Московский институт электронного машиностроения

56

Рис. 4.

реш). Что показут волтметры $V_1$ и $V_2$ при разомкнутом ключе, если их сопротивления равны?

4. Пучок лазерного излучения мощностью $W=100$ Вт падает на непрозрачную пластинку под углом $\alpha=30^\circ$. Пластинка поглощает 60 % падающей энергии, а остальной энергию зеркально отражает. Найдите абсолотную величины силы, действующей на пластинку со стороны света. Скорость света $c=3 \cdot 10^8$ м/с.

Вариант 2

1. Детская игрушка-неваляшка (ванька-станка) представляет собой фигуру высотой $h=21$ см и массой $M=300$ г с симметриным распределением массы относительно оси $KD$, причем поверхность нижней части неваляшки есть часть сферы радиусом $R=6$ см (рис. 3). Если неваляшу поставить на шероховатую плоскую поверхность, наклоненную под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту, то неваляшка занимает устойчивое положение равновесия, при котором ее ось $KD$ отклоняется от вертикали на угол $\beta=45^\circ$. Какую наименьшую массу пластинна надо прикрепить к макушке неваляшки в точке $K$, чтобы она потеряла устойчивость на горизонтальной поверхности стола?

2. Подводная опора, забитая в глинистый грунт водоема глубиной $h=3$ м, представляет из себя два соосных цилиндра различных диаметров (рис. 4). Найдите силу, действующую на опору со стороны воды в водоеме, если площадь сечения цилиндра меньше диаметра, забитого в грунт, $S=1$ м$^2$, объем части опоры $ABC$, нахождение в воде, $V=4$ м$^3$, плотность воды $\rho=1$ г/см$^3$.

3. Проволочное колюцо, состоящее из двух разнородных тонких проводников в форме полуокружностей одинаковой длины $L$ с равными площадями сечения проводников $s$, равномерно врачается с частотой $v$ в одноморном магнитном поле с индикцией $\vec{B}_0$. Ось врачания колюца проходит по его диаметру и составляет прямой угол с вектором магнитной индукции. Найдите мощность тепловых потерь в колюце, еслиудельные электрические сопротивления проводников равны $\rho_1$ и $\rho_2$.

4. На плоскопаральную стеклянную пластинку, нижняя гран которой посеребrena,

Рис. 5.

падает под углом $\alpha=30^\circ$ узкий пучок света, содержащий излучение двух длин волны $n_1$, а для другой $n_2(n_2>n_1)$. В результате преломления на верхней грани, однократного отражения от нижней и еще одного преломления на верхней грани из пластинки выходят два пучка света. Найдите расстояние между пучками, вышедшими из пластинки, если ее толщина $H$.

Публикация подготовили
К. А. Вукин, В. Н. Дерябкин, В. И. Чувилёв

Московский институт электронного машиностроения

Математка

Писъемный экзамен

Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$1 + \frac{5a-3}{x-a} = \frac{5(2a+1)(1-a)}{(x-a)(x-3a+1)}.$$

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{2 \sin x - 4 \cos x} = \sqrt{1 - 2 \text{ctg} x}.$$

3. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли, что плоскости $ABC_1$ и $A_1B_1D_1$ перпендикулярны? Дайте обоснование ответа.

4. Какие наравнения называются равносильными? Равносильны ли наравнения $x^2-x<6$ и $(x^2-x)(x^2+1)<6(x^2+1)$? Верно ли, что для произвольных функций $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ наравнения $f(x)>g(x)$ и $f(x)\cdot h(x)>g(x)\cdot h(x)$ равносильны?

5. При каких значениях $a$ уравнение
   $$(a+1-|x-1|)(a+x^2-2x)=0$$ имеетровно три корня?

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\frac{a+x}{ax^2} = \frac{1}{x(a-1)} + \frac{1}{a(a-1)}.$$

2. При каких значениях $x$ произвольная функция $y=15 \sin x-10 \sin 3x+3 \sin 5x$ равна нулю?

3. Примая параллельна плоскости. Верно ли, что все точки прямой равноведены от плоскости? Дайте обоснование ответа.

4. Приведите определение, изложите с обоснованием свойства функций $y=\cos x$ и построение ее графика.

5. График функции $y=ax^2+bx+c$ пересекает ось $x$ в двух точках, одна из которых лежит между точками $(2;0)$ и $(3;0)$, а другая — между точками $(-5;0)$ и $(-4;0)$. Этот же график пересекает ось $y$ в точке, лежащей между точками $(0;-7)$ и $(0;-6)$. Определите значения $a$, $b$, $c$. Что больше: $|a|$ или $|c|$? $|a|$ или $|b|$?

Публикацию подготовили
В. А. Тонян