Импульс и кинетическая энергия

28

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга «Импульс и кинетическая энергия» предназначена воспределению силы на время ее действия, то есть импульсу силы («Физика 8», § 50).

Связь кинетической энергии тела с силой выглядит так:

$$E_{k2} - E_{k1} = Fs \cos \alpha = A,$$

где $s$ — модуль вектора перемещения тела, $\alpha$ — угол между векторами $\vec{F}$ и $\vec{s}$, а произведение $Fs \cos \alpha = A$ — работа действия на тело силы. Таким образом, эта запись означает, что изменение кинетической энергии тела равно работе приложенной к телу силы («Физика 8», § 55).

Роль импульса и кинетической энергии в описании движения. Различие между величины $\vec{P}$ и $E_k$ не ограничивается тем, что одна из них векторная, а другая скалярная.

Из равенства (1) видно, что если сила $\vec{F}$ задана, изменение импульса определяется только временем действия силы и не зависит от того, к какому телу она приложена. Любое тело (тело любой массы) под действием данной силы за данное время изменит свой импульс на одну и ту же величины. Далее если бы, например, стокунлы с герой басни Крылова «Слон и Моська», то импульс каждого из них изменился бы одинаково.

Равенство (2) говорит о том, что при заданной силе изменение кинетической энергии тела определяется только расстоянием, прошедным телом в направлении действия силы (произведение $s \cos \alpha$ — это проекция перемещения на направление силы). Любое тело под действием данной силы на данном расстоянии изменит свой кинетическую энергию на одну и ту же величины.

Таким образом, изменение импульса связано с промежутком времени, необходимым для изменения скорости тела, а изменение кинетической энергии связано с расстоянием, которое должно дополнить проектирование его скорости (разумеется, при заданной силе).

Другими словами, изменение импульса — это характеристика действия силы во времени, а изменение кинетической энергии — характеристика действия силы в пространстве.

29

Еще одно различие между импульсом и кинетической энергией. Пожалуй, самоое замещальное свойство импульса тела состоит в том, что общий импульс замкнутой системы тел (то есть векторная сумма импульсов всех тел системы) остается неизменным при любых взаимодействиях и любых движениях тел этой системы. Это — закон сохранения импульса («Физика 8», § 51).

Обладает ли свойством «сохранения кинетической энергии? Расмотрим простой пример, из которого сразу станет видно, что в этом импульс и кинетическая энергия отличаются друг от друга.

Пусть по гладкой (без трения) горизонтальной поверхности движется навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями $v$ два одинаковых, направляем стальные, шарика массой $m$ каждый (см. рисунок). В какой-то момент шарики соприкоснутся, затем какое-то время будут продолжать приближаться друг к другу, потом на мгновение остановятся и после этого начут расходиться, пока не станут движаться в противоположные стороны с прежними по модулю скоростями.

Посмотрим, чему равны суммарные импульсы и кинетические энергии обих шариков до, во время и после столковения.

До столковения импульсы шариков равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому

$$\vec{P}_1 + \vec{P}_2 = (m\vec{v}) + (-m\vec{v}) = 0,$$

а кинетические энергии шариков одинаковы и равны $mv^2/2$ каждый, так что

$$E_{k1} + E_{k2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2.$$

Во время столковения в тот момент времени, когда оба шарика покояться, их скорости равны нулю, следовательно,

$$\vec{P}_1 + \vec{P}_2 = 0,$$

$$E_{k1} + E_{k2} = 0.$$

После столковения шарики, как и до столковения, движется в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями, поэтому

$$\vec{P}_1 + \vec{P}_2 = -m\vec{v} + m\vec{v} = 0,$$

$$E_{k1} + E_{k2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2.$$

Таким образом, суммарный импульс системы двух шариков все время остановляется одним и тем же. Кинетическая энергия до и после столковения одинакова (именно такое столковение и называют упругим), а во время столковения она изменяется, так что в какой-то момент даже временно исчезла совсем. Значит, существует закон сохранения импульса, но нет закон сохранения кинетической энергии.

Заметим, что если бы шарики были не из стали, а из мягкой глины или пластилина, то при столковении они были спиллись, оставились и больше были не движились (такое столковение называют абсолотно неупругим). Их общий импульс был бы по-прежнему равен нулю, а кинетическая энергия во время столковения исчезла бы не временно, а навсегда.

Как известно, закон сохранения существует и для энергии, но не для кинетической, а для полной, включенной в себя и другие формы энергии. Так, в нашем примере временная пропажа кинетической энергии при упругом столковении шариков означает лишь тот факт, что в этот момент она полностью превращалась в потенциальную энергию упругой деформации шариков. В конце столковения потенциальная энергия вновь целиком превращалась в кинетическую. При неупругом же ударе кинетическая энергия шариков переходит во внутреннюю энергию (шарики нагреваются), которая обратно в кинетическую энергию уже не превращается.