Bài toán M71—M75; F83—F87

⟦trang 30⟧

BÀI TOÁN

M71. Một bảng chữ nhật gồm $m$ hàng và $n$ cột được điền các số. Hãy sắp xếp các số trong mỗi hàng theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng nếu sau đó sắp xếp các số trong mỗi cột theo thứ tự tăng dần, thì trong mỗi hàng chúng vẫn được xếp theo thứ tự tăng dần.

Hãy nghĩ xem điều gì xảy ra nếu làm theo thứ tự khác: trong bảng ban đầu trước hết sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần trong các cột, rồi trong các hàng: kết quả có phải là cùng một bảng như trong trường hợp thứ nhất, hay là một bảng khác?

M72. Giải phương trình

$$\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x} = p,$$

trong đó $p$ là một số thực tùy ý.

Yu. I. Ionin

M73. Trên một vé xổ số cần đánh dấu 8 ô trong số 64 ô. Xác suất để sau cuộc quay số, trong đó cũng chọn 8 ô nào đó trong số 64 ô (và mọi khả năng như vậy đều được coi là đồng xác suất), đoán đúng chính xác 4 ô là bao nhiêu? 5 ô?… cả 8 ô?

M74. Đa thức $p$ có tính chất sau: với một số $a$ nào đó

$$p(x) = p(a-x).$$

Chứng minh rằng $p(x)$ có thể biểu diễn dưới dạng một đa thức của $\left(x - \frac{a}{2}\right)^2$. Chẳng hạn, nếu $p(x) = x^5 + (1-x)^5$, thì hiển nhiên $p(x) = p(1-x)$ và, như dễ kiểm tra,

$$p(x) = 5y^2 + \frac{5}{2}y + \frac{1}{16},$$

trong đó $y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$.

M75. a) Chứng minh rằng trong mọi đa diện lồi, tổng độ dài tất cả các cạnh lớn hơn ba lần đường kính. (Đường kính của một đa diện là độ dài lớn nhất trong tất cả các đoạn thẳng có thể có với hai đầu mút là các đỉnh của đa diện.)

6. Chứng minh rằng với mọi hai đỉnh $A$ và $B$ của một đa diện lồi, tồn tại ba đường gấp khúc, mỗi đường đi theo các cạnh của đa diện từ $A$ đến $B$, và không có hai đường nào đi qua cùng một cạnh.

b) Chứng minh rằng nếu cắt hai cạnh trong một đa diện lồi, thì với mọi hai đỉnh $A$ và $B$ của nó sẽ tồn tại một đường gấp khúc đi từ $A$ đến $B$ theo các cạnh còn lại.

г) Chứng minh rằng trong bài toán 6) có thể chọn ba đường gấp khúc không có chung đỉnh nào từng đôi một, trừ các đầu mút $A$ và $B$.

A. G. Kushinirenko

Ф83. Một tấm ván khối lượng $m$ và chiều dài $l$ nằm trên sàn nằm ngang. Hệ số ma sát của tấm ván với sàn bằng $k$. Cần thực hiện công nào để quay tấm ván trong mặt phẳng nằm ngang một góc nhỏ $\alpha$ quanh một trong các đầu của nó?

Ф84. “Hộp đen” (một hộp có mạch điện chưa biết ở bên trong) có hai cặp đầu nối. Nếu đặt điện áp $U$ vào các đầu nối I, thì