30
Математика 8,9,10
Еще один примем самоконтролля
Публикуемая ниже заметка «Где ошибка?» предназначана восемиклассикам, «Еще один примем самоконтролля» — девятиклассикам и «Надо ли делать проверку?» — десятикласикам. Это деление в какой-то мере условно, так как каждая из этих заметок может быть полезной не только учащимся указанных классов.
Где ошибка?
Как известно, поворот является одним из движений плоскости. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру. Сейчас мы «показем», используя свойства движения, что при повороте треугольник переходит в неравный ему треугольник.
При повороте вершины треугольника скольяет по тем концентрическим окружности, общий центр которых совпадает с центром поворота, а расстояния между его вершинами сохраняется. Для того чтобы получить образ треугольника ABC при повороте на угол α вокруг точки O, построим концентрическое окружности с центром в точке O, на которых лежат точки A, B и C. Затем на окружности, содержащей точку A, построим точку A1 так, чтобы угол AOA1 был равен α. Наконец, на окружности, содержащих точки B и C, построим соответственно точки B1 и C1, также, что A1B1=AB и A1C1=AC
(см. рис.). На рисунке хорошо видно, что полученный нами треугольник A1B1C1 не равен треугольнику ABC (например, B1C1≠BC).
Где ошибка?
Н. И. Бовсуновский
Материал данной заметки дополняет статью В. Матизена (см. «Квант» № 10, 1980 г.).
Из собственного опыта знаю, что можно хорошего заполнить одну формулу и забыть ей подобную. Предположим, например, вы твордо помните, что sin (x+y)=sin x cos y+cos x sin y (1), но забыли, чему равен cos (x+y). В этом случае вам помогет следующий примем. Можно считать, что в равенстве (1) x — переменная величины, а y — фиксированное число. Дифференцируя это равенство (по x), получим (sin(x+y))′= (sin x)′cos y+(cos x)′×sin y, откуда cos (x+y)=cos x cos y−sin x sin y.
Итак, забытая формула восстановлена. Аналогично, из формулы
sin x cos y=1/2 (sin(x+y)+sin(x−y))
(2)
легко получить формулы: а) cos x cos y=1/2 (cos(x+y)+cos(x−y)) (достаточно продиференцировать равенство (2) по x, считая y постояным);
б) sin x sin y=1/2 (cos(x−y)−cos(x+y)) (достаточно продиференцировать (2) по y, считая x постояным:
−sin x sin y=1/2 (cos(x+y)−cos(x−y))
и сменить знак у обеих частей полученного равенства).
Приведем другой пример. Учащемуся предложили вывести формулу, выражающего sin 3α через sin α. Он представил 3α в виде α+2α и воспользовался формулой синуса суммы:
sin (α+2α)=sin α cos 2α+cos α sin 2α=sin α(1−2sin²α)+2sin α cos²α=3sin α−4sin³α.
В результате им была получена правильная формула:
sin 3α=3 sin α−4 sin³α.
После этого ему предложили получить аналогичную формулу для cos 3α. Без особого энтузизма он повторил преобразования:
cos 3α=cos (α+2α)=…=4 cos³α−3 cos α.