Сумма углов сферического многоугольника

55

ра. Из формулы $B-P+M=1$ для карты получаем формулу $B-P+\Gamma=2$ для многогранника.

Общая теорема Эйлера

Использование суммы углов для доказательства теоремы Эйлера — прием красивый, но несколько искусственный. На самом деле теорема Эйлера верна и для более общей ситуации — например, для произвольной карты с $B$ вершинами, $P$ ребрами и $\Gamma$ странами на сфере, причем «ребрами» могут служить любые отрезки кривых, лишь бы каждой страна имела границу из нескольких идущих целочкой ребер (в частности, внутри страны не должны быть «дыр», относится к другим странам). Однако из возможных идей доказательства теоремы в такой большей общности — индукция, основанная на «стягивании» одной из страны в точку.

Сумме углов многоугольника на сфере и теореме Эйлера для карты на сфере посвящена следующая заметка.

Сумма углов сферического многоугольника

На сфере мы будем рассматривать многоугольники, стороны которых — дуги больших кругов. Такой многоугольник можно получить как пересечение сферы с многогранным углом, вершина которого лежит в центре сферы $O$ (рис. 1). Величиной угла многоугольника на сфере естественно считать угол между касательными к его «сторонам», проведенными из вершины; поскольку касательные перpendикулярные радиусу, проведенноу в вершину из точки $O$, угол многоугольника на сфере равен двумранному углу при этом радиусе.

Аналогия между «суммой углов» и площадью, которое мы вскользь упомянули в предыдущей заметке, здесь ставится осZAемой: одна величина просто выражается через другую.

Теорема. Площадь многоугольника на сфере пропорциональна разности между суммой его углов и $180^\circ(n-2)$, где $n$ — число вершин многоугольника.

Козффициент пропорциональности зависит лишь от радиуса сферы. Прием радиус сферы за единицу (тогда площадь сферы равна $4\pi$) и условимся

Рис. 1.

углы измерять не в градусах, а в радианах ($180^\circ$ соответствует $\pi$ радианам). Тогда площадь $n$-угольника на сфере равна $\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n-\pi(n-2)$, где $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ — его углы.

В частности, площадь треугольника на единичной сфере с углами $\alpha, \beta, \gamma$ равна $\alpha+\beta+\gamma-\pi$.

Проверим формулу $S=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ для осмышки сферы, вырезаемой из нее треява взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими через центр: у этой осмышки три угла по $\pi/2$ каждый, и по формуле ее площадь равна $3\pi/2-\pi=\pi/2$ — действительно, это $1/8$ часть от $4\pi$, площади все сферы.

Доказать эту теорему достаточно для сферического треугольника: общая формула получится из этого частного случая также, как и при доказательстве теоремы о сумме углов плоского $n$-угольника, — с помощью разрезания и математической индукции.

Продолжив стороны сферического треугольника, мы получим три больших круга, разбивающих сферу на 8 треугольников (удобно представить себе три пересекающих в центре $O$ плоскости этих больших кругов, делых пространство на 8 треугольных углов,— каждый из них высекает на сфере треугольник). Обозначим углы нашего треугольника через $\alpha, \beta$ и $\gamma$, его площадь — через $S$, площади соседних с ним треугольников (примыкающих к сторонам, лежащим против углов $\alpha, \beta$ и $\gamma$ соответственно) — через $a, b$ и $c$ (рис. 2). Вместе с каждыми треугольниками наш тре