Поле тяжести сферически-однородного тела

16

Поле мяжести сферические-однородного тела

И. И. Огиевецкий

Закон всемирного тяготения Ньютона равным образом определяет и падение яблока на землю, и движение Луны вокруг Земли, и орбиты планет. Он основывает на том, что сила пряжения между материальными точками с массами $m_1$ и $m_2$, находящимся на расстоянии $l$ друг от друга, равна

$$F = \gamma \frac{m_1 m_2}{l^2},$$

(1)

где $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{H \cdot m^2}{\kappa^2}$ — гравиатционная постоянная (в системе СИ). Но Земля, Луна и другие реальные тела не точны, они имеют конечные размеры. Как определять силу пряжения между пряженными телами?

Решение этой проблемы привело Ньютона к созданию важнейшей отрасли математики — интегрального исчисления. Чтобы найти силу пряжения материальной точки к пряженному телу, следует мысленно разбить это тело на маленькие (в пределе — бесконечно малые) части, вычислить вклад в силу пряжения от каждой из этих частей по формуле (1) и затем сложить (проинтеррировать) эти вклады. Небесные тела можно приближенно считать сферическим-однородными, то есть таким, что в каждой данной точке их плотность целиком определяется расстоянием этой точки от центра тела. Ньютоон обнаружил замечательный факт:

$$F = \gamma \frac{4\pi R^2 \rho m}{d^2} = \gamma \frac{M \cdot m}{d^2},$$

(2)

где $M$ — масса поверхности. Иными словами, сила пряжения вне сферической поверхности такая же, как если бы все масса поверхности была сосредоточена в ее центре. Отсюда сразу же следует аналогичное утверждение для сферического-однородного тела.

*) Этим свойством часто пользоваться как оченьным, без доказательства. Использовать оно и в некоторых статьях «Кванта». Поэтому очень полезно понять, как оно доказывает.

18

Рис. 3.

Привлечем теперь инверсию и заменим в (6) $l$ на $\bar{l} \frac{d}{R}$ согласно (4):

$$\Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2 \cos \alpha \Delta S}{d^2 \bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta \omega}{d^2},$$

(7)

где введена величины
$$\Delta \omega = \frac{\cos \alpha \Delta S}{\bar{l}^2}.$$

Сделаем важное наблюдение. Заметим, что $\alpha$ есть также угол между нормальным (радиусом $OP$) к элементу поверхности $\Delta S$ и направлением $\bar{Q}P^*$, и cosa положлен для любой точки $P$.

Легко убедиться поэтому, что $\Delta \omega$ — это телесный угол, под которым виден элемент поверхности $\Delta S$ из точки $\bar{Q}$.

Если ввести конус с вершиной в точке $\bar{Q}$ и образуются, обегающий контур $\Delta S$, то телесный угол при вершине этого конуса как раз и будет $\Delta \omega$ (рис. 3).

Численно угол $\Delta \omega$ равен площади, которое высекает этот конус из сферы единичного радиуса с центром в точке $\bar{Q}$.

*) Именно здесь и существена операция инверсии. С ее помощью мы ввели в знаменатель (6) вместо расстояния $l$ расстояние $\bar{l}$, благодарячем ему в формуле возник телесный угол $\Delta \omega$.

Полное принятие всех поверхностей $\Delta S$:

$$F = \sum_{s} \Delta F_{OQ} = \gamma \frac{m\rho R^2}{d^2} \sum_{s} \Delta \omega =$$
$$= \gamma \frac{m\rho 4\pi R^2}{d^2} = \gamma \frac{mM}{d^2},$$

(8)

так как $\sum_{s} \Delta \omega = 4\pi$ — полному телесному углу, под которым видна вся сфера из внутренней точки $\bar{Q}$, а $4\pi R^2\rho = M$ есть полная масса сферического поверхности. Тем самым утверждение 1 доказано.

Рассмотрим теперь материалную точку $\bar{Q}$ массы $m$ внутри полой сферического поверхности. Снова из сообщений симметрики оченьindo, что сила, создаваемая сферической поверхности в целом, может быть направлена только вдоль линии $O\bar{Q}$.

Поэтому нам нужно сложить составляющие силы $\Delta F_{OQ}$ от элементов сферы $\Delta S$, равные

$$\Delta F_{O\bar{Q}} = \gamma \frac{m\rho \Delta S \cos \beta}{\bar{l}^2} =$$
$$= \gamma \frac{m\rho R^2 \Delta S \cos \beta}{d^2 l^2},$$

(9)

если опять использовать примем с инверсии и заменить $\bar{l}$ на $l \frac{d}{R}$ согласно соответствию (4).

Рассчет сферу $S$ на две части $S_\Pi$ и $S_\lambda$ плоскостью, проходящей через точку $\bar{Q}$ перpendикулярно линни