Вечная электрическая лампочка?

2

ВЕЧНАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЛАМПОЧКА?

Кандидат физико-математических наук
И. М. СОКОЛОВ

Давайте поговорим об общковенной электрической лампочке, о физических законах, управляющих ее поведением, и о свойств самой лампочки как технической системы.

Несолько лет назад в магазинах появились лампочки, рассчитанные не на 220 В, а на 235 В. Эти лампочки служат гораздо долше обычных. Причина, неосредственно вызывшей их появление, был дефицит лампочки в магазинах. Производители лампочки здраво (so своей точки зрения) рассудили, что чем долше служат лампочки, тем реже их будут покупать и тем меньше их нужно будет производить.

Проблема удлинения срока службы лампы была решена очень просто — небольшим удлинием нити накаливания. Однако люди, знающие физику, говорили: это расточительство, нельзя так разбазировать электроэнергию. Почему они так говорили, мы почти чуть позже.

Летом 1986 года в «Литературной газете» появилась статья об изобретателье, придумавшем вечную лампочку. Она устроена очень просто. Послеовательно с общной лампочной включением диод (рис. 1), который отсекает, скажет, отрицательные полуперiodы тока. Лампочка работает при эффективном значении напряжения в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем напряжение в сети. Идея здесь та же самая: при попеженном напряжении лампочка служит долше. Мы увидим, что такая лампочка действительно является практическим вечной. По каким-то формальным принципам изобретателю отказыли в видече авторского свидетельства. Но и в этом случае, кто знает физику, понимали, что огорчатся не стоит: внедрение вечных лампочек не приведет ни к чем хорошего ему.

И вот, наконец, маленькая заметка из газеты «Известия» от 25 декабря 1987 года. Это заметка о коллекционере, собирающем лампочки. В его коллекции есть и лампочка фирмы «Эдисон», сделанная в 1881 году. Ей больше 100 лет, а она до сих пор работает. Снова вечная лампочка?

За эти 100 лет появились радно и телевидение, самолеты, космические ракеты, шариковые ручки, холодильники и много других технических систем, простых и сложных, больших и малых. Не хочется поверить, что за это время человекство не только не смогло улучшить лампочку, но даже удалилось от идеала, потеря секрет ее вечности. Это, скорее, наводит на вопрос: нужно ли вечная лампочка?

Что бы ответить на него, разберемся в физической стороне дела. Почему лампочка горит? Почему перегорает? Итак,

Почему горит лампочка?

Нить лампочки накаливания излучает свет потому, что нагрета.

Все нагреты тела излучают электромагнитные волны. В тепловом излучении присутствуют волны всевозможных длины, и на каждую компоненту (точнее, на каждый интервал

3

Длин волн) приходит своей доля энергии. В 1900 году Макс Планк вывел закон излучения абсолотно черного тела. (Мы не будем выяснять, что такое «абсолотно черное тело»; для нас важно, что нить лампы накапливания с достаточной точностью можно считать именно таким телом, и потому мы можем пользоваться законом излучения Планка.) Согласно формуле Планка энергия, излучаемая в единицу времени с единицей поверхности нагретого до температуры $T$ тела в интервале длин волн от $\lambda$ до $\lambda + \Delta \lambda$, равна

$$u(\lambda, T) d\lambda = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k T}} - 1} d\lambda.$$

В этой формуле $c$ — скорость света, $h$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана. Полная излучательная способность тела

$$u(T) = \int_0^\infty u(\lambda, T) d\lambda$$

(t. е. мощность излучения с единицей поверхности во всем диапазоне электромагнитных волн) зависит только от температуры и подчиняется закону Стефана — Больцмана:

$$u = \sigma T^4,$$

где $\sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} \approx 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Bt}/(\text{m}^2 \cdot \text{K}^4)$ — постоянная Стефана — Больцмана. Для ориентировки в порядке величины затемism, что при температуре плавления волфрама 3500 К величины $u$ составляет $9 \cdot 10^6 \text{ Bt}/\text{m}^2$.

Большая часть излучения нити бесполезна для освещения, поскольку лежит в невидимой инфракрасной области. Глаз воспринимает как свет лишь электромагнитные волны с длинами от $\lambda \approx 400$ nm (филотовый свет) до $\lambda \approx 760$ nm (красный свет). Полная мощность, излучаемая с единицей поверхности нагретого тела в диапазоне длин волн, видимых глазом, равна

$$u_{\text{cb}}(T) = \int_{\lambda_\phi}^{\lambda_\kappa} u(\lambda, T) d\lambda,$$

а световой поток, даваемый лампочкой,

$$\Phi(T) \approx A S u_{\text{cb}}(T),$$

где $S$ — площадь излучающего поверхности (поверхности нити), $A$ — коэффициент перевода энергетических величины в фототметрические, связанные с цветотельностью глаза. (Мы оставляем сейчас в стороне все тонкости, обусловленные различной цветотельностью глаза к разным цветам, но заметим, что к красным и филолетовым лучам глаз гораздо менее цветотеллен, чем к желтого-зеленым.)

Сила света лампочки, измеряемая в канделах (или, по-старому, в свечах), равна световому потоку, излучаемому в единицу телефонного угла, т. е. приблизительно равна

$$I(T) \approx \frac{\Phi(T)}{4\pi}.$$

В диапазоне интерсуциших нас длин волн и при температуре, не превышающих температуре плавления волфрама,

$$I(T) \approx \text{const} \left( x^3 - 3x^2 + 6x - 6 \right) e^{-x},$$

где $x = \frac{h c}{\lambda_\kappa k} \frac{1}{T}$.

Поскольку величины $\frac{h c}{\lambda_\kappa k}$ имеет размерность температуры, мы будем обозначать ее $T_{\kappa}$. Она составляет примерно 19 000 К. Конкретоное значениеCONSTANTES ПЕРЕД СКОБОЙ ДЛЯ НАСЕУЩЕСТВЕННО: нас будет интересовать только общий вид зависимости $I(T)$.

Тепер мы должны выяснить следующий вопрос:

Как зависит $T$ и $I$ от $U$?

Зависимость температуры нити от напряжения автор определения экспериментального. Схема определения несложная: при разных значениях напряжения $U$ на лампе изменить ток $I$ через нее и вычислить сопротивления нити $R_U = U/I$; затем воспользоваться формулой, выражающей зависимость сопротивления от температуры —

$$R(T) = R(T_1)(1 + \alpha (T - T_1))$$

4

$(R(T_1) - \frac{R_U(T) - R(T_1)}{\alpha R(T_1)})$

Автор продолжал несколько изменений с 60-ваттной лампочкой, рассчитанной на $U_0 = 220$ В. Сопротивление $R(T_1)$ (его можно изменять ометром) оказалось равным 70 Ом. Чтобы получить значения напряжения на лампочке, последовательно с ней включались различные сопротивления (утог, кипятильник, телевизор, другие лампочки). Напряжение на лампочке изменилось вольтметром, ток через нее — амператором.

Результаты изменений приведены в таблице 1. (В таблице указана и мощность $P_U = UJ$, потребляемая лампочкой при разных напряжениях; эта величины нам пригодится в дальнейшем.) Как видно из таблицы, рабочая температура нити $T_0$ при напряжения $U_0 = 220$ В составляет 2900 К.

Зная, как зависит температура нити от напряжения, мы можем вычислить силу света лампочки при разных напряжениях.

Силу света $I$ (в некоторых относительных единицах) можно очень точно определить экспериментально с помощью фотометра с масляным пятом. Этот замечательный прибор представляет собой установленный вертикально лист бумаги, в середине которого имеет полупрозрачное пятно. С одной стороны лист освещается «эталонной» электрической лампочной. С другой стороны лист помещается исследуемая лампочка (рис. 2), и с этой же стороны ведется наблюдение. Если освещенность листа со стороны наблюдается меньше, чем с противоположной, пятно выгладит светлым на темном фоне листа, если наборот — пятно выгладит более темным. При равенстве освещенности пятно едва различимо.

Освещенность поверхности $E = I/r^2$, где $I$ — сила света источника, $r$ — расстояние до него. При изменении напряжения $U$ на исследуемой лампочке меняется ее сила света $I$. Чтобы освещенность пятна, создаваемая лампкой при разных значениях $U$, была равна освещенности $I_0/r_0^2$ от эталонной лампочки, надо менять расстояния $r$. Таким образом можно найти относение силы света лампочки при напряжения $U$ к силе света ее при равенстве напряжения $U_0$ (на эталонной лампе — такой же, как исследуемая,— напряжение все время $U_0$):

$$I(U)/I_0 = (r/r_0)^2.$$

Результаты таких изменений приведены в таблице 2. Для того чтобы правильно обрабатывать результаты эксперимента, надо построить график зависимости $I_U/I_0$ от $U$ в таких координатах, в которых он будет иметь наболее простой вид. На рисунке 3

5

Рис. 3.

показана зависимость величины $y = \ln \frac{I}{I_0}$ от $z = 1 - \frac{U_0}{U}$ (необходимые данные приведены в той же таблице 2). Экспериментальные точки хорошо лежат на прямую линию. Логарифмический масштаб по оси $y$ выбран потому, что если бы в формуле для $I(T)$ не было стоящего перед экспериментой многочлена, то зависимость $y(T)$ имела бы вид

$$y = \ln \frac{I}{I_0} = \frac{T_{\text{кр}}}{T_0} \left(1 - \frac{T_0}{T}\right),$$

величина же $\theta = 1 - \frac{T_0}{T}$, как можно заключить из данных таблицы 1, с хорошей точностью пропорциональна $z$ (что быогдаться до этого, нужны были некоторые наблюдение сообщения, связанные с балансом энергии в лампочке): $\theta \approx Kz$, где коэффициент

Таблица 2

| $U, \text{B}$ | 220 | 120 | 130 | 150 | 180 | 190 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $U_0/U$ | 1 | 1,81 | 1,66 | 1,47 | 1,14 | 1,12 |
| $z$ | 0 | -0,81 | -0,66 | -0,47 | -0,14 | -0,12 |
| $r, \text{см}$ | 27 | 5,5 | 8 | 13 | 21 | 22 |
| $I/I_0$ | 1 | 0,05 | 0,09 | 0,23 | 0,60 | 0,66 |
| $y$ | 0 | -3,0 | -2,4 | -1,5 | -0,5 | -0,4 |

Рис. 4.

цент пропорциональности $K$ равен примерно 0,3. Наличие многочлена перед экспериментой вызывает отклонение зависимости $y(z)$ от строгой proportionalности, однако эти отклонения невелики.

Почему лампочка перегорает?

Причина перегорания лампочки ясна — это испарение волфрама. Для того чтобы от поверхности ни одного масекла волфрама, необходимо, чтобы кинетическая энергия ее теплового движения $W \sim kT$ стала большше энергии связи молекул с остальным кристаллом $w$. Согласно законам статистической физики, вероятность такого события proportionalна $e^{-w/kT}$. Значит, число молекул, отрывающся от ниги в единицу времени,—

$$n \sim e^{-w/kT}.$$

Величину $w$ можно определить из значения теплоты испарения волфрама при комнатной температуре $Q = 850$ кДж/mоль: $w = Q/N_A \approx 1,4 \times 10^{-18}$ кДж ($N_A$ — число Авогадро); величины $w/k$, имеющая размерность температуры,— около $10^5$ К.

Предположим, что нить перегорает после испарения определенного количества молекул. Это означает, что время службы лампочки тем больше, чем

6

меныше $n$, т. е.

$$t \sim \frac{1}{n} \sim e^{w/kT}.$$

Пусть средний срок службы 60-ваттной лампочки на 220 В (при температуре нити $T_0$) равен $t_0$. тогда относение срока службы лампочки при изменении напряжения $U$ (и температуре нити $T$) к сроку службы при нормальном напряжении —

$$\frac{t}{t_0} = e^{w/kT - w/kT_0} = e^{-w\theta/kT_0},$$

где $\theta = \left(1 - \frac{T_0}{T}\right)$. Мы помним, что эта величины с хорошей точностью пропорциональна $z = 1 - \frac{U}{U}$. Следовательно, $\ln \frac{t}{t_0}$ пропорционален $z$.

Находить зависимость $\ln \frac{t}{t_0}$ от $z$ в «домашнем» эксперименте — занятие долгое и дорогое, надо сжечь очень много лампочки. Поэтому пришлось найти готовые данные. Эти данные приведены в таблице 3, а на рисунке 4 представлен график зависимости $\ln \frac{t}{t_0}$ от $z$. Мы видим, что соответствующие точки неплохо ложатся на прямую линию. Наклон прямой равен —14.

Исходя из известных нам данных мы можем оценить и теоретическую величины этого наклона:

$$\ln \frac{t}{t_0} = -\frac{w}{kT_0} \theta \approx -\frac{wK}{kT_0} z,$$

так что наклон прямой — это $(-wK/kT_0)$, что составляет примерно —10. Учитывая ту невисокую точность, с которой нам известны $K$ и $T_0$, совпадение следует признать неполным.

Не если мы задумаемся над процессом испарения поглубже, то увиим, что ситuation до некоторой степени парадоксальна.

Предположим, что нить испаряется совершенно равномерно, становится все более тонкой. Соответствие нити при этом возвращает, уменьшается выделяемая тепловая мощность и температура нити. Таким образом, при однородном испарении с течение времен лампочка горела бы все тусклее, но никакого бы не перегорела (или, по крайней мере, службы бы очень долго).

Значит, причина перегорания нити в ее недородном испарении. Действительно, пусть в силу какой-то принципы на нити образовалась маленькая перегружка. Соответствие участка нити в области перегружки больше, чем сопротивление любого другого участка нити той же длины. При этом тепловая мощность $J^2R_\pi$, выделяемая в области перегружки, больше, чем в любом другом участке нити той же длины. Значит температура перегружки выше, испарение с нее идет интенсивнее. Чем тонше перегружка, тем выше температура, тем интенсивнее испарение, тем быстрее уtonsается перегружка, тем быстрее растет ее сопротивление. Этот все ускоряющийся процесс приводит в конце концов к перегоранию нити в том месте, где пероначально была даже небольшая перегружка. На деле, конечно, все нить несколько недородна по толщине, но развится в значительную перегружку успевает лишь само сильное уtonsшение: нить обусловлено перегорает только в одном месте.

Ситuations, подобные только что расстояние, встречаются в физике довольно неустойчивыми. Достаточно сказать, что именно неустойчивости плаз-

7

мы делают такой сложной задачу управления термодерного синтеза.

Итак, причиной переограния лампочки является неустойчивость однородного испарения нитки. О том, как можно бороться с этим явлением, мы поговорим чуть позже, а пока

Подсчитаем конецки

Общная осветительная лампочка расчитана на средний срок службы $t_0=1000$ часов. Из наших графиков следует, что

$$\ln \frac{t}{t_0} \approx -14 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right),$$

$$\ln \frac{I}{I_0} \approx 3,5 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right),$$

т. е.

$$t = t_0 e^{-14 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right)}, \quad I = I_0 e^{3,5 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right)}.$$

Лампочка должна давать свет. На лиущей лампочной будет та, котораядает свет самый дешевый. Стоимость освещения за большое время складывается из стоимости потребления электрозергии и стоимость лампочки, которые служат в среднем в течение времени $t$, а потом переограют. Один киловат-час электрозергии стоит 4 копейки, новая лампочка — 25 копейк.

Пусть для наших нулевая лампочка с силой света $I_0$. Если силая света будет меньше, нам надоест портить глаза, и мы ввернем более мощную лампочку. Предположим, что в себя с напряжением $U=220$ В включена «усовершенствованная» лампочка с $U_0=235$ В. Срок ее службы $t = t_0 e^{0,95} \approx 2600$ ч, но силая света $I = I_0 e^{-0,25} \approx 0,78 I_0$, т. е. меньше $I_0$, и нам захотется поменять лампочку на более мощную. «Усовершенствованная» лампочка с нулевая нам силой света $I_0$ будет потреблять в 1,2 раза больше мощность, чем обычная лампочка. За 1000 часов (срок службы обычной лампочки) «усовершенствованная» лампочка с нулевая силой света, что у обычной лампочки на 60 Вт, израсходует энергии не 60 кВт·ч, что в денежном изменении составляет 2 р. 40 к., а 72 кВт·ч, т. е. на 2 р. 88 к.

Значит, за время службы обычной лампочки «усовершенствованная» потребляет электрозергии дополнительно на 48 к., что почти равно стюмости двух новых лампочки. Следовательно, повышение срока службы за счет работы при поженном напряжении невьюдно.

Если речь идет о вечной лампочке с диодом, для которого $U_0 / U \approx 1,43$, то срок ее службы примерно в 350 раз больше, чем у обычной, но ее сила $I \approx 0,22 I_0$. Вечная лампочка с силой света $I_0$ потребляет в 2,5 раза больше мощность, чем обычная: вместе лампочки на 60 Вт последовательно с диодом надо включать лампочку на 150 Вт. За 1000 часов работы перерасход энергии составляет 90 кВт·ч, или, в денежном изменении, 5 р. 60 к. — стоимость 22 лампочки. Игра не стоит свеч!

Подробный расчет показывает, что улучшить лампку за счет увеличения $U_0$ нельзя. Это значит, что за 100 лет своего существования обычная лампочка накапливания практической достигается идеally, и чтобы усовершенствовать ее, нужны новые устройства технические решения. Сейчасы поговорим и о них, но вначале отмечим, что на примере лампочки мы столкнулись с довольно типичным техническим противением «стоимость — надежность»: чем надежнее, тем неэффективнее. Если уменьшение надежности не сопряжен с риском, выбирают дешевое и ненадежное — пустые даже однородное. Примеры: бумажные салфетки и стаканчики, фломастеры и т. д.

Итак, лампочка не должна служить вечно. И все же было бы хорошо удлинить ее срок службы или при том же сроке службы поднять ее КПД за счет перекалкини. Единственный способ добиться этого — заставить «залечивать» образовательнее на нити перегружки. Есть несколько простых решений этой задачи. Однако из них — заполнение колбы лампы инертным газом с молекулярной массой, меньше чем у волфрама,— криптоном (конечно, при очень малом (Окончание см. на c. 16)

16

Если коэффициент $k$ не зависит от времени и $k < 0$, то уравнение $x'' = k(t)x$ превращается в известное вам по школьной программе уравнение малых колебаний (решение в примере 1). Оно описывает все на свеже колебания с малыми амплитудами; $x$ — это (мало) отклонение от положения равновесия.

Упражнение 6. Вычислите коэффициент $k$ в случае, изображенных на рисунке 3, если $a) x$ — коэффициент жесткости пружины, $m$ — масса груза; $6) l$ — длина неевесомой нерястимой нити; $b) R$ — радиус ямы, $d$ — диаметр шарика.

Наконец, Великое Число Деногардуса, а вернее — Великая Формула Деногардуса (упражнение 4) носит название произвольной Шварца, или Шварцана. В действительности, эта формула была сообщена в письме Г. А. Шварцу вликом немецким математиком К. Ф. Гауссом. Шварчан — популярий объект современной математики. Он обладает замечательным свойством появляется в самых разных математических теории.

Итак, хотя все сказанное о Деногардuce — не более чем розыгрыш, математическое содержание его работ вполне серbezно. Как говорится: «В каждой шутке есть доля шутки…»

Вечная электрическая лампочка?

(Начало см. на с. 2)

давления, чтобы не слищком возросла теплотдача). При работе лампы в газе внутри баллона устанавливается некоторое распределение температуры: около нити температура гориздо выше, чем около стенок баллона. Полное давление крпитона и паров волфрама в колбе работающей лампы всходу одинаково, однako вблизи нити больше паров волфрама, а у холодной стенки больше крпитона. Такое неоднородное распределение газов связано с явлением, называемым термодиффузей. При этом у оторвашейся от нити молекулы волфрама больше шансов вернуться в наиболее горячие место нити и меньше шансов осестить на стенке.

В галогенных лампах автоматильных фар (здесь остро стоит вопрос о яркости источника) газ, заполняющий колбу, образует с волфрамом летуче соединение, разлагающееся и выделяющее металлический волфрам при контакте с раскаленной нитью. Такие условиянствования оправданы, так как не слищком дороги и почти не сопряжены с увеличением потребляемой мощности.

Размышляя о лампочке, мы говорили о различных важных вещех — об излучении нагретого тела, о температурной зависимости сопротивления, об испарении и неустойчивости, о технических противоречиях и термическом разделении газов. И каждую из этих тем можно было бы делать продолжить. А ведь другие окружающие нас предметы ничуть не менее интересны, чем лампочка…