«Неприводимый» случай

20

В. Г. Янкелевич

Наш читатель семиклассик Миша Балкин справивает: «Я видел в справочнике формулу Карданов для решения кубичного уравнения $x^3 + px + q = 0$:

$$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{D}},$$

где $D = \left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2$.

Но мне кажется, что эту формулу не всегда можно использовать. Например, если мы хотим найти с помощью этой формулы корни уравнения $x^3 - x = 0$ ($p = -1, q = 0$), то получим

$$x = \sqrt[3]{\sqrt{-\frac{1}{27}}} + \sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{1}{27}}}.$$

Это какое-то минимальное число, а уравнение имеет три короня: 0, 1 и -1. Как установить это противоречие?>

Редакция считает, что ответ на этот вопрос будет интересен многим нашим читателем. Мы публикуем статью школьника 10 класса города Кустаная В. Г. Янкелевча, который рассказывает, как можно решать кубичные уравнения в том случае, когда в формуле Карданов получаются отрицательные числа под знаком квадратного корня.

Еще в XVI веке была найдена общая формула, позволяющая выразить решение уравнения третьей степени

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$

(1)

через его коэффициенты с помощью арифметических операций и известения корней. Эту формулу (ее называют формулой деля Ферро или формулой Тарталья — Кардано) можно записать так:

$$x = \sqrt[3]{\frac{c}{54} + \sqrt{\frac{D}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{c}{54} - \sqrt{\frac{D}{108}}} - \frac{p}{3},$$

(2)

где $c = 2p^3 - 9pq + 27r$; $D = p^2q^2 - 4q^3 - 4p^3r + 18pqr - 27r^2$. После, как только оформилось понятие компплексного числа, стало ясно, что эта формула позволяет получить все решения уравнения (1) с любыми (комплексными) коэффициентами $p, q, r$. Но, к сожалению, даже если все коэффициенты уравнения — общные действияные числа, то для нахождения (далее действияных!) решения по формуле (2) приходится извлечь чисел; эта трудность возникает, когда $D > 0$ (это как раз тот случай, когда уравнение имеет три различных действительных корня).

Рассмотрим кубичное уравнение (1) с действительными и положительными дискрипиментами $D^*$).

Мы показем, что любое уравнение (1) можно свести к уравнению вида

$$ay^3 - 3by^2 - 3ay + b = 0,$$

(3)

где $a$ и $b$ — действительные числа и $a \neq 0$.

Сначала доказем, что уравнение (3) имеет корни

$$y_1 = \tg \frac{\varphi}{3},$$

$$y_2 = \tg \frac{\varphi + 2\pi}{3},$$

$$y_3 = \tg \frac{\varphi + 4\pi}{3},$$

*) $D$ называется дискрипиментом многочлена $x^3 + px^2 + qx + r$. Можно показать, что $D = (x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2$, где $x_1, x_2, x_3$ — корни уравнения (1). Если коэффициенты $p, q, r$ действительны и $D < 0$, то уравнение имеет два сопряженных компплексных корня и один действительный, который сразу находится по формуле (2).