Trường hợp “không thể giải quyết”

20

V. G. Yankelevich

Độc giả lớp bảy Misha Balkin của chúng tôi thắc mắc: “Em thấy trong sách tham khảo công thức Cardan cho lời giải phương trình bậc ba $x^3 + px + q = 0$:

$$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{D}},$$

ở đâu $D = \left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2$.

Nhưng đối với tôi, có vẻ như công thức này không phải lúc nào cũng có thể áp dụng được. Ví dụ: nếu muốn tìm nghiệm của phương trình $x^3 - x = 0$ ($p = -1, q = 0$) bằng công thức này, chúng ta nhận được

$$x = \sqrt[3]{\sqrt{-\frac{1}{27}}} + \sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{1}{27}}}.$$

Đây là một số loại số tối thiểu và phương trình có ba vương miện: 0, 1 và -1. Làm thế nào để thiết lập được sự mâu thuẫn này?>

Các biên tập viên tin rằng đáp số câu hỏi này sẽ được nhiều độc giả của chúng tôi quan tâm. Chúng tôi đang xuất bản một bài báo của V. G. Yankelevch, một học sinh lớp 10 đến từ thành phố Kustanay, người cho biết cách giải phương trình bậc ba trong trường hợp công thức Kardanov tạo ra các số âm dưới dấu căn bậc hai.

Trở lại thế kỷ 16, người ta đã tìm ra một công thức tổng quát giúp người ta có thể biểu diễn các phương trình lời giải bậc ba

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$

(1)

thông qua các hệ số của nó bằng cách sử dụng các phép tính số học và kiến ​​thức về các nghiệm. Công thức này (được gọi là công thức Del Ferro hoặc công thức Tartaglia-Cardano) có thể được viết như sau:

$$x = \sqrt[3]{\frac{c}{54} + \sqrt{\frac{D}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{c}{54} - \sqrt{\frac{D}{108}}} - \frac{p}{3},$$

(2)

ở đâu $c = 2p^3 - 9pq + 27r$; $D = p^2q^2 - 4q^3 - 4p^3r + 18pqr - 27r^2$. Sau đó, ngay khi khái niệm số phức hình thành, rõ ràng là công thức này cho phép chúng ta thu được tất cả các phương trình lời giải (1) với bất kỳ hệ số (phức) nào $p, q, r$. Nhưng thật không may, ngay cả khi tất cả các hệ số của phương trình là các số tác động tổng quát, thì để tìm (sau đây gọi là các số tác dụng!) lời giải bằng công thức (2), bạn phải trích xuất các số; khó khăn này phát sinh khi $D > 0$ (điều này chính xác xảy ra khi phương trình có ba nghiệm thực khác nhau).

Xét phương trình bậc ba (1) với các phân biệt thực và dương $D^*$).

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng bất kỳ phương trình (1) nào cũng có thể được rút gọn thành phương trình có dạng

$$ay^3 - 3by^2 - 3ay + b = 0,$$

(3)

trong đó $a$ và $b$ là số thực và $a \neq 0$.

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng phương trình (3) có nghiệm

$$y_1 = \tg \frac{\varphi}{3},$$

$$y_2 = \tg \frac{\varphi + 2\pi}{3},$$

$$y_3 = \tg \frac{\varphi + 4\pi}{3},$$

*) $D$ được gọi là phân biệt của đa thức $x^3 + px^2 + qx + r$. Có thể chỉ ra rằng $D = (x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2$, trong đó $x_1, x_2, x_3$ là nghiệm của phương trình (1). Nếu các hệ số $p, q, r$ là số thực và $D < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp và một nghiệm thực, được tìm thấy ngay theo công thức (2).