Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

66

никуса; $M$ — точка касания этого шара с основанием. Проведем вспомогательную плоскость через высоту конуса $SO$ и центр шара $A$. Сечение имеет вид, показанный на рисунке 8; буквами $E$ и $N$ обозначены точки касания шаров с боковой поверхностью конуса.

Будем искать высоту конуса $SO$ как сумму длины отрезков $SP$, $PL$ и $LO$. Из прямогольного треугольника $PLA$
$$PL = \sqrt{PA^2 - LA^2} = \sqrt{PA^2 - OM^2},$$
а величины отрезка $OM$ находим в точности так же, как в первой задаче, спроектировав шары на плоскость основания конуса (см. рис. 1). Получим $PL = 2r\sqrt{6}/3$.

Из подобия треугольников $SEP$ и $PLA$
$$SP = \frac{PE \cdot PA}{LA} = r\sqrt{3}.$$
Так как $LO = r$, окончательное имеем $SO = r(\sqrt{3} + 2\sqrt{6}/3 + 1)$.

Уражнения

1. В правильную треугольную парамиду с ребром основания длиной $a$ и двумяным углом при основании, равным $60^\circ$, вожен три шара одинаковых радиусов так, что каждой шара касается двух других, плоскости основания и двух боковых граней парамиды. Найдите радиус каждой шара.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Mathematica
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\cos \left( \frac{1}{\sin x} \right) = \frac{1}{2}.$$

2. Решите неравенство
   $$\log \sqrt{6} - \sqrt{2} (x^2 + 4x + 11 - 4\sqrt{3}) < 2.$$

3. Два шара касаются плоскости $P$ в точках $A$ и $B$ и расположены по разные стороны от этой плоскости. Расстояние между центрами шаров равно 10. Третьй шар касается внешним образом двух данных шаров, а его центр $O$ лежит в плоскости $P$. Известно, что $AO = BO = 2\sqrt{10}$, $AB = 8$. Определите радиус треугольного шара.

4. На плоскости лежит прямой круговой цилиндр радиусом $R$ и, не пересекаясь с ним, лежит шар радиусом $r$. Расстояние от оси цилиндра до центра шара равно $\rho$. Найдите минимальный возможный радиус шара, который бы касался одновременно цилиндра, плоскости и заданного шара.

5. Дан куб с основаниями $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1 (AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1)$. В угол $A$ куб вписан шар радиусом $R = 0,5$. Найдите радиус шара, вписанного в угол $C_1$ куб и касающейся данного шара, если ребро куба $a = 1,5$.

6. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырех шаров. Найдите объем конуса, если радиус каждого шара равен $r$.

7. В двумя границах угол величиной $60^\circ$ вписаны два шара радиусом $R$, касающейся друг друга. Найдите радиус шара, вписанного в тот же угол и касающейся обих данных шаров.

8. В прямом круговом конусе расположены два одинаковых шара радиусом $r$, касающейся основания конуса в точках, симметричных относительной центра основания. Каждый шар касается боковой поверхности конуса и другого шара. Высота конуса в 4/3 раза больше основания. Найдите объем конуса.

9. Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен 4, причем $AC = BC$. На прямой $AB$ взята точка $D$, удаленная от прямых $AC$ и $BC$ на расстояния 11 и 3 соответственно. Найдите косинус угла $DBC$.

10. Два поезда выехали одновременно в одном направлении из городов $A$ и $B$, расположенных на расстоянии 60 км друг от друга, и одновременно приблиги на станцию $C$. Если бы один из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой — на 20 км/ч, то они также приблиги бы одновременно на станцию $C$, но на 2 часа раны. Найдите скорости поезда.

11. Найдите все пары значений $a$ и $b$, для которых системы
    $$\begin{cases} x^2 - y^2 + a(x+y) = x - y + a, \\ x^2 + y^2 + bxy - 1 = 0 \end{cases}$$
    имет не менее пяты решений $(x, y)$.

12. Сфера касается ребер $AS, BS, BC$ и $AC$ треугольной парамиды $SABC$ в точках $K, L, M$ и $N$ соответственно. Найдите длину отрезка $KL$, если $MN = 7$ с, $NK = 5$ с, $LN = 2\sqrt{29}$ с и $KL = LM$.

67

Вариант 2
(факультет вычислительной математики и киберnetики)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{x} + 3y = 9, \\ x - 1 = (\sqrt{x} + 1)y. \end{cases}$$

2. Существуют ли действительные значения $a$, для которых
   $$a^2 - 4a + \sqrt{3} = -a\sqrt{2}$$
   Если такие значения существует, то сколько их?

3. Решите неравенство
   $$\log_{(x+1)^2} 8 + 3 \log_4(x+1) \geq 9 \frac{1}{4}.$$

4. Решите уравнение
   $$(2 + 3 \cos 2x)(\sqrt{2 \cos 2x + 3 \sin x} + 3) - 2 \sin x + 1) = 0.$$

5. С завода на стройку нужно перевести 24 больших и 510 маленьких бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется автоматически, каждая из которых вместеет 44 маленьких блока и имеет групподемность 10 тонн. Масса маленького блока 0,2 тонны, большого — 3,6 тонны, большой блок занимает место 14 маленьких. Найдите минимальное число ресов, достаточно для переозки всех блоков.

6. В примите ABCD проведено сечение KMLN так, что точка K лежит на ребре AD, точка M — на ребре DC, точка N — на ребре AB, точка L — на ребре BC, O — точка пересечения диагоналей KL и MN четырехугольника KMLN. Сечение KMLN делит примиду на две части. Найдите отношение объемов этих части, если известны следующие соответствия между длинами отрезков:
   $$4 \cdot OL = 3 \cdot OK, 25 \cdot ON = 24 \cdot OM,$$
   $$DK \cdot NA = KA \cdot BN = KA \cdot NA.$$

Вариант 3
(фактический факультет)

1. Решите неравенство
   $$\frac{1}{2x} \geq \frac{1}{1-x}.$$

2. Решите уравнение
   $$4^{\sin x} + 2^{5-2\sin x} = 18.$$

3. Известно, что $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{4\pi}{3}$. Найдите $\cos \alpha$ и $\mathrm{tg} \alpha$.

4. Найдите область определения функций
   $$y = \sqrt{\log \frac{1}{2}(3x^2 - 2x)}$$.

5. Внутри прямогольного треугольника ABC (угол B — прямой) взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Длины отрезков AD и DC равны соответственно $a$ и $c$. Найдите длину отрезка BD.

6. Шар радиусом 2 впиscan в правильную четырехугольную парамиду SABCD с вершиной S. Второй шар радиусом 1 касается первого шара, основания парамиды и боковых границ BSC и CSD. Найдите объем парамиды и величины двугранного угла при боковом ребре SC.

Вариант 4
(химический факультет)

1. Решите уравнение
   $$(1 + 2 \sin x) \sin x = \sin 2x + \cos x.$$

2. Решите неравенство
   $$4\log_2 x + \log_2 \left(\frac{x^2}{8(x-1)}\right) \leq 4 - \log_2 (x-1) - \log_2^2 x.$$

3. Стороны треугольника лежат на осах координат и на касательной к графику функции $y = x^2 + 2x + 1$ в точке, абсцисса $a$ которого удовлетворяет условию $-\frac{1}{2} \leq a \leq 0$. Найдите значение $a$, при котором площадь треугольника будет наиболее.

4. Основанием четырехугольной парамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка E такая, что отрезок CE перпендикулярен ребру AF. Проески O точки E на основание парамиды лежит на отрезке AC и делит его в отношении AO:OC=γ. Найдите разность объемов парамид FABCD и EABD, если известно, что $\angle ADF = 90^\circ$, а AB=a.

5. Найдите все значения $p$, при каждом из которых можноесто решений неравенства
   $$(p - x^2)(p + x - 2) < 0$$
   не содержит ни одного решения неравенства
   $$x^2 \leq 1.$$

Вариант 5
(бюлологический факультет)

1. Решите уравнение
   $$7\sin(2x - \frac{5}{2}\pi) + 9\cos x + 1 = 0.$$

2. Из пункта A по реке отправляется плот. Одовременно называется ему отправляется ктер из пункта B, расположенного ниже по течению относительно пункта A. Встретив плот, ктер сразу поворачивает и идет по течению. Найдите, какую часть пути от A до B проijdет плот к моменту возврашения ктера в пункте B, если скорость ктера в стояней введено большие скорости течение реки.

3. Решите неравенство
   $$\frac{3 \log_0.5 x}{2 - \log_0.5 x} \geq 2 \log_0.5 x + 1.$$

4. Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P — середина боковой стороны AB. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если AD=2BC.

5. Найдите все значения $a$, при которых система
   $$\begin{cases} 9x^2 - 6xy + y^2 + 6x - 13y + 3 = 0, \\ 13x^2 + 6xy + 10y^2 + 16x + 2y - 4ax - 6ay + a^2 - 2a + 3 = 0 \end{cases}$$
   имет хотя бы одно решение.

69

5. В треугольнике $ABC$ точка $K$ на стороне $AB$ и точка $M$ на стороне $AC$ расположены так, что
   $$\frac{AK}{KB} = \frac{2}{3} \text{ и } \frac{AM}{MC} = \frac{4}{5}.$$
   Найдите отношение, в котором точка пересечения прямых $KC$ и $BM$ делит отрезок $BM$.
6. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система
   $$\begin{cases} 3 \cdot 2|x| + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$$
   имеет единственное решение.

Вариант 11
(факультет психологии)

1. Сумма первых пяты членов геометрической прогрессии на 3/2 больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найдите ее четвертый член, если известно, что значатель прогрессии положитель.
2. Решите уравнение
   $$\log_2(x^2 - 2x - 1) - \log_2(x - \frac{1}{2}) = 1.$$
3. Бригада маляров белила потолки в классе и в актовом зал школи, причем площадь потолка в актовом зал в три раза больше, чем площадь потолка в классе. В той части бригады, которая работа в актовом зал, было на 6 маляров больше, чем в той части, которая работа в классе. Когда побелка всего потолка в актовом зал законилась, та часть бригады, которая была в классе, еще работала. Какое наиболее число маляров могло быть в бригаде, если все они начали работать одновременно и работали с одинаковой производительностью?
4. Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{3}{4} - \cos x} = \sqrt{\frac{3}{4} - \cos 3x}.$$
5. В выпukлом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $BOC, COD, AOD$ равны соответствующим 20, 40, 60. Найдите угол $BAO$, если известно, что $AB=15$, $AO=8$, а угол $BOA$ больше 31°.
6. Доказите, что все решения неравенства
   $$\sqrt{x-1} \equiv \sqrt{3} \sqrt{x^2-1} > 2$$
   удовлетворяют неравенства
   $$x+2\sqrt{x-1} + \sqrt{3} \sqrt{x^2-2x^2} + 1 > 1 + 2\sqrt{x^2-1}.$$
   Вариант 12
   (отделение структурной и прикладной линейности филологического факультета)
7. Решите уравнение
   $$2\cos 2x + 4\cos x = \sin^2x.$$
8. Решите уравнение
   $$\log_5 - x^2(2x^2 - 8x - 2) = 1 + \log_5 - x^22.$$
9. Решите неравенство
   $$\sqrt{2x^2 - 15x - 17} > x + 3.$$
10. Medianны $AM$ и $BE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Точки $O, M, E, C$ лежат на одной окружности. Найдите $AB$, если $BE = AM = 3$.
11. Решите неравенство
    $$\frac{9}{3x+2} > \frac{1 + \log_3(x+6)}{x}.$$
    Физика
    Физическая факультет
12. По штанге может без трения скольить муфта, прикрепленная пружиной к оси $OO'$ (рис. 1). При выражении штанги с постоянной угловой скоростью $\omega$ положение муфты смешается вдоль штанги. Какому условию должен удовлетворять угловая скорость $\omega$, чтобы это смешение было мало по сравнению с длиной пружины в недеформированном состоянии? Масса муфты $m$, жесткость пружины $k$.
13. По горизонтальной поверхности пружиной с постоянной скоростью движения гладкая полусфера радиусом $R$ (рис. 2). В некоторый момент времени вершина полусферы касается нижней точки маленького шарика, который до этого момента удерживает, а в момент касания отпускается. При каком мин-

70

malным значением скорости полусферы она не будет мешать свободному падению шарика? Ускорение свободного падения g.

3. На абсолотно гладкой горизонтальной поверхности лежит куб, связанный приружной с вертикальной стенкой (рис. 3). Примая OO’ проходит через середины противоположных сторон куба и освую линию пружины. Летняя в направлении OO’ пуля попадает в середину стеноны куба и застревает в нем. Куб начинает при этом колбаться с перiodом T и амплитудой A. Чему была равна скорость пули перед ударом? Масса куба M, масса пули m. Закон Гука выполняет.

4. В баллоне находимось m=0,3 кг геляя. Через некоторое время в результате утечки геляи и уменшения абсолотной температуры на 10 % давление в баллоне уменшилось на 20 %. Какое число молекул геля просочилось из баллона? $N_A=6 \cdot 10^{23}$ /моль, $M_{\text{He}}=0,004$ кг/моль.

5. Влажный воздух, масса которого (вместе с водяными парами) m, занимает объем V при температуре T и давлении p. Давление насыщенных паров при этой температуре p₀. Молярная масса сухого воздуха M₁, воданых паров — M₂. Определите относительной влажность воздуха. Насыщенные пары рассматриваются как идеальный газ.

6. Положительный заряд q равномерно распределен по тонкому колыцу радиусом r₀. Точный положительный заряд Q движется вдоль оси AC, перpendикулярной плоскости колыца и проходящей через его центр B (рис. 4). Какую минимальную скорость этот заряд должен иметь в точке A, отстоящей от центра колыца B на расстояние d, чтобы достигнуть точки C, лежащей на оси AC за колыzm? Масса заряда m. Потенциаль точного заряда q₀ в точке, находящейся на расстоянии r от заряда, равен φ=q₀/(4πε₀r).

7. В средней части плоского конденсатора, расстояние между пластинами которого d=10 cm, расположен вдоль поля диэлектрической стержень длиной l=1 см (рис. 5). На концах стержня имеются два точных заряда одинаковой величины q=10⁻¹¹ Кл, но противоположного знака. Определите разность потенциаль между пластинами конденсатора, если для этого, чтобы поверхность стержень на 90° вокруг оси, проходящей через центр (т. е. расположить поперек поля), необходимо совершить работу A=3·10⁻¹⁰ Дж.

8. Какую работу совершит источник постоянного тока с ЭДС=100 В, включенный в схему, изобравенную на рисунке 6, после замыкания ключа K к моменту времени, когда процесс дозарядки конденсатора emкостью C₁ уже завершится? C₁=2·10⁻⁵ Ф, C₂=2×10⁻⁵ Ф.

9. Два плоских зеркала составляют двумя уголами α=120°. В плоскости, делящей угол пополам, расположен точный источник света S (рис. 7). Расстояние между первыми минимыми изобравениями источника равно H. Чему будет равно расстояние между изобравениями, если угол α уменшить в два раза?

10. На переднюю грань плоскопаральной пластинки, изготовленной из стекла с казателем преломления n, падает скоящейся световой пучок, имеющий вид конуса с углом при вершине γ (рис. 8). Диаметр освещенного пятна на передней грани пластинки D. При какой толщине пластинки диаметр выходного пятна будет равен D/2?

Механико-mатематический факультет

1. Граната массой m=1 кг разорвалась на высоте H=6 м над землей на два осокка. Непосредственно перед разрывом скорость граныы была направлена горизонтально и по модулю равна v=10 м/c. Один из осокков массой m₁=0,4 кг попелел вертикально вниз и упал на землю под местом разрыва со скоростью v₁=40 м/c. Чему равен модель скорости второго осокка сразу после разрыва?

2. Междувару кубиками массии m и M находится сжатая приxima (рис. 9). Если кубик масой M удерживает на месте, а другой кубик отпускить, то он отлетит со скоростью v. С какой скоростью будет движаться кубик масой m, если она кубика освободить одновременно? Деформация прижины в обих случаях одинакова. Треннем и массой прижины пребегчь.

3. Алюминивая спица длиной L=25 см и площадно поперечного сечения S=0,1 см² подвешена на нити за верхий конец (рис. 10). Нижний конец опирается на горизонтальное до сосуда, в которой налита вода. Длина погруженной в воду части спицы l=10 см. Найдите силу, с которой спица давит на до сосуда, если известно, что нить расположена вертикально. Плотность алюминия Q_a=2,7 г/cm³, плотность воды Q_b=1 г/cm³.

4. В чайник наличи в воду при температуре t=10 °C и поставили на электропитку. Через время τ₁=10 мин вода закипела. Через какое время вода полностью выкипит? Удельная температура воды c=4,2 кДж/(кг·К), удельная температура парообразования r=2,3 МДж/кг. Температура кипения воды t_k=100 °C.

5. Вертикальное расположенный цилиндрический сосуд, закрытый подвижным поршнем

71

массой $M=2$ кг, содержит идеальный газ при температуре $T_1=300$ К. На поршень помещают тело массой $m=100$ г и нагревают газ так, чтобы поршень занял первоначальное положение. Найдите температуру нагретого газа. Атмосфере давление не учитывать.

6. С идеальным газом массой $m=20$ г и молярной массой $\mu=28$ г/mоль совершается циклический процесс, изобравенный на рисунке 11. Какую работу совершает газ за один цикл? Универсальная газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль·К), $T_1=300$ К, $T_2=496$ К. При расширении газа на участке 2—3 его объем увеличивается в два раза.

7. В схеме, приведенной на рисунке 12, где $R_1=60$ Ом, $R_2=20$ Ом, $R_3=40$ Ом и $R_4=20$ Ом, батарею и конденсатор помещали местами. Восколько раз изменится при этом заряд конденсатора?

8. В двух одинаковых плоских конденсаторов пространство между обкладками заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=3$: в одном направлении, в другом полностью (рис. 13). Найдите относение емкостей этих конденсаторов.

9. Луч света падает в центр верхней грани стеклянного кубика. Чему равен максимальный угол падания, при котором преломленный луч еще попадает на нижнюю границу кубика? Показатель преломления стекла $n=1,5$.

10. Два параллельных луча света, расстояние между которых равно радиусу $R$ основания круглого прямого проэнергного цилиндра, падает на боковую поверхность этого цилиндра (рис. 14). Луч параллельно основанию цилиндра. Найдите показатель преломления материала цилиндра, при котором луч пересекаются на его поверхности.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Определите силу, с которой молоток действует на гвоздь при ударе, исходя из следующих данных: масса молотка $m=1$ кг, скорость молотка непосредственного перед ударом $v=5$ м/c, в результате удара гвоздь входит в дерево на глубину $l=2,5$ см. Считать силу сопротивления дерева постоянной, массой гвоздя по сравнению с массой молотка пренебречь.

2. На горизонтальной плоскости лежит деревянный брусок массой $M=4$ кг, прикрепленный к вертикальной стенке пружиной жесткостью $k=100$ Н/m (рис. 15). В центр бруска попадает пуля массой $m=10$ г, летящая горизонтальное и параллельное пружине, и застревает в нем. Определите скорость пуля, если максимальное скатание пружины после удара $\Delta l=30$ см. Треннем бруска о плоскость пренебречь.

3. Враслет массой $M=80$ г сделан из сплава золота и середба. Вычислите массу золота, содержащого в браслете, расположая следующее данные: плотность золота $\rho_1=19,3$ г/cм$^3$, плотность середба $\rho_2=10,5$ г/cм$^3$. При погружении брусла в воду, находящуюся в сосуде с вертикальным стенкам и площадью основания $S=25$ см$^2$, уровень воды поднимается на $h=2$ мм.

4. Нагретый металлический порошок высшит в жидкость массой $m_1$, находящуюся при температуре $T_1$. Масса порошка $m_2$, его удельная температура $c_2$. Когда установилось тепловое равновесие, оказалось, что температура системы равна $T$, а масса жидкости уменьшилась на $\Delta m$. Удельная температура жидкости $c_1$, ее удельная температура парообразования $r$, температура кипения $T_k$. Найдите температуру, которое имел нагретый порошок.

5. В вертикальном расположенном цилиндре постоянного сечения под несовомым подвижным поршнем на гвоздь массой $m=10$ кг. На сколько перемещаются поршень, если температура воздуха в цилиндре поддерживается постоянной? Атмосфере давление $p_0=10^5$ Pa, площадь сечения поршня $S=100$ см$^2$, расстояние от ненагруженного поршня до дня цилиндра $h_0=100$ см.

6. Два сосуда, объемы которых $V_1$ и $V_2$, содержащими одинаковый одноатомный газ с молярной массой $M$. В сосуда объем $V_1$ масса газа равна $m_1$ при температуре $T_1$, а в сосуда с объемом $V_2$ — соответствующего $m_2$ при температуре $T_2$. Сосуды соединяют трубки. Пренебрегая объемом трубки и теплобменом

72

с окружающей средой, найдите давление, установившееся в сосудах.

7. Две лампы имеют мощности $P_1=20$ Вт и $P_2=40$ Вт при стандартном напряжении сети. При их последовательном включении в сеть с другими напряжением оказалось, что в первой лампе выделяется та же мощность, что и при стандартном напряжении. Какая мощность выделяется при этом во второй лампе? Изменением сопротивления нитей ламп с температурой претензьы.

8. Конденсатор емкостью $C=10$ мкФ разрядается через цепь из двух параллельных резисторов сопротивлениями $R_1=10$ Ом и $R_2=40$ Ом. Какое количество теплоты выделится на резисторе с меньшим сопротивлением, если конденсатор был заряжен до напряжения $U=100$ В?

9. Пучок параллельных лучей шириной $a=3$ см падает под углом $a=45^\circ$ из воздуха на плоскую границу среды с показателем преломления $n=1,5$. Какова будет ширина пучка в среде (рис. 16)?

10. Луч света отражается от плоского зеркала, падая на него под углом $a=30^\circ$. На какое расстояние сместится отраженный от зеркала луч, если поверхность зеркала закрыть стеклом толщиной $d=3$ см? Показатель преломления стекла $n=1,5$.

Геологический факультет

1. Два тела начали одновременно двигаться из точки $A$ в точку $C$. Первое тело двигалось из точки $A$ сначала в точку $B$, а затем в точку $C$; второе — сразу в точку $C$ с постоянной скоростью $v$ (рис. 17). В любой момент времени тела находились на прямой, перpendикулярной $AC$. Надите среднюю скорость движения первого тела, если в треугольнике ABC угол BAC равен $30^\circ$, а угол ABC — $90^\circ$.

2. На неподвижной наклонной плоскости с углом $a$ укреплен невескомый блок, который может врашаться без трения (рис. 18). Через блок перекинита невескомая и нерастижная нить, соединенная с грузами массой $m$. Один груз может скольить без трения по наклонной плоскости. На второй груз действует сила $F$. Определите силу давления на ось блока.

3. Дубовый шар лежит в сосуде с водой так, что положина его находится в воде и он касается дна. С какой силой шар давит на доно сосуда, если его вес в воздухе $P=6$ Н? Плотность дуба $q=800$ кг/м³, плотность воды $q_b=1000$ кг/м³.

4. Для нагрева неокоторого количества идеального газа с молярной массой $M=28$ кг/кмоль на $\Delta T=14$ К при постоянном давлении потребовалось количество теплоты $Q_1=10$ Дж. Чтобы охладить газ до исходной температуры при постоянном объеме, необходимо от него отнять количество теплоты $Q_2=8$ Дж. Надите массу газа. Универсальная газовая постоянная $R=8,31\times 10^3$ Дж/(кмоль·К).

5. В сосуде, содержащий $m_1=0,6$ кг воды при температуре $t_1=10^\circ$ С, опускают $m_2=0,8$ кг лда, взятого при $t_2=-20^\circ$ С. Пренебрегая теплобменом с окружающей средой и теплоемкостью сосуда, определяте температуру и состав содержимого в сосуде. Удельная тепломкость воды $c_1=4,2\cdot 10^3$ Дж/(кг·К), удельная тепломкость льда $c_2=2,1\cdot 10^3$ Дж/(кг·К), удельная теплота льда $\lambda=3,3\times 10^5$ Дж/кг.

6. Электрон влагает посередине между обкладками плоского конденсатора параллельно пластинам со скоростью $v=10^7$ м/c. Расстояние между пластинами $d=3$ см, длина пластин $L=8$ см, разность потенциалов между пластинами $U=300$ В. Сможет ли электрон вылететь из конденсатора? Электрон движется в вакууме. Отношение заряда электрона к его массе $e/m=1,76\cdot 10^{11}$ Кл/кг. Силами тяготения претензьы.

7. Каково сопротивление $R_1$ волтметра, если в цепи, изобравенной на рисунке 19, волтметр показывает $U=50$ В? Показания амperметра $I=0,1$ А. Сопротивление $R=1000$ Ом. Сопротивлением амperметра претензьы.

8. Горизонтальный металческий стержень длиной $l=0,5$ м равномерно вращается вверткальной оси, проходящей через один из его концов, с частотой $n=5$ с$^{-1}$. Определите разность потенциалов между концами стержня, если верткальная составляющая магнитного поля Земли $B=5\cdot 10^{-5}$ Тл.

73

9. Точчный источник света $S$ находится на биссектрисе угла между двумя плоскими зерканами (рис. 20). Найти расстояние $x$ от источника света до вершины угла, если расстояние между изображениями источника $l=0,35$ м и угол $a=60^\circ$.

10. Между дуумя плоскопаральными стекляными пластинками имеет небольший возрастный зазор. Сквозь пластинки проходит луч монохроматического света, падающий на биссектрисе угла между двумя плоскими зерканами (рис. 20). Найти расстояние $x$ от источника света до вершины угла, если расстояние между изображениями источника $l=0,35$ м и угол $a=60^\circ$.

О стихотворных размерах

1. а) Такое слово не может содержать двух сильных слов и поэтому его ударный слог обязаан быть сильным. 6) Поскольку никакое слово не содержит более одного сильного слова, наше условие принимает вид: если слово содержит сильный слог, то его ударный слог совпадает с этим сильным слогом.

2. а) Если слово содержит более одного слова, то оно содержит как сильный слог ямба, так и сильный слог хорея. Значит, его ударный слог должен быть сильным слогом как ямба, так и хорея, но таких слов нет. 6) Аналогично предыдущему, никакое слово не содержит сильных слов обихих размеров. Тогда никакое слово не содержит и двух сильных слов обихих размеров, потому что между сильными словами обихих размеров обязательно присутствует сильный слог другого размера. Значит, в строке слов не меньше, чем сильных слов двух размеров, т. е. не меньше 6.

3. Если слово, содержащое 4-й слог, не односложно, то оно содержит 3-й или 5-й слог, т. е. содержит сильный слог хорея. Значит, ударный слог этого слова должен быть сильным слогом хорея и дактиля, а значит слово содержит 1-й или 7-й слог.

4. а) Сильных слов нет — условие выполняется автоматически. 6) В строке имеется единственный сильный слог, номер которого равен $k$ и не зависит от $n$

5. а) Хорей. 6) Нечетные строки — anaпест, четные — модифицированный anaпест (с ударными на 3-м, 6-м, 10-м и 13-м слогах). в Anaпест (впрочем, нечетные строки содержат только 5<3+3 слогов). г) (5,3)-размер. д) (5,3)-размер (хотя 1-я и 5-я строки содержат только 7<5+3 слогов).

О полные математики для ковбов

1. Формулу $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \left(2 - \frac{b}{d}\right)$ можно привести к виду $\frac{a}{c} = 1 - \left(\frac{b}{d} - 1\right)^2$. Так как квадрат любого числа неотрицательен, права часть формулы не больше 1, откуда $a \leq c$ (а и $c$ — положительные числа).

2. Исходное равенство $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}$ можно привести к виду

$$ad^2 = 2bcd - b^2c.$$

(1) Пусть, от противного, $(a, b) = 1$ и $(c, d) = 1$ (символом $(x, y)$ обозначает наиболее общий делитель чисел $x$ и $y$). Обозначим $(a, c) = A, (b, d) = B$. Тогда $a = aA, c = cA, b = bB, d = dB$, где $(a, c) = 1$ и $(b, d) = 1$. Подставив эти выражения в (1), после чего сократим на $AB^2$, получим

$$\bar{a}\bar{d}^2 = 2\bar{b}\bar{c}\bar{d} - \bar{b}^2\bar{c}.$$

Правая часть делится на $b$. Поэтому $\bar{a}\bar{d}^2$ делится на $b$. Но $(\bar{a}, \bar{b}) = 1$ и $(\bar{d}^2, \bar{b}) = 1$. Следовательно, $\bar{b} = 1$. Аналогично доказывается, что $\bar{d} = 1$. Отсюда $b = d$ и, согласно (1), $a = c$. Но тогда

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} - \frac{a}{b} \neq \frac{a-a}{b-b},$$

так как на ноль делить нельзя.

3. Обозначим $ab = 10a+b; \sqrt{bc} = 10b+c$, где $a, b, c$ — отличные от нуля цифры. По условию задачи

$$\frac{ab}{bc} = \frac{10a+b}{10b+c} = \frac{a}{c}.$$

Отсюда

$$9ac = 9ab + b(a-c).$$

(2) Следовательно, $b(a-c)$ делится на 9. Так как $a$ и $c$ — ненулевые цифры, то $|a-c| \leq 8$. Следовательно, либо $a-c=0$, либо $b$ делится на 3. В первом случае из (2) следует, что и $b=a$ — все цифры одинаковы. Остаточная следующее: а) $b=3, c = \frac{10a}{3a+1}$; б) $b=6; c = \frac{20a}{3a+2}$; в) $b=9; c = \frac{10a}{a+1}$.

Придавая $a$ значения 1, 2, …, 9, получим все четые искомые дроби $\frac{16}{64}, \frac{26}{65}, \frac{19}{95}, \frac{49}{98}$. При остальных значениях $c$ выражения для $c$ приводят либо к дробным значениям $c$, либо к совпадению всех цифр исключений.

4. То же условие (2) можно переписать в виде

$$9a+b = 10\frac{ab}{c}.$$

Обозначим $p=1,1,...,1$ (пединиц). Тогда $9p+1 = 10^n$. Пусть $x=abb,...b$ ($n$ цифр $b$), $y=bb,...bc$ ($n$ цифр $b$). Тогда $y=10bp+c; x=10^n a+bp = (9p+1)a+bp = (9a+b)p+a = \frac{10ab}{c}p+a = \frac{a}{c}(10bp+c) = \frac{a}{c}y$. Следовательно, $\frac{x}{y} = \frac{a}{c}$.

74

5. $$\sqrt{a + \frac{a}{a^2 - 1}} = a \sqrt{\frac{a}{a^2 - 1}}$$ формула, описывающая внешние из-под корня целой части числа.

6. $$\frac{a + 1/b}{b + 1/a} = \frac{a}{b}$$.

Избранные школьные задачи

1. $k = 1$ ($A = B$), либо $k = 100$ ($B = 0$). Решение. Пусть $k = (100A + B)/(100B + A)$ — целое. Очевиден ответ $k = 1$, $A = B$. Пусть $k \neq 1$, $A \neq B$. Тогда $A/B = (100k - 1)/(100 - k)$; считаем $k \neq 100$. Можно ли сократить дробь $(100k - 1)/(100 - k)$ так, чтобы как числитель, так и знаменатель, стал меньше 100? Если можно, то и дробь $(100k - 1)/(100 - k) - 1 = 101(k - 1)/(100 - k)$ тоже можно сократить аналогичным образом. Но 100—k и 101 не имеют общих делителей, т. к. 101 — простое, а 100—k < 100. Поэтому после сокращения получаем неократимую дробь вида $101 \cdot a/b$, числитель которого больше 100 — противоречие. Остается случай $k = 100$, для которого $B = 0$.

2. $104^2 + 72^2 = 120^2 + 40^2 = 16000$. Решение. Квадрат четного числа делится на 4, квадрат нечетного дает при делении на 4 остаток 1. Поэтому, если $x^2 + y^2 = 16000$, то $x = 2m, y = 2n$. Тогда $m^2 + n^2 = 4000$, и аналогично $m = 2m_1$, $n = 2n_1$, $m_1^2 + n_1^2 = 1000$, $m_1 = 2m_2$, $n_1 = 2n_2$, $m_2^2 + n_2^2 = 250 = 4 \cdot 62 + 2$. Значит, $m_2$ и $n_2$ — оба нечетные, и если $m_2 \geq n_2$, то $125 \leq m_2^2 < 250$. Однако в этом промежуточке существуетровно два квадрата нечетных чисел: $m_2 = 13$ и $m_2 = 15$. Отсюда легко получается ответ.

3. $x = 2$, $y = 1$, $z = 3$. Указание. Сумма всех уравнений дает равенство $x^2 + y^2 + z^2 + 2z^2 + x^2 + zx^2 = 48$, а их произведение после раскрытия скобок и учета вычисленного равенства дает $(xyz)^2(48 + 2xyz) = 2160$. Обозначив $t = xyz$, получаем кубическое уравнение $t^3 + 24t^2 - 1080 = 0$, имеющее корень $t_1 = 6$. Уравнение $t^3 + 24t^2 - 1080 = (t - 6)(t^2 + 30t + 180) = 0$ имеет еще два корня: $t_2, t_3 = -15 \pm 3\sqrt{5}$, которые нам не годятся, поскольку мы ищем положительные решения системы. Заменами $xy = \frac{6}{z}$, $yz = \frac{6}{x}$, $zx = \frac{6}{y}$ исходная система сводится к линейной, из которой $y = x/2$, $z = 3x/2$.

4. а) Решение показано на рисунке 1. 6) Сначала прикладываем линейку к одной стороне угла с вершиной $O$ и находим точку $M$ пересечения второй стороны линейки со второй стороной угла (рис. 2, а). Затем классем линий

нейку так, чтобы точки $O$ и $M$ оказались на разных ее сторонах, и проводим две параллельные прямые по обем сторонам линейки. В результате получаем уравнения угодл (рис. 2, б).

5. Пусть $AH$ — высота, $BM$ — медиана, $CK$ — биссертика в треугольнике $ABC$. Если треугольник $XYZ$ — равносторонний (рис. 3), то из треугольника $XHC$ находится $\angle XCH = 30^\circ$. Тогда $\angle ACB = 2 \cdot \angle XCH = 60^\circ$. Из треугольника $BYH$ находится $\angle CBM = 30^\circ$. Поэтому $\angle BMC = 90^\circ$, т. е. $BM$ — медиана и высота в треугольнике $ABC$. Следовательно, $AB = BC$. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный с углом 60° при основании, поэтому он равносторонний, а тогда точки $X, Y, Z$ обязательны совпадать — противоречие.

6. $x = \pm 1/\sqrt{50}$, $y = \pm 1$ (4 решения). Указание. Поделим об части уравнения на $4(xy)^{100}$:

$$\left(4x^{100} + \frac{1}{4x^{100}}\right)\left(y^{100} + \frac{1}{y^{100}}\right) = 4.$$

Поскольку каждое состояние из точки плоскости, принадлежих снимкам кругл и четыREM красным кривolinейным треугольником, образованным окружностями и всеми внутренними и внешними касательными к ним (рис. 4).

8. Пусть $CK$ — биссертика, $BM$ — медиана, $BM$ и $CK$ перpendicularны. Обозначим $BC = a$. Треугольник $MBC$ — равнобедренный, т. к. $CO$ одновременно и высота, и биссертика в нем (рис. 5). Значит, $AC = 2a$, а тогда $2a - a < AB < 2a + a$. Могут ли стороны $AC$ и $BC$ отличаться на 1, т. е. может ли $AC$ быть средней по величины сторона? Если $AC - BC = 1$, то $a = 1$, и тогда $1 < AB < 3$, т. е. средней сторона является $AB$, а не $AC$. Значит, $AC - BC \neq 1$. Остается случай, когда $AB$ — средняя сторона. Тогда $AC - BC = 2$, т. е. $a = 2$, поэтому $AC = 2a = 4$, $BC = a$ и $AB = 3$. Для треугольника $ABC$ со стороны 2, 3, 4 выполняются все условия задачи ($\angle BCA = \arccos 11/16$).

9. Заметим, что при замене $\alpha$ на $(-\alpha)$ и уравнения $\alpha$ на $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$) обе части неравенства не меняются. Поэтому достаточно ограничиться углами $\alpha$ из I и II квадратов. Но для $\alpha \in [0; \frac{\pi}{2}]$ имеем

$$\sin \alpha \leq \alpha \Rightarrow \cos (\sin \alpha) \geq \cos \alpha \geq \sin (\cos \alpha),$$

поскольку косинус на этом промежуточке убывает; а для $\alpha \in ]\frac{\pi}{2}; \pi]$ имеем $\sin \alpha \geq 0$, $\cos \alpha \leq 0$ и $\cos (\sin \alpha) \geq 0$ sin ($\cos \alpha$). Остается

75

заметить, что в указанных двойных неравенствах хотя бы одно — строгое.

10. Сумма $\frac{a}{c} + \frac{b}{d}$ максимальная, когда одно из слагаемых равно 999. Решение. Пусть $\frac{a}{c} \geq \frac{b}{d}$. Тогда $\frac{b}{d} \leq \frac{a+b}{c+d} \leq \frac{a}{c}$, т. е. $\frac{b}{d} \leq 1$. Пусть $a \leq 998$, тогда $\frac{a}{c} \leq 998$, так что $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} \leq 999$. Но если $\frac{a}{c} = 999$ (при $a = 999$, $c = 1$), то $\frac{a}{c} + \frac{b}{d} > 999$.

11. $0,9 < x_1 < 1; -1,1 < x_2 < -1; -1000 < x_3 < -999,9$. Решение. $f(x) = 0,001x^3 + x^2 - 1 = f_1(x) + f_2(x)$, где $f_1(x) = 0,001x^3, f_2(x) = x^2 - 1$. Корни $f_2(x) = 0$ — это $(+1)$ и $(-1)$, а при $|x| < 2, |f_1(x)| < 0,01$. Поэтому два корня $f(x)$ равны $x_1 \approx +1, x_2 \approx -1: f(+1) = 0,001 > 0, f(0,9) < 0 \Rightarrow 0,9 < x_1 < 1$, и аналогично, $-1,1 < x_2 < -1$. Заметим теперь, что уравнение $0,001x^3 + x^2 = 0$ имеет корень $(-1000)$, причем $f(-1000) = -1 < 0$, а $f(-999,9) > 0$, стало быть, $-1000 < x_3 < -999,9$.

12. а) Плоскость, в которой лежат обе цилиндров, начнем двигать параллельно самой себе, и при каждом ее положении фиксировать сечение цилиндров. Предварительно впишем в пересечение цилиндров шар радиусом $R$. В каждом сеении будут получаться квадраты со висиными в них кругами (рис. 6). Отсюда следует, что тело, являющееся пересечением цилиндров, как и висиный в него шар, «соткано» из указанных сеений; следовательно, объем этого тела так относится к объему висиного в него шара, как площадь квадрата относится к площади висиного в него круга: $\frac{V}{4\pi R^3} = \frac{(2R)^2}{\pi R^2}$. Отсюда $V = \frac{16R^3}{3\sin \alpha}$.

13. Ответ: нельзя. Что в данном прямоугольнике квадратов будет существовать окружность диаметром 1, не пересекающая квадратов. Для этого ее центр не должен расположаться близке чем на 1/2 к сторонам прямоугольника или к одному из квадратов. Присоединить к каждой квадрату размером $1 \times 1$ точки, находящиеся от него на расстоянии, не превысodiaщем 1/2, получим фигуру (квадрат со скругленными вершинами) площади $3+0,25\pi$. Эти фигуры не могут покрыть прямоугольника $19 \times 24$, даже если они не будут накладывать друг на друга, так как $120(3+0,25\pi) < 19 \times 24$. Поэтому для центра исключой окружности в прямоугольнике остается место.

14. Если $x > y$, то $x^2 - x^y = y^x - y^y \Rightarrow x^y(x^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1 = y^y(y^x - y^y) - 1$.

15. Обозначим $k = tg \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательных. Тогда

$$f'(0) = g'(0) = \frac{f'(0)g(0) - f(0)g'(0)}{g^2(0)} = k,$$

откуда $\frac{k \cdot g(0) - k \cdot f(0)}{g^2(0)} = k$ и $g(0) - f(0) = g^2(0)$. Обозначим $g(0) = t$, тогда посленее равенство переписьвается в виде $t^2 - t + f(0) = 0$. Это уравнение имеет решение $t = g(0)$. Значит, его дискриминант $D = 1 - 4f(0) \geq 0$. Отсюда $f(0) \leq 1/4$; max $f(0) = 1/4$.

Кinemатические связи в задачах диамники

1. $a_1 = \frac{m_1 \sin^2 \alpha}{m_1 \sin^2 \alpha + m_2 \cos^2 \alpha} g$,
   $a_2 = \frac{m_1 \sin \alpha \cos \alpha}{m_1 \sin^2 \alpha + m_2 \cos^2 \alpha} g$.

Puc. 6.

76

2. $T = \frac{4m_1m_2m_3}{4m_1m_3 + m_2(m_1 + m_3)} g$.

3. $a_1 = a_2 = g$.

4. $a = \frac{m \sin \alpha}{M + 2m(1 - \cos \alpha)} g$.

Стеоремтические задачи
с шарами

1. $a/8$.
3. $(\varrho^2 - (R - r)^2)/4(\sqrt{R} + \sqrt{r})^2$.
4. $(7 \pm 3\sqrt{3})/4$; $(5 \pm \sqrt{3})/4$.
5. $(1 + 2\sqrt{2})^2\pi^3/3$.
6. $R(5 \pm \sqrt{13})/3$.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Математика
Вариант 1

1. $x = (-1)^n \arcsin \frac{3}{\pi(\pm 1 + 6m)} + \pi n, n \in \mathbf{Z}$.
2. $(-3; -1)$.
3. $3/4$. Указание. Расстояние три случая расположения точки $D$: на стороне $AB$ или ее продолжения за точки $A$ и $B$. Составив соответствия для плоскедей треугольников $ABC$, $ADC$ и $BDC$, найдите в первом случae $AB:BC$ и докажите, что два последних случая невозможны.
4. 50 км/ч, 40 км/ч. Указание. Если скорости поездов равны $u$ и $v$, причем $u > v$, а время их движения равно $t$, то справедливый равенства
   $$\begin{cases} t(u - v) = 60, \\ (t - 2)((u + 25) - (v + 20)) = 60, \\ (t - 2)(u + 25) = tu \end{cases}$$
   (sлучай $(t - 2)((u + 20) - (v + 25)) = 60$ невозможен, так как $(t - 2)(u - v - 5) < t(u - v) = 60$).
5. $[(1; -2); (-1; -2); (a; 2)]$, $a \in \mathbf{R}$. Указание. Чтобы система
   $$\begin{cases} (x - y + a)(x + y - 1) = 0, \\ x^2 + y^2 + bxy - 1 = 0 \end{cases}$$
   имела не менее 5 решений, необходимо и достаточно, чтобы одна из систем
   $$\begin{cases} y = x + a, \\ (b + 2)x^2 + a(b + 2)x + (a^2 - 1) = 0 \end{cases}$$

или $\begin{cases} y = 1 - x, \\ (2 - b)x^2 + (b - 2)x = 0 \end{cases}$
имела не менее 3 решений. Это возможно только при
$b + 2 = a(b + 2) = a^2 - 1 = 0$ или $2 - b = b - 2 = 0$.
6. 9. Решение. Заметим вначале, что точки $K, L, M, N$ лежат в одной плоскости. Действительно, пусть через точку $S$ проведена плоскость $\alpha$ (рис. 7), параллельная плоскости $LMN$ и пересекающая прямые $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Тогда в силу равенства соответствующих отрезков касательных и параллельности соответствующих прямых имеем $AK = AN$ и $KS = SL = SB - LB = FB - MB = FM = CM - CF = CN - CE = NE$. Поэтому $NK \parallel \alpha$ и точка $K$ принадлежит плоскости $LMN$. Итак, четырехугольник $KLMN$ — вписанный и $KL = LM$, откуда $\angle LNK = \angle LNM = \varphi$. По теореме косинусов для треугольников $LNK$ и $LNM$ получаем
$$KL^2 = 116 + 25 - 4\sqrt{29} \cos \varphi \cdot 5 = 116 + 49 - 4\sqrt{29} \cos \varphi \cdot 7,$$
следоватьно,
$$4\sqrt{29} \cos \varphi = 12, KL^2 = 81.$$

Вариант 2

1. $(9; 2)$.
2. Не существует.
3. $(0; \sqrt{2} - 1) \cup (63; \infty)$.
4. $x = (-1)^n \arcsin \sqrt{5/6} + \pi n, n \in \mathbf{Z}$.
5. 20 решов. Решение. Достаточно рассмотреть 3 типа загрузки машинных блоками:

1. 0 больших и 44 маленьких блока, 2) 1 большой блок и 30 маленьких; 3) 2 больших и 14 маленьких блоков. Если $m_1, m_2, m_3$ — количество решов, соответствующих 1, 2 и 3 способу загрузки машинны, то $44m_1 + 30m_2 + 14m_3 \geq 510, m_1 + 2m_2 \geq 24$. Нужно найти набор с наиболее значением $m_1 + m_2 + m_3$. Если в требуемом наборе $m_1 \geq 1$ и $m_3 \geq 1$, то пару решов с загрузками 1 и 3 типа можно заменить парой решов со второй загрузкой и при этом увеличится 2 маленьких блока. Поэтому можно считать, что $m_1 = 0$ или $m_3 = 0$. Если $m_3 = 0$, то $m_2 \geq 24$. Если $m_1 = 0$, то
   $$\begin{cases} 15m_1 + 7m_2 \geq 255, \\ m_1 + 2m_2 \geq 24. \end{cases}$$
   Умножая второе неравенство на 8 и складывая его с первым, получим $m_1 + m_2 \geq 20$. При $m_2 = 16, m_3 = 4$ получим $m_1 + m_2 + m_3 = 20$.

77

Рис. 10.

6. 213/67. Указание. Лемма. Если в треугольнике HGT (рис. 8) HE:EH₁ = λ, TE:ET₁ = μ, то
   $$\frac{GT}{T_1H} = \frac{\mu + 1}{\lambda \mu - 1}.$$ (*)

Доказательство. Проведем FT₁ || GT. Тогда
$$\frac{GT_1}{T_1H} = \frac{FH_1}{HF} = \frac{EH_1 + EF}{HE - EF} = \frac{1 + \frac{EF}{EH_1}}{HE}{EH_1} - \frac{EF}{EH_1} = \frac{\mu + 1}{\lambda \mu - 1}.$$
Пусть прямые KN и ML (рис. 9) пересекаются в некоторой точке P, лежащей на прямой BD. Точка B расположена между точками D и P (это следует из леммы). Из треугольника PKM с помощью (*) получим PN:NK = 21/4 и PN:PK = 21/25; PL:LM = 6 и PL:PM = 6/7. Пусть AN:NB = x, тогда
$$DK:KA = \frac{25}{21x - 4} \text{ и } \frac{25}{21x - 4} - \frac{1}{x} = 1,$$
откуда x = 2/3, после чего находим $\frac{DB}{BP} = \frac{x + 1}{\frac{21}{4}x - 1} = \frac{2}{3}$ и DK:KA = 5/2. Из $\triangle DPC$ получим DM:MC = 3, CL:LB = $\frac{5}{9}$. Пусть $V_{ABCD} = V$. Осталось заметить, что
$$V_{PKDM} = \frac{DK}{DA} \cdot \frac{DP}{DB} \cdot \frac{DM}{DC} V = \frac{75}{56} V,$$
$$V_{PNBL} = \frac{PB}{PD} \cdot \frac{PL}{PM} \cdot \frac{PN}{PK} V_{PKDM} = \frac{81}{140} V,$$
откуда $V_{PKDM} - V_{PNBL} = \frac{213}{280} V$, после чего исключаем отношение находится без труда.
Вариант 3

1. $(0; 1/3] \cup (1; \infty)$.
2. $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
3. $\cos \alpha = -\frac{2}{3}, \text{tg} \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{5}$.
4. $[-1/3; 0) \cup (2/3; 1]$.
5. $\sqrt{\frac{3a^2 + 8c^2}{35}}$. Указание. Пусть расстояние

78

$$S_{ERQ} = 2y \text{ получим систему}$$
$$\begin{cases} x + 3x + 2y = 2(y + z), \\ 3x + 2y + y = 3(x + z), \\ x + 3x + 2y + y = 40. \end{cases}$$

5. $$\left[ \frac{2}{3} - \sqrt{2}; \frac{2}{3} + \sqrt{2} \right].$$
   Решение. Система приводится к виду
   $$\begin{cases} (3x - y + 2)^2 = 3(2x + 3y + \frac{1}{3}), \\ (3x - y + 2)^2 + (2x + 3y + 1 - a)^2 = 2, \end{cases}$$
   а после введения обозначений $u = 3x - y + 2$, $v = 2x + 3y + \frac{1}{3}$, $b = a - \frac{2}{3} - k$ виду
   $$\begin{cases} u^2 = 3v, \\ u^2 + (v - b)^2 = 2. \end{cases}$$

Для существования решения последней системы необходимо и достаточно, чтобы уравнение
$$3v + (v - b)^2 = 2$$
имело хотя бы один неотрицательный корень, т. е. чтобы значение квадратного трехчлена $v^2 + (3 - 2b)v + b^2 - 2$ при $v = 0$ было неположительным. Таким образом, получаем условие $b^2 \leq 2$, или $-\sqrt{2} \leq a - \frac{2}{3} \leq \sqrt{2}$.

Вариант 6

1. $x = \pi n/2, n \in \mathbb{Z}$.
2. $[-1, 5; 3]$.
3. 4 км/ч.
4. 8. Указание. Докажите, что угол между прямыми, соединяющими точку $B$ с центрами окружностей, является прямым, а длина отрезка $AB$ равна среднему геометрическому радиусов.
5. 1. Решение. Квадрат расстояния между точками $(x; y)$ и $(0; 0)$ равен
      $$f(x) = x^2 + \left(4 - 2x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3\right) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 4$$
      при всех значениях $x \in [-1; 2]$, для которых $4 - 2x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \geq 0$.

Так как $f'(x) = x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$, то наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-1; 2]$ достигается в точке $x = 1$ (при $x = 1$ подкоренное выражение $f(x) = f(1) > 0$).

Вариант 7

1. 1. 2. $(-2; 2)$. 3. $5\sqrt{5}/3$. Указание. Докажите, что центр $O$ окружности лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$, $AF = BF$, а затем воспользуется подобием треугольников $AOC$ и $BFC$.
2. $(-\pi; -\pi)$, $(0; -2\pi)$, $(\pi; -\pi)$. Указание. Среди решения системы
   $$\begin{cases} x = (n - 2m)\pi, \\ y = (4m - n)\pi \end{cases}, n, m \in \mathbb{Z}$$

отберете те, для которых выполнены условия
$$\begin{cases} n - 2m = l, \\ 4m - n = k, \end{cases}$$

где $l \in \{-1; 0; 1\}, k \in \{-2; -1\}$.
5. 3, 4, 5, … Решение. Требуется найти все значения $b$, для которых система
$$\begin{cases} x + y = -3, \\ xy > b, \\ x < 0, \\ y < 0 \end{cases}$$

не имеет решения. Значения $b = 1$ и $b = 2$ не годятся, поскольку при $x = y = -1,5$ имеем $xy > 2$. Если же $b \geq 3$, то система несовместима, либо из ее условия вытекает противоречие:
$$3 < xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = 2,25$$

Вариант 8

1. $(6 + \sqrt{3})/4$.

2. $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. $(- \infty; 1) \cup [4/3; \infty)$.

4. $[(6; 4/3); (2; 4)]$.

5. 4 км/ч, 3 км/ч. Указание. Если $u$ и $v$ — скорости первого и второго лодок соответственно, то
   $$\begin{cases} \frac{8}{x} + \frac{5}{x + 2} \leq \frac{17}{6}, \\ \frac{8}{y} + \frac{5}{y + 2} \geq \frac{11}{3}, \\ y = \frac{3}{4} x. \end{cases}$$

6. $3\sqrt{41}$. Указание. Проведите через точку $A$ прямую, параллельную $KL$. Пусть $B$ — основание перpendicularia, опущенного из точки $S$ на эту прямую, $P$ — точка пересечения $KL$ и $SB$, $SPQ$ — освое сечение прямых $SMNKL$. Найдите высоту $PR$ треугольника $SQP$, проведенную из вершины $P$, и воспользуйтесь подобием треугольников $KSP$ и $ASB$ ($SP:SB = PR:24$).

Вариант 9

1. $x = (-1)^n\pi/4 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. 5,5 т, 4 т, 2,5 т первого, второго сорта соответствующего.
3. $(- \infty; 2) \cup \{3\} \cup (4; \infty)$.
4. $(2; 5/2) \cup (5/2; 3)$.
5. 18/7. Указание. Пусть $KL \parallel BC$, а $O$ — точка пересечения $BM$ и $KL$. Тогда $BO:OM = LC:ML; LC:AL = KB:AK$.

Вариант 10

1. $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi m; x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, m, n \in \mathbb{Z}$.
2. 6 т, 3 т, 1,5 т каждой сорта.
3. 27/10. Пусть $KL \parallel BM$ и точка $L$ лежит на стороне $AC$. Тогда $BO:OM = (BM - OM):OM, OM:KL = MC:CL, AK:BM = AL:AM$.
4. 4/3. Указание. Если $(x, y)$ — решение системы, то и $(-x, y)$ — тоже решения. Для единственного решения необходимо условие $x = 0$.

Вариант 11

1. 1/2.