Những sân băng kỳ lạ

⟦trang 21⟧

Tấm ván chuyển động trên các con lăn tròn. Đồng thời nó giữ nguyên vị trí nằm ngang và vẫn ở cùng một độ cao. Vì sao lại như vậy? Bởi vì đường tròn có cùng một bề rộng khi quay theo bất kỳ góc nào.

Liệu tấm ván có chuyển động như vậy không nếu dùng các con lăn không tròn? Thoạt đầu có vẻ điều đó là không thể. Tuy nhiên, đừng vội kết luận. Hóa ra có những đường cong, giống như đường tròn, có cùng bề rộng theo mọi hướng. Chúng được gọi là các đường có bề rộng không đổi.

Một trong những đường cong đơn giản nhất thuộc loại này được chỉ ra trên hình 1. Nó gồm hai $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ bán kính $r$ và hai $B_1A_3, B_3A_2, B_2A_1$ bán kính $R$, có tâm nằm tại các đỉnh của tam giác đều $O_1O_2O_3$. Dễ thấy rằng bề rộng của đường cong này như nhau theo mọi hướng và bằng $R+r$. Do đó, các con lăn có biên dạng được tạo bởi những đường cong như vậy sẽ hoạt động không kém gì các con lăn tròn (hình 2).

Đường cong được vẽ ở hình 1 có thể được tạo ra như sau. Lấy đoạn $A_1B_3$ và, quay nó một góc $60^\circ$ quanh điểm $O_1$, đưa nó đến vị trí $B_1A_2$. Sau đó, quay đoạn $B_1A_2$ một góc $60^\circ$ quanh điểm $O_2$, ta được đoạn $A_3B_2$ và, cuối cùng, quay đoạn $A_3B_2$ một góc $60^\circ$ quanh điểm $O_3$, ta lại đến đoạn $A_1B_3$. Trong quá trình các phép quay này, một đầu của đoạn đang xét sẽ vạch các cung $A_1B_1A_3B_3$, còn đầu kia — các cung $B_3A_2B_2A_1$. Do đó, đường cong được chỉ ra ở hình 1 có thể được xem như quỹ tích do các đầu mút của một

22

Hình. 3.

Bề rộng của tất cả các đường cong này được dựng nên và bằng độ dài của đoạn thẳng được quay. Có thể quay đoạn thẳng quanh một trong các đầu mút của nó. Như vậy ta sẽ nhận được đường cong đơn giản nhất có bề rộng không đổi, khác với đường tròn (hình 4). Khi đó đoạn thẳng $AB$ trước hết quay quanh điểm $A$, chuyển sang vị trí $AB'$, sau đó quanh điểm $B'$, chuyển thành đoạn thẳng $B'B$, và cuối cùng quanh điểm $B$, khép kín đường cong.

Xét bây giờ một đoạn thẳng nào đó $AB$. Giả sử nó lăn không trượt theo đường cong SS. Khi đó tại mỗi

Hình 4.

thời điểm riêng lẻ, chuyển động như vậy có thể được xem là sự quay của đoạn thẳng quanh điểm tiếp xúc. Điểm tiếp xúc mà quanh đó tại thời điểm đã cho diễn ra sự quay được gọi là tâm quay tức thời (chẳng hạn, điểm $C$ trên hình 5).

Khái niệm về tâm quay tức thời cho phép dễ dàng tính các vận tốc của những điểm khác nhau trên đoạn thẳng $AB$. Chẳng hạn, đối với vận tốc của các điểm $A$ và $B$ ta có

$$v_A = \omega \cdot CA,$$
$$v_B = \omega \cdot CB,$$

trong đó $\omega$ là vận tốc góc của đoạn $AB$ trong chuyển động quay «tức thời» của nó quanh tâm $C$. Khi đó vận tốc của các điểm đang xét sẽ vuông góc với các bán kính quay tương ứng, tức là với các đoạn $CA$ và $CB$. Như vậy có thể tính vận tốc của bất kỳ điểm nào nằm trên đoạn này hoặc gắn cứng với đoạn này. Chẳng hạn, nếu một hình nào đó gắn cứng với đoạn $AB$, thì vận tốc của bất kỳ điểm $P$ nào bằng tích $\omega \cdot CP$.

Bây giờ hãy trở lại các đường cong có bề rộng không đổi. Giả sử đoạn $AB$ lăn theo đường cong SS. Vì các vận tốc $v_A$ và $v_B$ vuông góc với các bán kính $CA$ và $CB$, nên chúng song song với nhau. Nhưng vận tốc $v_A$ có hướng-

23

Hình 6.

theo tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm $A$, còn vận tốc $v_B$ — theo tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm $B$. Do đó, các tiếp tuyến này song song với nhau, và khoảng cách giữa chúng luôn luôn bằng $AB$. Nhưng điều đó có nghĩa là các quỹ đạo $A_1A_2$ và $B_1B_2$ có thể được xem như những phần của một đường cong có bề rộng không đổi.

Tuy nhiên, chúng ta cần dựng không phải hai phần, mà chính toàn bộ đường cong như vậy. Nếu muốn làm điều đó bằng phép toán đang mô tả, thì phải chọn đường $SS$ sao cho, khi lăn trên nó, đoạn $AB$ quay đi $180^\circ$, tức là để điểm $A$ đến vị trí $B$, còn điểm $B$ — đến vị trí $A$. Một trong những đường như vậy — $PQRP$ — được chỉ ra trên hình 6. Hãy theo dõi kỹ hơn cách đoạn $AB$ lăn trên nó.

Trước hết nó lăn trên đoạn $PQ$ và đi đến vị trí $A'B'$. Khi đó các đầu mút của nó vạch nên các cung $AA'$ và $BB'$. Sau đó nó lăn trên đoạn $QR$, còn các đầu mút của nó vạch nên các cung $A'A''$ và $B'B''$. Cuối cùng, nó lăn trên đoạn $RP$, còn các đầu mút của nó chuyển động theo các cung $A''B$ và $B''A$. Kết quả là điểm $A$ đi đến vị trí $B$, còn điểm $B$ — đến vị trí $A$, và đường cong cycloid dựng được khép kín. Khi đó các cung $PQ$, $QR$

và $RP$ có thể có bất kỳ hình dạng nào và không nhất thiết phải giống nhau. Điều duy nhất được yêu cầu ở chúng là phải lồi và tiếp xúc với nhau như trên hình vẽ. Còn đối với các đoạn $AP$ và $PB$, độ dài của chúng không thể tùy ý, nếu không thì cung do điểm $A$ vạch ra sẽ không «nối liền» với cung do điểm $B$ vạch ra. Ở đây có thể dựng như sau. Qua điểm $P$ kẻ một đường thẳng tiếp xúc với cung $PQ$, và đặt điểm $A$ trên đó. Bây giờ cho đường thẳng này lăn trên đường $PQRP$. Điểm cuối của cung mà điểm $A$ vạch ra khi đó xác định vị trí của điểm $B$.

Đường $PQRP$, được chỉ trên hình 6, gồm ba cung. Nhưng số cung có thể nhiều hơn. Chẳng hạn, trên hình 7 là một đường cong có độ rộng không đổi, thu được khi cho lăn trên đường $PQRSTP$, gồm năm cung.

Các đường cong có độ rộng không đổi còn có một tính chất nữa, khiến chúng gần với đường tròn. Tính chất đó được phát biểu bởi định lý sau:

Chu vi của đường cong có độ rộng không đổi $l=\pi D$, trong đó $D$ là độ rộng của đường cong này.

Ta sẽ chứng minh định lý này.

24

Hình 8.

Giả sử đường thẳng nằm ngang $PQ$ được dịch chuyển nhờ các con lăn có bề rộng không đổi (hình 8). Xét một trong các con lăn này, chẳng hạn con lăn bên trái. Giả sử bề rộng của nó bằng $D$, còn chu vi bằng $l$. Khi đường thẳng $PQ$ dịch chuyển đến mức con lăn này quay được một vòng, nó dịch chuyển so với đường thẳng $MN$ một đoạn $l$ về bên phải. Nhưng vì nó lăn không chỉ trên đường thẳng $MN$, mà còn trên đường thẳng $PQ$, nên sau một vòng nó dịch chuyển so với đường thẳng $PQ$ một đoạn $l$ về bên trái. Do đó, độ dịch chuyển của đường thẳng $PQ$ so với đường thẳng $MN$ sẽ bằng $2l$.

Nhưng vì chính độ dịch chuyển này bằng $vt$, trong đó $t$ là thời gian mà con lăn quay được một vòng, nên

$$2l = vt. \tag{1}$$

(Ta coi rằng đường thẳng $PQ$ chuyển động với vận tốc không đổi.) Tâm quay tức thời của vật lăn nằm tại điểm $A$, do đó vận tốc chuyển động là

$$v = \omega \cdot AB = \omega D,$$

trong đó $\omega$ là vận tốc góc của vật lăn. Thay biểu thức này vào đẳng thức (1), ta được

$$2l = \omega Dt. \tag{2}$$

Nhưng $\omega t$ là góc quay của vật lăn sau một vòng. Do đó,

$$\omega t = 2\pi,$$

và đẳng thức (2) có dạng

$$2l = 2\pi D,$$

suy ra

$$l = \pi D.$$

Như vậy, chu vi của đường cong có bề rộng không đổi được tính giống như chu vi đường tròn. Còn diện tích được giới hạn bởi đường cong có bề rộng không đổi thì sao? Có thể tính nó giống như diện tích hình tròn không? Hóa ra là không. Tuy nhiên, diện tích của vành có bề rộng không đổi có thể tính như diện tích của vành giữa hai đường tròn đồng tâm. Chính xác hơn, điều này có nghĩa như sau.

Xét một đường cong có bề rộng không đổi (hình 9). Qua một điểm tùy ý $C$ trên nó, dựng pháp tuyến (pháp tuyến là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến) và lấy trên đó đoạn $CC'$ có độ dài cho trước $d$. Lấy những đoạn như vậy từ mỗi điểm của đường cong đã cho, ta được một đường cong mới, là quỹ tích các đầu mút của những đoạn đã lấy. Hiển nhiên, nó cũng có bề rộng không đổi. Nếu bây giờ ký hiệu $S$ là diện tích nằm giữa các đường cong này, thì có đẳng thức

$$S = \frac{\pi D_2^2}{4} - \frac{\pi D_1^2}{4},$$

trong đó $D_1$ là độ rộng của đường cong bên trong, còn $D_2$ là của đường cong bên ngoài.

Hãy tự chứng minh điều này.