэтому после нахождения корней их проверка не является обязательным этапом решения задачи.

Решим, например, таким образом уравнение
$$\sqrt{3} \cos x - \sin x - 1 = 0.$$ (2)
Разделив обе части уравнения на 2, получим уравнение
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{2} = 0,$$ (3)
равносильное уравнение (2). Так как
$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},$$ то уравнение (3) перепишется в виде
$$\cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} = 0.$$
Примена «справа налево» формулу косинуса суммы двух углов, получаем уравнение
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} = 0,$$ (4)
равносильное уравнение (3).
Прибавляя к обем части уравнения $\frac{1}{2}$, получаем уравнение
$$\cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2},$$ (5)
равносильное уравнение (4).
Решение простейшего уравнения (5) запишется так:
$$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z},$$
откуда
$$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z},$$
$$x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$
Так как все проведенные преобразования были равносильными, то проверка найденных корней не обязательна.
3. Оdnako не всякое уравнение удается решить путем только равносильных преобразований. Гораздо чаще приходит применять неравносильные преобразования. При применении таких преобразований, вообще, можно потерять некоторые корни исходного уравнения или прообрестu построение корни, то есть корни, не являющиеся корнями исходного уравнения. Чаще всего такие преобразования основаны на использовании формул, верных не при всех действиях $x$. При этом, в частиности, «меняется» область определения уравнения.
Если, например, формулы
$$\log_3 x^2 = 2 \log_3 x,$$ (6)
$$\sin 2x = \frac{2 \mathrm{tg} x}{1 + \mathrm{tg}^2 x}$$ (7)
прииметь «слева направо» (то есть заменить левую часть формулы правой), то возможно потеря корней исходного уравнения; поэтому такие преобразования без дополнительных расужений недопустимы.
Например, уравнение
$$\log_3 x^2 = 2$$ (8)
имеет два корня: $x_1 = 3, x_2 = -3$. Однако если мы применим формулу (6) «слева направо», то получим уравнение
$$2 \log_3 x = 2,$$
имеющей только один корень: $x_1 = 3$. Следовательно, в результате применения формулы (6) «слева направо» произошла потеря корня уравнения (8). Отметим, что при применении формулы (6) возможно потеря всех отрицательных корней. С формулой (7) дело обстоятель проще. Его можно пользоваться, только дополнительно следует проверить, является ли корнями числа вида $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, при которых не определен $tg x$.
4. Если же применять формулу (6) «справа налево», то потеря корней не произойдет, но может произойти прибавление построенных корней, а поэтому обязательно надо проверить корни и те из них, которые оказываются построенными, отбросить.
Посторонние корни могут появиться также при возниклении обихих частей уравнения в степени, при потенцировании обихих частей уравнения и при ряде других преобразований. Поэтому, если применялось какое-то из этих преобразований, то обязательно надо проверку найденных корней и отбросить построенные корни.
Пример. Решим уравнение
$$x - 3 = \sqrt{x - 1}.$$ (9)