Bài toán M111—M115; F118—F122

24

NHIỆM VỤ

M111. Hình vuông ở cạnh 1 chứa một hình có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không bằng 0,001. Chứng minh rằng diện tích của hình này không vượt quá 0,34. (Chúng ta có thể giả sử rằng ranh giới của hình được đề cập trong các điều kiện bao gồm các đoạn thẳng và cung tròn.)
Hãy cố gắng ước tính chính xác hơn và chứng minh một định lý tương tự trong không gian.
G. V. Rosenblum

M112. Trong bảng $m \times n$ các số được viết sao cho với hai hàng và hai cột bất kỳ, tổng các số ở hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật mà chúng tạo thành bằng tổng các số ở hai đỉnh còn lại của nó. Một số số đã bị xóa nhưng giả sử bạn có thể khôi phục những số đã xóa. Chứng minh rằng còn lại ít nhất $(n+m-1)$ số.

M113. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ luôn tồn tại một số gồm các chữ số 1 và 2 chia hết cho $2^n$.
B. M. Ivlev

M114. Một số số được viết trong một vòng tròn. Nếu đối với bốn số liên tiếp $a, b, c, d$ hóa ra là $(a-d)(b-c) < 0$, thì các số $b$ và $c$ có thể đổi chỗ cho nhau. Chứng minh rằng phép toán này chỉ có thể thực hiện được hữu hạn lần.
V. B. Alekseev

M115. Có tổng số lít nước được đổ vào ba bình. Được phép đổ một cột nước vào bất kỳ bình nào, lượng nước mà nó đã chứa, từ bất kỳ bình nào khác. Chứng minh,

Cơm. 1.
một vôn kế, một nguồn dòng điện và các dây nối, liệu có thể thay đổi giá trị của một trong các điện trở mà không làm đứt một tiếp điểm nào trong mạch điện không?

A. R. Zilberman

F119. Ánh sáng từ nguồn $S$ trên đường tới màn hình sẽ đi qua một khối thủy tinh nằm yên có cạnh $l$ (Hình 2). Ánh sáng nhanh hơn bao nhiêu?