XXII Всесоюзная олимпиада по математике

74

XXII Всегоозная олимпиада по математике

Канддат физико-mатематических наук
В. В. ВАВИЛОВ,
канддат физико-mатематических наук
С. В. РЕЗНИЧЕНКО

Заключительный этап XXII Всегоозной математической олимпиады школьников состоялся в апреле 1988 года в Донецке. В нем участвовали 29 команд: 14 команд союзных ресурсных, по одной команде от каждой из четырех зон РСФСР, команды Москвы, Ленинграда, Донецка и 8 команд специализированных школь-интернатов при ведущих университетах страны — всего 172 школьника (51 восемиклассик, 56 девятиклассиков и 65 десятиклассиков).

Как обычно, участникам олимпиады было предложено на двух турах по четыре задачи, на решение которых отводилось по пять часов.

Каждая задача олимпиады оценилась в балах с тем расчетом, чтобы суммарное число баллов в туре по каждому классу было равно трицати (см. таблицу 1).

Таблица 1.

Распределение баллов жорни олимпиады проводило уже после того, как работы участников были проверены, и поэтому оно отражает реальную трудность задач. Впрочем, эти данные лишь незначительно отличаются от аппирных оценок жорни. О том, как участники сравнив с задачами олимпиады, можно узнать из таблицы 2, в котором приведено число решивших каждой из задач.

Пожалуйста, стоит отметить, что, видимо, задачи 7 и 8 в девятом классе были чрезмерно трудными, а задачи 1 и 5 в десятом классе — слишком простыми для учатников олимпиады. В восемом и десятом классах первый присуждался за решение 7—8 задач, а в девятом классе — за решение 6—7 задач. Третья присуждалась школьником восемого класса, набравшим по итогам обихх туров не менее 29 баллов, девятого класса — не менее 21 балла, десятого класса — не менее 34 баллов. Таблица 3 показывает количество призверов по каждому классу.

Организацияный комитет по проведению заключительного этапа Всегоозной математической олимпиады возглавил заведующий Донецким областным отделом народного образования И. М. Сахно. Почетным представителем жорни был академик АН УССР, профессор МГУ В. В. Гнеденко, представителем жорни — ректор Донецкого государственного университета, профессор В. П. Шевченko, а его заместителя — декан математического факультета ДГУ доцент П. М. Велико и доцент МГУ В. В. Вавилов. Олимпиада проводилась на базе санаторной школь-интерната № 8 и средней школы № 96 Донецка. С большой теплотой и заботой относились хозяйва олимпиады к учатникам олимпиады и членам жорни. Все им больше спасибо.

75

В свободное время школьники знакомились с историей Донецка, его достопримечательностями, повышали в Донецком театре оперы и балета, цирке. Интересно прошла встреча с членами редколлегии журнала «Квант».
Состоялся и традиционный математический бой между командами школьников и жюри. В этом увлекательном, по-существу театральизованном, представлении участовали сразу три команды — две команды школьников и команда жюри. Задчи в этот раз были довольно простыми (примерно уровня раздела «Квант» для младших школьников]), за то их было довольно много (около 30) и отвечать на было быстро. Победила команда школьников, которую возглавлял Виталий Волгодский (Омск, с.ш. № 99), а команда жюри заняла второе место.
Вот несколько задач этого состязания.

1. Постройте восмизивенную замкнутую ломанную, пересекающую каждае свое звеноровно один раз.
2. Что больше: площадь кругга,писанного в квадрат плошадью 1, или площадь квадрата,писанного в кругл плошадью 1?
3. Оdnому малучку на покупку мороженого не хватило 12 коп., а другому — 1 коп. Когда они сложили свои деньги, то оказалось, что денег на покупку одного мороженого все равно не хватает. Сколько стоит мороженое?
4. Какой из городов находится восточнее: Владивосток или Хабаровск? Какой из городов находится севернее: Москва или Петропавловск-Камчатский?
5. Продолжите последовательность:
   111, 213, 141, 516, 171,…
6. Часы отбивают 6 ударов за 30 секунд. Сколько времени они отбивают 12 ударов?
7. Постройте 7 точек так, чтобы среды любых трех точек нашлись две, расстояние между которых равно 1 см.
   Теперь приведем задачи заключителого типа.
   Задчи
   Перый день
   8 класс
8. Книга состоит из 30 рассказов объемом 1, 2, …, 30 страниц. Рассказы печатются с первой страницы, каждой рассказа начинается с новой страницы. Какое наиболее количество рассказов может начинаться с нечетной страницы?
9. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Рассмотрим два новых выпуклых четырехугольника F₁ и F₂, у каждой из которых две противоположные вершины — середины диагоналей ABCD, а две другие вершины — середины противоположных сторон ABCD. Известно, что площади четырехугольников F₁ и F₂ равны. Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника ABCD делит его площадь пополам.
   A. Анджанс
10. Докажите, что уравнение
    x−y+z=1
    имеет бесконечного много решений среди таких попарно различных натуральных чисел x, y, z, что произведение любых двух из них делится на третье.
    D. Митькин
    4.*) В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превысших 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превысших 19. Известем отрезком одного или нескольких подряд написанных чисел одной строки. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку так, что суммы чисел, входящих в эти отрезки, будут равны.
    A. Анджанс
    9 класс
11. Решите в целых числах уравнение
    (1+1/m)m+1 = (1+1/1988)1988
    B. Кукушкин
12. Докажите, что для углов α, β, γ произвольного треугольника справедливо
    2(√α/α + √β/β + √γ/γ) ≤ (1/β + 1/γ)sin α +
    (1/γ + 1/α)sin β + (1/α + 1/β)sin γ.
    D. Терешин
13. В школе нужно организовать джурство так, чтобы одновременно действовали ученики 9 «А» и ученики 9 «В» классов и учобы каждой день заменялсяровно один из джурных. Ученики каждой класса выходят на джурство по очереди в соответствии со списками в классных журналах, причем после последнего по списку снова джурит перый. Можно ли составить график джурства пар учеников так, чтобы неокоторого промежутка времени каждой ученики из 9 «А» отделили в пале с каждой учеником из 9 «В» родно один раз и чтобы затем джурила первая пара, если в 9 «А» 29 учеников, а в 9 «В» — 32?
    K. Черасс
    *) Задание, обозначенные звездочкой, вошли в «Задачик «Кванта».

76

4. На стороне BC типуугольного треугольника ABC с тупым углом при вершине C выбрана точка D, отличная от B и C. Через точку M, лежащую внутри отрезка BC и отличную от D, проводится прямая AM, которая пересекает окружность S, описанной около треугольника ABC, в точке N. Через точки M, D и N проводится окружность, пересекающая окружность S, кроме точки N, еще в точке P. Найдите положение точки M, при котором длина отрезка MP будет наименьшей.

И. Шарыzin

10 класс

1. В остругольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Из вершин B и C на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF=DG.

С. Струков

2. Найдите наименьшее значение выражения

$$S = \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$$

при условии, что x, y, z — положительные числа, сумма квадратов которых равна единице.

Л. Курляндчик

3. Ломанная, все вершины которого лежат на поверхности куба с ребром 2 и каждое звено которого равно 3, соединяет две наибольшее удаленные вершины куба. Какое наименьшее число звеньев может иметь такая ломанная?

С. Дужин

4.* Пусть n, m, k — натуральные числа, m≥n. Докажите, что если

$$1 + 2 + ... + n = mk,$$

то числа 1, 2, …, n можно разить на k групп так, чтобы суммы чисел в каждой группе были m.

А. Анджанс

Второй день

8 класс

5. Докажите, что у всех трапеций с боковой стороны a, вписанных в данную окружность, отношение высоты к средней линии одно и то же.

В. Чиник

6.* На доске написаны числа 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа a и b, то можно дописать число ab+a+b. Можно ли этим способом получить

a) число 13121;
b) число 12131?

А. Берзиньш

7. Пусть радиональные числа x, y удовлетворяют уравнению

$$x^5 + y^5 = 2x^2y^2.$$

Докажите, что 1−xy — квадрат радионального числа.

В. Кукушкин

8.* В стране 21 город. Аввационное сообщение между ними осуществляет несколько аввакомпании, каждая из которых спарно связывается бесплатными авваилиниями пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолеты несколько кромпаней). Каждые два города связаны по крайней мере одной бесплатной авваилиней. При каком наименьшем количество аввакомпании это возможно?

Д. Фомин

9 класс

5. Докажите, что в последовательности с общим членом $a_n = 1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n$ бесконечно много составных нечетных чисел.

Д. Митькин

6.* Около остругольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках A и C, пересекают касательную, проведенную в точке B, соответственно в точках M и N. В треугольнике ABC проведена высота BP (точка P лежит на стороне AC). Докажите, что прямая BP является bicсекторной угла MPN.

В. Чиник

7. Неотрицательные числа a и d и положительные числа b и c удовлетворяют условиям b+c≥a+d. Какое наименьшее значение при этом может принадлежать выражение $\frac{b}{c+d} + \frac{c}{a+b}$?

Д. Тамаркин, Д. Терешин, А. Черных

8. В квадратной таблице размер n×n записаны действительные числа, причем сумма чисел в любой строке и в любом столбце равна нулю. С таблицей можно проводить следующую операцию: какуюибудь строку позволяет прибавить к одному из столбцов и вычесть из другого столбца (i-й элемент строки прибавляется (вычитается) к i-му элементу столбца; элементы в строках нумеруются слева направо, в столбцах — сверху вид). Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно получить таблицу, составленную из одних нулей.

В. Меркулов

10 класс

5. Незамкнутая ломанная с конечным числом звеньев вписана в парабoly так,

77

Что начало ее совпадает с вершиной парабольы и любые два звена, образующие вершину ломаной, составляют равные углы с касательной к параболе в этой вершине. Докажите, что такая ломанная расположена по одному сторону от оси парабольы.

А. Борисов

6. При каком наименьшем значении $n$ система
   $$\begin{cases} \sin x_1 + \sin x_2 + \ldots + \sin x_n = 0, \\ \sin x_1 + 2 \sin x_2 + \ldots + n \sin x_n = 100 \end{cases}$$
   имеет решение?

А. Азамов

7.* Последовательность $\{a_n\}$ задана соответствия
$$a_0 = 0, a_n = P(a_{n-1}), n = 1, 2, \ldots,$$
где $P(x)$ — многочлен с натуральными коэффициентами. Докажите, что для любых натуральных чисел $m$ и $k$ с наиболее общим делителем $d$ наибольший общий делитель чисел $a_m$ и $a_k$ равен $a_d$.

В. Лев

8.* Докажите, что для любого tetraэдра имеет место неравенство
$$r < \frac{ab}{2(a+b)},$$
где $a, b$ — длины двух скрещивающихся ребер, а $r$ — радиус вписанного шара.

И. Шарын