Задачи М1081—М1085; Ф1093—Ф1097

21

Задчи

M1081 — M1085, Ф1093 — Ф1097

M1081. Докажите, что предпоследняя цифра числа $3^n$ при любом натуральном $n > 2$ четна.

В. И. Плачко

M1082. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что равенство
$$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2)$$
выполнен тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$ и $BD$ перепедикулярины, либо одна из них делится точкой $O$ пополам.

А. П. Савин

M1083. Найбольшее из неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ равно $a$.
a) Докажите неравенство
$$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n} \leq \left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^2 + \frac{a^2}{4}.$$

б) Когда в нем достигается равенство?

Л. Г. Ханин

M1084. Две окружности на плоскости пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что можно выбрать такую точку $C$, что любая окружность с хордой $AC$ будет пересекаться данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удаленных от $C$ (причем $C \neq B$).

В. Протасов, ученик 10 класса (Москва)

M1085*. Несоклько попарно скрещивающийся прямых, расположенных в пространстве, проектируется на горизонтальном плоскость. Их проекции изображены так, чтобы в точках пересечения было видно, какая точка расположена выше, а какая ниже. может ли получиться проекция, изображенная на рисунке $1(a - \beta)$?

С. Л. Табачников

Ф1093. Автомобиль массой $m = 1200$ кг, тормоз при выключенной передаче, катится вниз с постоянной скоростью по наклонному участку шоссе с углом наклона $\alpha$ ($\sin \alpha = \frac{1}{14}$). Каждое из четырех колес автоматически с одинаковой силой $N$ тормозные колодки $A$ и $A'$ (рис. 2). Найти $N$, если коэффициент треня скольжения между барбaconом и колодками $k = 0,4$. Просcakльывание между шинами и шоссе отсутствует.

В. И. Чувилёв

Ф1094. Узкая трубка постоянного сечения образует квадрат со сторонам $l$, закрепленный в вертикальной

22

Плосости. Трубка заполена равными объемами двух не проникающих друг в друга жидкости с плотностями $\rho_1$ и $\rho_2$ (рис. 3). Вначале более плотная жидкость заполняла верхнюю часть трубки. В некоторых моменте жидкости пришли в движение. Найти их максимальную скорость. Треня нет. Ускорение свободного давления $g$.

Г. В. Меледин

Ф1095. Рассеяний величины объема, как случайно нахал на вертикальную стенку. Оценить, при какой минимальной скорости шина при ударе деформация до металлического обода. Предполагается, что вы, хорошо представляя явление, можете задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно правильно их числовые значения и получить числовой результат.

Г. В. Федогович

Ф1096. Проволочное колюто радиусом $R$ имеет проводящую перемычку, расположенную вдоль диаметра. В левую и правую полукругности включены конденсаторы $C_1$ и $C_2$ (рис. 4). Колюто помещено в нарастище линейно со временем магнитное поле с индукцией $B(t)=B_0 t/T$, перpendикулярное его плоскости. В некоторых моменте перемычку убирают и затем прекращают изменять поле. Найти загрудь, установившиеся на конденсаторах.

Г. В. Федогович

Ф1097. Для уменьшения доли отраженного света от поверхности стекла на нее наносит тонкую пленку, показатель преломления которого меньше показателя преломления стекла (просветление оптики). Какой наиболее толщины пленку с показателем преломления $n=4/3$ надо нанести на поверхности стекла, чтобы при padении (нормально к поверхности) света, содержащого излучение двух длины волн с $\lambda_1=700$ nm и $\lambda_2=420$ nm, отраженный свет был максимально ослаблен для обихади волн?

В. И. Чивилёв

Problems
M1081—M1085, P1093—P1097

M1081. Prove that the next to last digit of the number $3^n$ for any natural $n>2$ is even.

V. I. Plachko

M1082. The diagonals of the convex quadrilateral $ABCD$ intersect at the point $O$. Prove that the relation