Решения задач М70—М73; Ф79—Ф82

26

В этом номере мы публикуем решение задач M70—M73

M70

Пусть $l_1, l_2, \dots, l_n$ — несколько прямых на плоскости, среди которых есть две пересекающие. Докажите, что можно и притом единственным способом выбрать на каждой из этих прямых по точке $X_1, X_2, \dots, X_n$ так, чтобы перепределиляр, восстановленный в точке $X_i$ к прямой $l_i$, проходил через точку $X_{i+1}$ (для всех $i=1, 2, \dots, n-1$), и перепределиляр, восстановленный к $l_n$ в точке $X_n$, проходил через точку $X_1$.

Попробуйте формулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

Эту задачу можно сформировать еще следующим образом. Пусть $p_i$ — отображение, которое каждой точке $M$ (на плоскости) ставит в соответствие ее проекцию на прямую $l_i$, то есть $p_i(M)$ — основание перепределения, опущенного из точки $M$ на прямую $l_i$. Требуется доказать, что на прямой $l_1$ существует единственная точка $X_1$ такая, которая после $n$ отображений

$$X_1 \xrightarrow{p_n} X_n \xrightarrow{p_{n-1}} X_{n-1} \xrightarrow{p_{n-2}} \dots$$

переходит в себя.

Для произвольной точки $X$ прямой $l_1$ обозначит через $f(X)$ ту точку на прямой $l_1$, в котором переходит

$$X$$ после $n$ отображений $p_n, p_{n-1}, \dots, p_1$ (рис. 1); это записьается так:

$$f = p_1 \circ p_2 \circ \dots \circ p_n.$$

Выберем на каждой из наших прямых $l_i$ начало отсчета и направление, то есть превращим каждую из них в числовую ось (единицу масштабы выбираем на всех прямых одинаковой). (Мы откодствляем точку (на прямой) и соответствующое ей число — ее координату — так, что отображения $p_1, p_2, \dots, p_n$ и $f$ можно считать теперь функциями, которые

27

каждому числу ставят в соответствии новое число.

Докажем, что отображение $f$ — линейное: $f(x) = ax + b$.

Для этого достаточно доказать три следующие почты очевидные утверждения.

(1) Если $l$ и $l'$ — две прямые и $p : l \rightarrow l'$ — отображение, сопоставляющее каждой точке ее проекцию на $l'$, то $p$ — линейное отображение.

(2) Если $p_1$ и $p_2$ — линейные отображения, то $p_1^\circ p_2$ — тоже.

(3) Если $p_1, p_2, \dots, p_n$ — линейные отображения, то $f = p_1^\circ p_2^\circ \dots p_n^\circ$ — тоже линейное отображение.

Ясно, что (3) выводится из (2) с помощью индукции. Проверка (2): если $p_1(x) = a_1x + b_1$ и $p_2(x) = a_2x + b_2$, то $(p_1^\circ p_2)(x) = p_1(p_2(x)) = a_1a_2x + (a_1b_2 + b_1)$. Для доказательства (1) проверьте такую формулу:

$$p(x) = x \cos \alpha + c,$$

где $\alpha$ — угол между положительным направлением осей $Ox$ и $O'x'$, $c$ — координата точки $p(O)$ в системе $Ox'$ (рис. 2; рассмотренте также случай, когда прямые $l$ и $l_1$ параллельны).

Тепер для решения задачи достаточно показать, что линейное уравнение $x = ax + b$ имеет решение и при этом только одно. Если это не так (то есть, если решений нет или больше одного), то $a = 1$. Докажем, что этого не может быть. Заметим, что при каждом проектировании $p_k$: $l_{k+1} \rightarrow l_k$ расстояние между любыми двумя точками не увеличивается:

$$|p_k(x) - p_k(x')| \leq |x - x'|,$$

а если прямые $l_{k+1}$ и $l_k$ не параллельны, то строго уменьшается. Отсюда следует, что для любых двух точек $x$ и $x'$

$$|f(x) - f(x')| < |x - x'|.$$

Но если $a = 1$, то есть, если $f(x) = x + b$, то $f$ сохраняет расстояния между любыми двумя точками (просто сдигает их все на расстояние $b$). Получили противоречие. Доказательство законено.

Задачка M70 и нашей решение без всяких изменений переосстанана на тот случай, когда прямые расположены не на плоскости, а в пространстве (средний их могут быть и скрещивающиеся). При этом $p_k$ означает проектирование на прямую $l_k$ в пространстве: отображение, которое ставит в соответствии каждой точке основание перpendикуляра, опущенного из этой точки на прямую $l_k$.

Рис. 2. Отображение, которое каждой точке одной прямой ставит в соответствии ее проекцию на другую прямую, записывается линейной функцией.

Рис. 3. Точка $X_1$, для которой $f(X_1) = X_1$, praktически легко найти метод последовательных приближений: начав с произвольной точки $X$, опускаем перpendикуляры на данные прямые и находим последовательное после каждого «цикла» точки $X' = f(X)$ $X'' = f(X')$ и так далее. Нетрудно доказать, что расстояния $|X - X_1|, |X' - X_1|, |X'' - X_1|$, … образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со значенателем $|a| < 1$, так что, повторив построение несколько раз, мы можем найти положение точки $X_1$ с любой железной точностью. Подобный метод очень используется для отыскания решения уравнения вида $f(X) = X$; он применит тогда, когда функция $f$ уменшает расстояние между любыми двумя точками. В нашем случае, когда $f$ — линейная функция, размечется, решение уравнения $f(X) = X$ можно найти точно (подумайте, как найти точку $X_1$, если известны $X, X'$ и $X''$).

28

Есть и другая возможность обобщения: рас-
сматривать вместе прямы плоскости. Можно
доказать, например, такой факт: если данные $n$
плоскостей в пространстве, среди которых
есть три пересекающей в одной точке,
то можно и притом единственным образом
выбрать на каждой из этих плоскостей по
точке $X_k$ ($k=1, \dots, n$) так, чтобы пере-
ндикulier, восставленный в точке $X_k$ к со-
ответствующей плоскости, проходил через
точку $X_{k+1}$ (причем $X_{n+1}=X_1$). Тепер уже
$f=p_1 \cdot p_2 \dots p_n$ будет линейным отображением
плоскости на плоскость и координатах будет записывать так: $f(x, y)=$ $(x', y')$, где $x'=a_1x+b_1y+c_1$, $y'=a_2x+b_2y+c_2$.

Докажите, что если система уравнения
$$\begin{cases} x=a_1x+b_1y+c_1, \\ y=a_2x+b_2y+c_2 \end{cases}$$
не имеет решений или имеет больше одного
решения (это бывают, если $(a_1-1)(b_2-1)−a_2b_1=0$), то система $x=a_1x+b_1y$, $y=a_2x+b_2y$ имеет решение $(x_0, y_0)$, отличное от $(0,0)$, и что отображение $f$ не меняет рас-
стояния между точками $(0,0)$ и $(x_0, y_0)$, чего в нашей задаче быть не может.

Нанболее полные решения задачи при-
слании Ф. Шмидель из Москвы, Ю. Оболонков из Воронежа, М. Розов из Минска.

M71

Прямоугольная таблица из $m$ строк и $n$ столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Докажите, что если после этого переставить числа в каждой столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они попрежнему будут стоять в порядке возрастания.

Подумайте, что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом — строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае или другая?

Рассмотрим таблицу, у которой в каждой строке числа стоит в порядке возрастания, и докажем, что, если $l<r$, то наибольшее число $r$-го столбца (обозначим его через $b$) не меньше наибольшего числа $l$-го столбца (обозначим его через $a$). Действительно, число, стоящее на пересечении той строки, где стоит $a$, и $r$-го столбца, не меньше $a$ (потому что в строке числа идут в порядке возрастания).

Аналогично можно доказать, что $k$-е по величины (считая от наибольшего числа в $r$-столбце $(b_k)$) не меньше $k$-го по величины числа в $l$-м столбце

29

Чится разные таблицы. Чтоы убедиться в этом, достаточно привести пример (рис. 5).

Правильно решили задачу P. Аюлов, А. Бревдо, Л. Браузинский, Г. Высоцкая, С. Григорян, А. Горденko, И. Джаббаров, А. Клейин, А. Кмижнерман, И. Кочубеевский, Г. Левин, М. Преезер, Е. Скрыт, А. Слинкин, А. Черняк и другие. Кроме решения, близких к нашему много и других, в которых проводится индукция; в некоторых работах доказано, что можно осуществлять перестановки последовательной каждой стольце так, что при этом все время числа будут стоять по строкам в порядке возрастания.

Н. Б. Васильев

M72

Решите уравнение
$$\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x} = p,$$
(1)
где $p$ — произвольное вещественное число.

Наивная попытка решения: возведем обе части уравнения в куб
$$2 + 3\sqrt[3]{1-x^2}\left(\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x}\right) = p^3$$
(2)
и подставим сюда первоначальное равенство (1):
$$2 + 3p\sqrt[3]{1-x^2} = p^3.$$ (3)
Тепер легко найти $x$:
$$x = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{p^3 - 2}{3p}\right)^3}.$$ (4)
Нам было прислано много писем, где получен (этим и других способами) этот ответ. Немало было и таких писем, в которых было верно найти множество значений $p$, при которых формула (4) имеет смысл:
$$p = -1, \quad 0 < p \leq 2.$$
Некоторые заметили даже, что значение $p = -1$ надо отбросить, так как значение $x = 0$, даваемое формулой при этом $p$, не подходит. Но при этом не было доказано, что при всех $p$, $0 < p \leq 2$ значение $x$, даваемые формулой (4), являются решениями. (Объчно таким доказательством служит проверка, но тут ее проделать очень сложно.) А это надо доказать, так как не все преобразования, проделанные выше, сохраняют равносильность: уравнение (2) не эквивалентно (3). Чтобы убедиться в этом, подставьте $x = 0$, $p = -1$ в (2) и (3). Равенство (3) обратится в тоже место, а (2) — нет. Поэтому утверждение, встречающиеся в письмах, что это преобразование эквивалентно, неверны. (В самом деле: попробyte из (3) вывести (2). Вам придется использовать равенство (1), условия задачи, а этого нельзя делать, так как именно его и надо доказать.) Раз так, то и другие корни могут оказаться построенными.

Разберем более детально преобразования, которые мы проделали с уравнением. Обозначим для краткости $\sqrt[3]{1-x} = u$ и $\sqrt[3]{1+x} = v$.

От уравнения
$$u + v = p$$
мы перешли к уравнению
$$u^3 + v^3 + 3uv(u + v) = p^3$$
(2)
с помощью эквивалентного преобразования (возвшения обихачея в куб). Следующий шаг, — подставить $p$ вместе $u + v$ и перейти к уравнению
$$u^3 + v^3 + 3uvp = p^3,$$
(3)
которое мы запишем так:
$$u^3 + v^3 - p^3 + 3uvp = 0,$$
$$(u + v)^3 - p^3 - 3uv(u + v - p) = 0.$$
Приименим формулу для разности двух кубов и затем вынесем $(u + v - p)$ за скобку:
$$(u + v - p)(u^2 + v^2 + p^2 + up + pv - uv) = 0.$$ (3’)
Итак, нам удалось записать уравнение (3) в таком виде (3’), по которым уже нетрудно изучить, почему оно не равносильно (2). Ясно, что левая часть (3’) равна нулю, когда хотя одна скобка равна нулю:

1. $u + v - p = 0,$
2. $u^2 + v^2 + p^2 + up + pv - uv = 0.$

30

Первое равенство — это наше исходное уравнение. Значит, все построение решения связаны со вторым и надо выяснить, когда оно выполняется. Умножив его на 2, можно записать его так:

$$(u+p)^2+(v+p)^2+(u-v)^2=0.$$

Это равенство выполняется только при $u=v=-p$.

В применинии к нашему уравнению:

$$\sqrt[3]{1-x}=\sqrt[3]{1+x}=-p.$$

Значит, $x=0$ при $p=-1$ — единственный построенный корень. Все остальные корни, давемые формулой (4), при $0<p\leqslant2$ удовлетворяют уравнению (1).

Выпишем еще раз тождества, которые мы получно установили (для симметрины мы заменим $p$ на $-w$):

$$u^3+v^3+w^3-3uvw=(u+v+w)(u^2+v^2+w^2-uw-vw-uv),$$

$$2(u^2+v^2+w^2-uw-vw-uv)=$$

$$=(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2.$$

Они часто бывают полезны при дисказательстве неравенств и в других задачах.

M73

На логерийном билете требуется отметить 8 клеток из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбран 8 клеток из 64 (причем все такие возможности мы считаем равноверятными), оказывается, что угаданыровно 4 клетки? 5 клеток?… все 8 клеток?

Как известно, 8 клеток из 64 могут быть выбранны $C_{64}^8=\frac{64!}{8!56!}$ способами ($n!$ — произведение всех целых чисел от 1 до $n$ включительно) $^*$). Все эти способы равноверятны. Следовательно, вероятность того, что выпадет какой-то один определенный способ, равна $1/C_{64}^8$. Тепер надо подсчитать, во сколько случай оказылись угаданныхровно $k$ клеток ($0\leqslant k\leqslant8$). Число таких случай равно числу способа

$^*$) См., например, статью Н. Я. Виленкина «Комбинаторика» в «Кванте» № 1, 1971 г.

Рис. 6. Красные клетки — выигращие; выбранные нами 8 клеток отмечены крестом. На этом рисунке $k=2$, $8-k=6$.

собов, при которых выбираются $k$ клеток из 8 отмеченных и $8-k$ клеток из 56 неотмеченных. Поэтому оно равно $C_{8}^k\cdot C_{56}^{8-k}$. Чтобы найти искому во времяность $f_k$ — вероятность угадатьровно $k$ клеток, надо умножить вероятность одного способа на это число. Получим

$$f_k=\frac{C_{8}^k\cdot C_{56}^{8-k}}{C_{8}^4}.$$

Таким образом, вероятности угадать 0,1, …, 8 клеток равны соответствующим.

$$f_0=\frac{C_{8}^0\cdot C_{56}^8}{C_{8}^4},$$

$$f_1=\frac{C_{8}^1\cdot C_{56}^7}{C_{8}^4}, \dots, f_8=\frac{C_{8}^8\cdot C_{56}^0}{C_{8}^4}.$$

Сумма этих девятки чисел, конечно, равна единице.

Формально задача решения, но с практической точки зрения это еще не ствет. Хотелось бы представить себе, насолько велики шансы угадать то или иное число клеток, если мы купим и заполним, скажем, десять лотерейных билетов. Для этого надо приближенно представить эти числа в виде десятичных дробей. С помощью логарифмического линейки это можно сделать, пользоваться, например, прямо формулами (1). Так поступили А. Зломник из г. Жуковского. Мы опишем другой, как нам кажется, более простой способ.

31

Рис. 7. Здесь показаны числа $f_k$ – вероятносты угадать $k$ клеток ($k = 0, 1, 2, \dots, 8$). При $k \geq 4$ величины $f_k$ очень близка к нулю.

Сначала вычислом отношение $(k+1)$-го из этих чисел к $k$-му:

$$\frac{f_{k+1}}{f_k} = \frac{C_8^{k+1} \cdot C_{56}^{8-k-1}}{C_{64}^8} : \frac{C_8^k \cdot C_{56}^{8-k}}{C_{64}^8} = \frac{(8-k)^2}{(k+1)(48+k+1)}$$

в частиности,

$$\frac{f_1}{f_0} = \frac{64}{49} \approx 1.31; \quad \frac{f_2}{f_1} = \frac{49}{100};$$

$$\frac{f_3}{f_2} = \frac{12}{51} \approx 0.235; \quad \frac{f_4}{f_3} = \frac{25}{208} \approx 0.12;$$

$$\frac{f_5}{f_4} \approx 0.06; \dots$$

Вычислом отношения $f_2, f_3, f_4$ к $f_0$ с двумя знаками после запятой:

$$\frac{f_2}{f_0} = 0.64; \quad \frac{f_3}{f_0} \approx 0.15; \quad \frac{f_4}{f_0} = 0.02.$$

Ясно, что $f_5/f_0 < 0.02 \cdot 0.12$ и при выбранной степении точно $f_5, f_6, f_7, f_8$ равны нулю. Мы можем составить уравнение

$$f_0(1+1,31+0,64+0,15+0,02)=1,$$

откуда $f_0 \approx 0.32$. Тепер нахождение $f_1, f_2, f_3, f_4$:

$$f_1 \approx f_0 \cdot 1.31 \approx 0.42; \quad f_2 \approx f_0 \cdot 0.64 \approx 0.20;$$

$$f_3 \approx f_2 \cdot 0.24 \approx 0.047; \quad f_4 \approx f_3 \cdot 0.12 \approx 0.0056.$$

Таким образом, если вы заполните десять билетов, то средние их скорее всего все будут такие, на которых угадано 0, 1, 2 и, быть может, 3 клетки; вероятность угадать 4 и более клеток очень мала. Умножая $f_4$ на $\frac{f_5}{f_4} \approx 0.06$ и так далее, можно получить приближенные значения $f_5, f_6, f_7, f_8$. В частиности, $f_8 \approx 2 \cdot 10^{-10}$. Это значит, что для того, чтобы имея реальные шансы угадать все 8 клеток, надо заполнить несколько десятиков миллиардов билетов.

С помощью приближенного метода расчета, который мы применили, можно показать, что если число $N$ клеток на лотерейном билете много больше числа $m$ клеток, которые нужно отмещать, а $m$ достаточно велико, то вероятность угадать $k$ клеток приближенного равна

$$f_k = \frac{C_m^k C_{N-m}^m}{C_N^m} \approx \frac{\mu^k \cdot e^{-\mu}}{k!},$$

где $\mu = \frac{m^2}{N-2m}$, а $e \approx 2.718\dots$ — постоянное число ($\pi$) этого нужно пользоваться тем, что $1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots = e^x$ для любого $x$).

А. Л. Тоом

В этом номере мы публикуем решение задач Ф79—Ф82

Ф79

Уровень воды, попавшей в лодку, совпадает с уровнем воды в озере. Где уровень воды будет выше, если в лодку бросить полено?

При опускании полена в лодку лодка погрузится в озеро, выте缠 дополнительно объем воды $\Delta V = \frac{m}{\rho}$ ($m$ — масса полена, $\rho$ — плотность воды). С другой стороны, так как полено плавает в воде, то уровень воды в лодке должен изменяться точно так же, как изменяется бы он при дливании в лодку воды массой, равной массе полена, и объемом, равным объему погруженной части полена, то есть $V = \frac{m}{\rho}$. (Мы можем мысленно убрать полено и заполнить получшуюся владиную воду — при этом уровень воды в лодке не изменится.) Такой же объем воды дополнительно выте缠ет лодка при бросании в нее полена. Поэтому уровень воды в лодке будет совпадает с уровнем воды в лодке.

32

нем воды в озере, если толщина стенок лодки пренебрежимо мала, и будет немного выше уровня воды в озере, если стенки толстые.

Правильное решение прислали Р. Хаснумдинов (пос. Октябрьский БАССР), А. Зисман (Псков), И. Видорович (Симферополь), О. Маслиок (Новомиргород Кировоградской обл.), В. Рудько (Киев), А. Смарченко (пос. Петропавловск Днепропетровской обл.), А. Демидов (Москва), Л. Браценский (Фрунзе), Ф. Тухватуллин (Ташкент), Н. Шишкин (Нальчик), Н. Филиппов (Ленинград), Н. Сидоров (Москва).

И. Ш. Слободецкий

Ф80

Вдоль наклонной плоскости под углом β к направлению спуска бросают кубик (рис. 8). Найти установившуюся скорость движения кубика, если коэффициент треня его o плоскость k = tgα, где α — угол наклона плоскости k горизонту.

На кубик действуют сила тяжестии P = mg, сила нормальной реакции N = mg cosα и сила треня F_tp (рис. 8).

Рассмотрим составляющие силы вдоль плоскости. Вниз в сторону

Рис. 8.

наибыстрый спуска (ось y) действует составляющей силы тяжестии F = mg sinα; в сторону, противоположную скорости, действует сила треня F_tp = kN = kmg cosα. По условию, k = tgα, поэтому F_tp = tgα · kmg cosα = mg sinα = F.

Таким образом, задача сводится к рассмотрению движения кубика под действием двух одинаковых по величине сил. Одана из них направлена всегда против скорости кубика, другая — вдоль оси y.

Рис. 9.

Пусть в некоторый момент скорость v составляет с осью y угол φ (рис. 9). Тангенциальное (направление по касательной к траектории) ускорение a кубика определяется силой F_tp = F и проекцией F cosφ силы F на то же направление:

$$a = \frac{F + F \cos \varphi}{m}.$$

Ускорение a_y (вдоль оси y) определяется силой F и проекцией F_tp cosφ силы F_tp на ось y. Легко видеть, что по величине этого ускорение равно тангенциальному:

$$a_y = \frac{F + F_tp \cos \varphi}{m} = \frac{F + F \cos \varphi}{m} = a.$$

Таким образом, быстрота изменения величины плоской скорости a = \frac{\Delta v}{\Delta t} и быстрота изменения величины составляющей силы вдоль оси y a_y = \frac{\Delta v_y}{\Delta t} одинаковы. Но если быстрота изменения во времени двух ких-х-libо величины одинакова, то сами эти величины различаются лишь на постоянную, не зависящую от времени. Обозначим эту постоянную через V. Тогда в любой момент времени v = v_y + V.

Найти константу V можно, подставив в эту формулу значения v и v_y

33

в начальной момент движения кубика ($v=v_0$, $v_y=v_0 \cos \beta$):

$$v_0 = v_0 \cos \beta + V.$$

Отсюда

$$V = v_0 (1 - \cos \beta).$$

Следовательно,

$$v = v_y + v_0 (1 - \cos \beta),$$

где

$$v_y = v \cos \varphi.$$

По истечении достаточно длительного времени «поперечная» составляющая скорости кубика уменышится до нуля. Кубик будет движаться вниз вдоль оси $y$. В этом предельном состоянии $\varphi = \pi$, то есть $\cos \varphi = -1$; $v_y = -v$.

Для установившейся скорости $v$ можно написать уравнение

$$v = -v + v_0 (1 - \cos \beta).$$

Отсюда

$$v = v_0 \frac{1 - \cos \beta}{2} = v_0 \sin^2 \frac{\beta}{2}.$$

Зная, что $a=a_y$, задачу можно решить также графически. Действительно, если изменение $\Delta v$ величины полной скорости равно изменению $\Delta v_y$, то легко найти величины

$$v = v_0 \frac{1 - \cos \beta}{2} = v_0 \sin^2 \frac{\beta}{2}.$$

Зная, что $a=a_y$, задачу можно решить также графически. Действительно, если изменение $\Delta v$ величины полной скорости равно изменению $\Delta v_y$, то легко найти величины

$$v = v_0 \frac{1 - \cos \beta}{2} = v_0 \sin^2 \frac{\beta}{2}.$$

Пусть через время $\Delta t$ составляющая $v_y$ скорости кубика изменилась на $\Delta v_y$, а полная скорость — на $\Delta v = \Delta v_y$. Следовательно, через время $\Delta t$ вектор $v_0$ будет на $\Delta v$ короче, и на такую же величины изменяется величина его проекции на ось $y$.

Через точку $B$, лежащую ниже точки $A$ (конца вектора $v_0$) на отрезок $\Delta v_y = \Delta v$, проведем горизонтальную прямую $BC$. Радиусом $AB$, равным $\Delta v_y = \Delta v$, из точки $A$ как из центра проводим дуг $BD$. Точка $D$ отметит длину нового вектора $v = v_0 - \Delta v$. Радиусом $OD$, равным $v = v_0 - \Delta v$, из точки $O$ как из центра проводим дуг $DC$. Точка $C$ пересечения дуг с прямой $BC$ является концом искомого вектора $OC$, равного $v$.

Такое построение можно сделать для любых интервалов времени $\Delta t$. Оно показывает, что вектор скорости $v$ кубика ускоривается и приближается к оси $y$ (рис. 11). Из чертежа видно, что в предельном случае

$$v + v_0 \cos \beta = v_0 - v.$$

Отсюда

$$v = \frac{v_0 (1 - \cos \beta)}{2} = v_0 \sin^2 \frac{\beta}{2}.$$

Правильное решение прислал П. Беляков (Москва).

Б. Б. Буховцев