Đồ thị trong các bài toán về quá trình đồng nhất

Kvant 1971, số 11 tr. 48, 49, 50, 52, 53 Thẻ SC6M

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Giao thông
TRONG NHIỆM VỤ
TRÊN ĐỒNG PHỤC
QUY TRÌNH

B. A. Kordemsky

Kỳ thi tuyển sinh môn toán cung cấp nhiều loại bài toán để soạn phương trình. Nhiều trong số chúng thuộc loại bài toán, mô tả các quy trình thống nhất: di chuyển với tốc độ không đổi, cung cấp nước qua đường ống với lưu lượng không đổi, thực hiện công việc với năng suất lao động không đổi, trả tiền cho một quy trình với tốc độ không đổi, v.v.

Thông thường, cách giải các bài toán hình học bài toán như vậy là dễ dàng nhất bằng cách vẽ đồ thị sự phụ thuộc giữa các đại lượng đang xét trong các điều kiện bài toán.

Trên biểu đồ, một quy trình thống nhất được mô tả dưới dạng một đường thẳng (Hình 1); trong trường hợp này, các biến phụ thuộc và biến độc lập $y$ và $x$ có liên quan với nhau bằng sự tương ứng

$y = kx + b^*$

Mỗi điểm $M$ của biểu đồ mô tả một “trạng thái” nhất định của quy trình thống nhất đang được xem xét: abscissa $x_0$ và ordata $y_0$ điểm $M$ cho biết về các giá trị cường độ đặc trưng cho quy trình.

Ví dụ: khi một vật chuyển động đều dọc theo một đường thẳng, lấy làm trục tọa độ thì đồ thị tọa độ của nó theo thời gian được biểu diễn dưới dạng đường thẳng **).

Trong Hình 2, trục hoành và tọa độ của điểm $M_0$ cho thấy một người nào đó đã đi 3,5 km (OA km) bằng taxi, đã trả 45 kopecks (OB kopeck) cho hành trình.

Trong Hình 3, đường thẳng $AD$ là đồ thị độ dài cung của một ngọn nến đang cháy đều. Đoạn thẳng $OA$ (lấy theo tỷ lệ trục $Oy$ )

*) Nói chung, một đường thẳng cũng có thể được xác định bằng sự tương ứng $x = c$ (y là tùy ý), nhưng các phương trình như vậy thường không phát sinh vấn đề, vì trong trường hợp này $y$ không phụ thuộc vào $x$ .

**) Xem bài viết của Yu. V. Zaichkov “Đồ thị chuyển động”, «Kvant» Số 6, 1970, trang 39-45.

có nghĩa là chiều dài ban đầu của nến; đoạn BM (lấy trên cùng một thang đo) là chiều dài của than sau t đơn vị thời gian (t=OB trên thang trục Ox). Ngược lại, đoạn MC cho chúng ta biết độ dài phần cháy của nến tại cùng thời điểm t và đoạn OD cho chúng ta biết thời gian sau đó ngọn nến cháy hoàn toàn. Rõ ràng, tỷ lệ $\frac{MC}{AC} = \frac{AO}{OD}$ đặc trưng cho tốc độ của nến.

Lưu ý rằng đường thẳng AD trong Hình 3 cũng có thể được coi là đồ thị chiều dài phần cháy của cây nến, nếu trục vẽ độ dài phần cháy của cây nến được coi là đường thẳng AO (A là gốc tọa độ, AA’ là trục thời gian).

Ví dụ này rất hữu ích khi xây dựng đồ thị chuyển động ngược hoặc công việc “bộ đếm” trên cùng một bản vẽ (khi hai người thực hiện một nhiệm vụ, bể chứa đầy hai ống).

Khi lời giải bài toán trên các quy trình thống nhất, điều quan trọng là phải học cách dịch điều kiện đại số bài toán sang ngôn ngữ hình học của đồ thị. Trong trường hợp này, không cần thiết phải lập phương trình đường thẳng mô tả một quá trình thống nhất. Để xây dựng nó theo hệ tọa độ trực tiếp, chỉ cần biết hai “trạng thái” bất kỳ của quá trình này là đủ.

Hình 4 cho thấy mô hình hình học của bài toán sau đây (văn bản của điều kiện được nhận xét bằng các thay thế về sự tương ứng của cách giải thích hình học).

Bài toán 1. Lò hấp bắt đầu được chất tải bởi 4 cần cẩu có công suất bằng nhau. (Hãy để đoạn OA tạo ra–

Cơm. 2. Bảng giá vé taxi.

Cơm. 3. Đồ thị chiều dài của cuống nến.

chiều dài sóng - khối lượng toàn bộ công việc, OA’ - lịch làm việc ước tính của 4 cần cẩu này.) Sau khi làm việc được 2 giờ (OB = AB’ = 2 giờ), chúng được nối thêm 2 cần cẩu có công suất thấp hơn (đường gãy AB’C - đồ thị công “ngược” của hai cần trục này so với hệ trục AA’ và AO; tỷ lệ trên các trục này giống như trên trục Ox và Oy) và sau đó quá trình cắt kết thúc. trong 3 giờ (BE=3 giờ; DE và DE’ - khối lượng công do hai cần cẩu tương ứng thực hiện khi chúng cùng làm việc).

Nếu tất cả các cần cẩu bắt đầu làm việc cùng một lúc (lịch trình mới cho hai cần cẩu là AF trực tiếp, với AF || B’C) thì việc cắt sẽ hoàn thành trong 4,5 giờ (đoạn ON = 4,5 giờ).

Cơm. 4. Lịch vận hành cầu trục.

Hãy xác định xem chúng ta sẽ mất bao nhiêu giờ để hoàn thành một cần cẩu với công suất ít hơn.

Tất nhiên, bài toán này có thể được giải theo cách thông thường: đưa ra ẩn số và lập hệ hai phương trình, sau đó giải *). Nhưng việc sử dụng đồ thị tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều cho việc lựa chọn hợp lý các ẩn số và tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng đã cho và các đại lượng mong muốn. Lời giải trong trường hợp này, nó trở nên ngắn hơn và rõ ràng hơn, vì nó trở thành một định luật hoàn hảo để có thể sử dụng các đặc tính hình học, chẳng hạn như sự giống nhau của các hình tam giác.

Lời giải. Hai cần cẩu công suất thấp hoàn thành toàn bộ công việc (OA) trong OF giờ; Hãy tìm độ dài của đoạn này. Để làm điều này, hãy xem xét hai cặp hình tam giác giống nhau:

$\triangle ODE \sim \triangle OMN,$
từ đâu $\frac{DE}{MN} = \frac{5}{4,5};$

$\triangle CDE \sim \triangle FMN,$
từ đâu $\frac{DE}{MN} = \frac{EC}{NF},$

hoặc $\frac{5}{4,5} = \frac{OF + 2 - 5}{OF - 4,5}.$ Do đó tìm ra OF = 18. Vì 18 giờ là thời gian hoạt động của hai cần cẩu công suất thấp nên một cần trục như vậy sẽ hoàn thành chuyển động trong 36 giờ.

Lý luận sử dụng giải thích đồ họa có thể được áp dụng thành công cho lời giải và bài toán tương tự, trong đó chúng ta đang nói về hợp kim hoặc hỗn hợp của hai chất.

Bài toán 2. Có hai hợp kim vàng và bạc; ở một nơi, lượng kim loại này theo tỷ lệ 2:3, ở nơi khác - theo tỷ lệ 3:7. Cần lấy bao nhiêu từ mỗi hợp kim để thu được 8 kg hợp kim mới trong đó vàng và bạc có tỷ lệ 5:11?

Lời giải. Chúng ta sẽ giải bài toán bằng phần vàng trong hợp kim. Vàng cấu thành $\frac{2}{5}$ của hợp kim thứ nhất, $\frac{3}{10}$ của hợp kim thứ hai và $\frac{5}{16}$ của hợp kim mong muốn; dẫn đến chung

*) Xem N. P. Antonov, M. Ya. Vygodsky, V. V. Nikitin, A. I. Sanik, “Bộ sưu tập bài toán về toán tiểu học”, M., “Nauka”, 1960, bài toán Số 462.

Cơm. 5. Đồ thị khối lượng vàng trong hợp kim số 3.

mẫu số, ta được phân số $\frac{32}{80}, \frac{24}{80}, \frac{25}{80}.$

Ta lấy x kg hợp kim số 2 và 8 - x kg hợp kim số 1. Rõ ràng khối lượng vàng trong hợp kim số 2 tỷ lệ với khối lượng x của hợp kim số 1, và khối lượng vàng trong hợp kim số 1 tỷ lệ thuận với khối lượng 8 - x của hợp kim này, tức là nó phụ thuộc tuyến tính vào x. Do đó, khối lượng vàng trong hợp kim số 3, gồm hợp kim số 1 và số 2, cũng phụ thuộc tuyến tính vào x. Hãy dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc này trong hệ tọa độ có các trục: Ox - “khối lượng hợp kim số 2 trong 8 kg hợp kim số 3” và Oy - “ $\frac{1}{80}$ khối lượng vàng trong 8 kg hợp kim số 3”; bạn sẽ có một đường thẳng (Hình 5).

Đường này có thể được xây dựng từ hai điểm của nó: (8, 24) và (0, 32). Chúng phát sinh từ các giá trị biên của x: nếu hợp kim được yêu cầu bao gồm $x_1 = 8$ kg hợp kim số 2 (và 0 kg hợp kim số 1), thì rất indo, $y_1 = 24$ ; nếu hợp kim số 3 bao gồm 8 kg hợp kim số 1 (tức là $x = 0$ ), thì $y_0 = 32$ . Bây giờ chúng ta cần tìm hoành độ x của điểm M (đường màu đỏ) với tọa độ y=25; từ sự giống nhau của các hình tam giác chúng ta có được

$\frac{x}{8} = \frac{32-25}{32-24},$

từ đó x=7 (kg).

ở khoảng cách $1/3$ chiều dài đường cao tốc, azonchik $C$ - ở phía trước điểm cuối $B$ đến khoảng cách tối đa. Gontsik $A$ lần đầu tiên quyên góp. B tại thời điểm $B$ hoàn thành dòng đầu tiên của mình và sau 10 phút nữa, $A$ lần đầu tiên tặng phần cuối của $C$ . Gonzik $B$ sẽ đến rìa ít hơn $C$ 2,5 phút. Sẽ mất bao lâu để tiền boa $A$ đến?

Không có gì đáng ngạc nhiên khi bị nhầm lẫn trong mạng lưới các chuyển động đan xen này, do đó, trong sơ đồ “thói quen” của việc tạo ra một hệ thống điều khiển*. Nhưng toàn bộ mạng lưới này trở nên trong suốt và chỉ dẫn đến một phương trình nếu chúng ta sử dụng đồ thị.

Lời giải tức là Gọi $Ox$ là trục thời gian, $Oy$ trục khoảng cách (Hình 7), $OM_1=1$ chiều dài của đường vành đai, $M_1M_2$ “rẽ” thứ hai của cùng một đường cao tốc. Các điểm $B$ , $C$ và $D$ sao cho

$OB=BC=CM_1=M_1D=1/3.$

Đường thẳng $OA$ là lịch trình di chuyển dự kiến của người đưa tin $A$ . Hãy dựng một đường thẳng $DD_1 \parallel Ox$ và đánh dấu điểm $E$ giao điểm của nó với $OA$ ; theo điều kiện, $BE$ là lịch trình di chuyển của người đưa tin $B$ . Đặt $x$ là hoành độ của điểm $E$ ; Hãy đánh dấu một điểm $F$ trên trục $Ox$ sao cho $OF=x+10$ và vẽ một đường thẳng $FG \perp Ox$ đến giao điểm với $OA$ tại điểm $G$ . Khi đó, theo điều kiện, $CG$ là lịch trình di chuyển của người đưa tin $C$ .

Từ hình vẽ ta tìm được

$v_A=\frac{OD}{x}=\frac{4}{3x}, \quad v_B=\frac{BD}{x}=\frac{1}{x},$

Ngoài ra, tùy theo điều kiện,

$v_C=\frac{1}{x+2.5}.$

Hãy xây dựng $CC_1 \parallel Ox$ ; rõ ràng là sự khác biệt giữa đường đi $FG-C_1G$ của người đưa tin $A$ và $C$ trong thời gian $x+10$ (phút) là $FC_1=OC=\frac{2}{3}$ . Chúng ta thu được phương trình

$\frac{4}{3x}(x+10)-\frac{1}{x+2.5}(x+10)=\frac{2}{3}.$

Giải nó, chúng ta tìm thấy $x=20$ (phút). Trong thời gian này, người đưa tin $A$ đi vòng tròn $4/3$

*) Xem bài viết của N. N. Kolesikov “Bài thi viết môn toán tại MSU mexmate năm 1970”, «Kvant» Số 3, 1971, trang 45-50.

Cơm. 7. Lịch trình di chuyển của người đưa tin bắt đầu cùng lúc.

Cơm. 8. Đồ thị chuyển động của các tay đua xuất phát từ một điểm.

đường II và điểm 3 x trên trục Ox. Đường thẳng 1 B - đồ thị chuyển động của tay đua B (mỗi lần vượt khi di chuyển vòng tròn và khi vượt vượt người bị vượt một vòng).

Tương tự, tại điểm B₁ của giao điểm của đường 1B và IV, chúng ta tìm điểm C trên đường III, xác định hoành độ 2(3x-1)+1 của nó và xây dựng đồ thị—đường 2C—về chuyển động của tay đua C.

Chiều dài của đường vành đai có thể được lấy làm một và có thể tìm thấy tốc độ của các tay đua (tiếp tuyến của các góc dốc của đồ thị, được xác định từ các tam giác vuông tương ứng):

$v_A = \frac{1}{x}, \quad v_B = \frac{2}{3x-1}, \quad v_C = \frac{1}{2x-1}.$

Theo điều kiện bài toán tại thời điểm 3x+3 sẽ có lần thứ hai tay đua A của tay đua C vượt, do đó hiệu quãng đường họ đã đi được (đoạn A’C’) bằng 2. Ta lập phương trình:

$v_A(3x+3) - v_C(3x+1) = 2,$

hoặc

$\frac{3x+3}{x} - \frac{3x+1}{2x-1} = 2.$

Trong hai nghiệm của nó, chỉ có x=3 (min.) thỏa mãn điều kiện.

Bài tập

Những quả dưa hấu được mang về căn cứ nhằm mục đích chứa hai matagazin. Matagazin đầu tiên ngay lập tức bắt đầu vận chuyển dưa hấu và vận chuyển chúng hàng ngày với trọng lượng bằng nhau. Cửa hàng thứ hai đến vận chuyển dưa hấu một ngày sau đó và cũng vận chuyển chúng với những phần giống hệt nhau nhưng trọng lượng khác với cửa hàng đầu tiên. Trong những điều kiện này, sau b ngày kể từ khi bắt đầu hoạt động vận chuyển, một nửa số lượng dưa hấu ban đầu đầu tiên vẫn còn ở cơ sở. Hỏi nếu các cửa hàng hoàn thành việc vận chuyển cùng một lúc và trọng lượng dưa hấu mà cửa hàng thứ nhất nhận được bằng trọng lượng dưa hấu mà cửa hàng thứ hai nhận được phải mất bao nhiêu ngày?
(MSU, Khoa Sinh học, 1968). Bể chứa đầy nước bằng cách sử dụng một số máy bơm. Đầu tiên, ba máy bơm có cùng công suất được bật và 2,5 giờ sau khi bắt đầu hoạt động, hai máy bơm nữa có công suất khác nhưng cũng giống hệt nhau được kết nối. Kết quả sau 1 giờ nối 2 máy bơm, lượng nước trong bể thiếu 15 m³ so với thể tích ban đầu và bể vẫn đầy. Một trong hai máy bơm dưới đòn có thể đổ đầy bể trong 40 giờ. Tìm thể tích của thùng.
(MSU, Khoa Hóa học, 1970). Một chiếc xe số tự động đi từ điểm A đến điểm B, đồng thời một chiếc xe vận tốc rời khỏi điểm B đến điểm A. Sau khi gặp nhau họ tiếp tục lên đường. Xe tới điểm B lập tức quay đầu đuổi kịp xe kia hai giờ sau lần gặp đầu tiên. Sau bao nhiêu thời gian kể từ lần gặp thứ nhất, người đi xe đạp đến điểm A, nếu biết rằng đến thời điểm gặp lần thứ hai người đó đã đi được 2/3 quãng đường từ B đến A?
Hai vận động viên chạy ra cùng một lúc (người đầu tiên từ A đến B, người thứ hai từ B đến A) và gặp nhau cách A một khoảng cách a m. Sau khi chạy quãng đường AB đến cuối, mỗi người quay lại và gặp lại nhau cách B một khoảng b m. Tìm độ dài quãng đường *).
(MSU, cơ khí, 1970). Hai người chạy xuất phát từ một điểm trên đường vành đai tiêu chuẩn và người chạy thứ ba xuất phát đồng thời với anh ta theo cùng một hướng từ một điểm đối diện. Sau khi chạy 3 vòng, lần đầu tiên về đích thứ 3 kể từ khi xuất phát đường. Sau 2,5 phút đầu tiên, vận động viên về thứ ba lần đầu tiên. Hỏi người chạy thứ hai chạy bao nhiêu vòng trong một phút nếu người thứ nhất vượt qua anh ta sau mỗi 6 phút?

*) Đây là bài toán Số 190 trong sách N.S. 3 thuật toán “Cạnh tranh bài toán trong toán học”. Kyiv, 1964. Việc sử dụng đồ thị sẽ gợi ý điều kiện đầy đủ cho sự tồn tại của lời giải trong số bài toán: 3a>2b này, điều mà tác giả bên ngoài của cuốn sách không thể hiểu được (anh ta chỉ nêu ra các điều kiện 3a>b, là không đủ).