Мощность в цепи постоянного тока

67

Мощность в цепи постояного тока

А. В. КОРЖУЕВ

Вспомним основные закономерности, которые используют при решении задач на расчет цепей постояного тока.

Пусть имеется простая (неразветвленная) замкнутая цепь (рис. 1), содержащая источник тока с ЭДС и внутренним сопротивлением $r$ и резистор сопротивлением $R$ (его называют также внешним сопротивлением). Согласно закону Ома для такой цепи, в ней течет ток

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}.$$

При этом напряжение на внешнем участке цепи равно

$$U = \mathcal{E} - Ir,$$

мощность, выделяемая на резисторе, равна

$$P_{\text{вн}} = IU,$$

а полная мощность источника —

$$P_{\pi} = I\mathcal{E}.$$

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач, в которых обсуждается, прежде всего, вопрос о мощности постояного тока.

Задача 1. Электрическая цепь содержит источник, ЭДС которого $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $r$, и реostat сопротивлением $R$ (см. рис. 1). Вычислите полную мощность, выделяю источником, мощность, отдаваему его внешнюю цепь (полезную мощность), и КПД источника. Провалализируйте зависимость этих величины от внешнего сопротивления.

Согласно закону Ома, по цепи течет ток

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}.$$

Мощность, выделяемая на участке це-

68

Пи с напряжением $U$, по определению равна $P = IU$. В нашем случае

$$P_{\text{BH}} = IU = I^2R = \frac{\mathcal{E}^2R}{(R+r)^2}.$$

Полная мощность источника равна

$$P_{\pi} = I\mathcal{E} = \frac{\mathcal{E}^2}{R+r},$$

а его КПД —

$$\eta = \frac{P_{\text{BH}}}{P_{\pi}} = \frac{R}{R+r} = \frac{1}{1+r/R}.$$

Проанализируем теперь зависимость всех найdenных величины от внешнего сопротивления $R$. Видно, что с увеличением $R$ полная мощность будет уменьшаться, а КПД наоборот возрастать — при возрастании $R$ все бóльшая доля полной мощности выделяется на внешнем участке цепи (по сравнению с мощностью, выделяющей внутренний внутренний источника). Сложнее обстоит дело с мощностью, выделяющейся в результате. Из выражения $P_{\text{BH}} = \mathcal{E}^2R/(R+r)^2$ следует, что $P_{\text{BH}} = 0$ при $R = 0$ (что в полне естественно) и при $R \to \infty$. Очевидно, существует такое значение $R$, при котором полезная мощность максимальная. Его легко найти, продолженировав $P_{\text{BH}}$ по сопротивлению $R$ и приравняя эту производную нулю:

$$P'_{\text{BH}} = \frac{\mathcal{E}^2(R+r)^2 - 2\mathcal{E}^2R(R+r)}{(R+r)^4} = 0,$$

откуда получаем

$$R = r$$

— $P_{\text{BH}}$ максимальное и равно $\mathcal{E}^2/(4r)$ при условии равенства внешнего и внутреннего сопротивления. Однако КПД при этом равен

$$\eta = \frac{R}{R+R} = \frac{1}{2},$$

т. е. половина всей выработываемой мощности выделяется на внутреннем сопротивлении источника. В свою очередь, КПД максимален и равен 1 при $R \to \infty$, но $P_{\text{BH}}$ при этом стремится к нулю. Таким образом, достичь одновременного максимального и наиболее эффективной энергоотдачи в такой цепи не удалось. Проигрывая в виде лемей мощности, мы выгрываем в КПД, и наборот.

Графики зависимости $P_{\text{BH}}$, $P_{\pi}$ и $\eta$ от внешнего сопротивления $R$ изображены на рисунке 2. Графики наглядно подтверждают, что при $R = 0$ все мощность выделяется на внутреннем сопротивлении источника. При $R = r$ мощность, отделаемая во внешнюю цепь, равна половине всей выработываемой мощности, КПД при этом равен 1/2. По мере увеличения $R$ графики зависимости $P_{\pi}(R)$ и $P_{\text{BH}}(R)$ все плотнее приближаются друг к другу, мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении, уменьшается. При $R \gg r$ почти все выработываемая мощность выделяется во внешней цепи и КПД стремится к 1.

Задача 2. По цепи, изображенной на рисунке 1, течение 1. Считая известными $\mathcal{E}$ и $r$ источника, вычислите мощность, выделяемую во внешней цепи, полученную полную мощность и КПД

69

источника. Проанализируйте зависимость этих величины от тока в цепи.

Очевидно, что

$$P_{\pi} = I \mathcal{E},$$

а $P_{\mathrm{bH}}$ найдет, вычитая из полной мощности мощность, выделенную на внутреннем сопротивлении источника:

$$P_{\mathrm{bH}} = \mathcal{E} I - I^2 r.$$

Тогда КПД

$$\eta = \frac{P_{\mathrm{bH}}}{P_{\pi}} = \frac{\mathcal{E} I - I^2 r}{\mathcal{E} I} = 1 - \frac{I r}{\mathcal{E}}.$$

С ростом тока $I$ полная мощность линейно растет (т.к. $\mathcal{E} = \text{const}$), а КПД падает — увеличение тока может быть достигнуту уменьшением внешнего сопротивления, а значит, уменьшением доли $P_{\mathrm{bH}}$ по сравнению с мощностью, выделяющей на внутреннем сопротивлении. Зависимость $P_{\mathrm{bH}}$ от $I$ — квадратичная. $P_{\mathrm{bH}}$ обращается в ноль при $I = 0$ и при $I = \mathcal{E}/r$. Значит, существует неокоторое значение тока, при котором полезная мощность максимальная. Произведя дифференцирование по току, найдем

$$P'_{\mathrm{bH}} = \mathcal{E} - 2 I r = 0, \text{ если } I = \frac{\mathcal{E}}{2 r}.$$

При этом $P_{\mathrm{bH} \max} = \mathcal{E}^2/(4 r)$, что согласно и с задачей 1.

Для наглядного источкования полученных результатов построим графики зависимости всех найденных величины от тока (рис. 3). Как и в предыдущей задаче, максимальная мощность соответствует значению КПД, равному 1/2; при тоже $I = \mathcal{E}/r$ $P_{\mathrm{bH}} = 0$ (это тот случай, когда внешнее сопротивление равно 0) и $\eta = 0$.

Задача 3. Известно, что со временем батарея, составленная из газы

$$\frac{\mathcal{E}^2}{R + r} \quad \frac{\mathcal{E}^2}{R} \quad \frac{\mathcal{E}}{R + r}$$

ваничческих элементов, «садится» (ее ЭДС падает). Как зависит во внешней цепи, полная мощность и КПД от ЭДС источника $(\text{см. рис. 1})?$ Считать, что внутреннее сопротивление $r$ источника не изменяется.

Как уже было получено в задаче 1,

$$P_{\pi} = \frac{\mathcal{E}^2}{R + r}, \quad P_{\mathrm{bH}} = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2},$$

$$\eta = \frac{R}{R + r}.$$

Из этих выражений видно, что при padении $\mathcal{E}$ и полная мощность, и мощность, выделяемой во внешнюю цепь, уменьшаются, причем и та, и другая — по квадратичному закону, а КПД остается неизменным до тех пор, пока ЭДС источка не станет равной нулю и процесс выделения мощности не прекратиется совсем.

Соответствующие графики изображены на рисунке 4.

Задача 4. Электромотор, сопротивление обмотки якora которого равно $R$, питается от источника постоянного напряжения $U$, при этом через него протекает ток $I$ (рис. 5). Вычислите потребляемую мощность, мощность, теряемую на нагреве обмотки, и КПД мотор. Проанализируйте зависимость указанных величины от тока в моторе.

От источника мотор отбирает мощность

$$P_{\mathrm{ot}} = I U.$$

При этом на нагрев обмотки, в соответствии с законом Джоуля — Ленца, затрачивается тепловая мощность

$$P_{\tau} = I^2 R.$$

Разность между этим величинами