V Всесоюзная физическая олимпиада

42

На этих встречах ребята могли посмотреть свои тетради и побеседовать с членами жюри, выяснить все интересующие их вопросы по заданям, узнать новые задачи. Например, член жюри Н. Константинов провел двухчасовой кружок, на котором школьники предлагали придуманные им самыми задачи и совместными усилиями их решали. Не смогли решить только одну задачу, предложенную участиком олимпiadы Н. Романовым.

Задача. Какая точка плоскости окрашена в один из трех цветов: красный, синиый или желтый. Обязательно ли найтися три точки однозочея, которые образуют треугольник, подобный данному?

Не остались в стороне и руководители команд. Для них члены жюри прочитли несколько лекций.

В заключение мы приведем еще одну исследовательскую задачу из портфеля жюри, которая предназначалась для II типа, но не была включена из-за перегрузки вариантов.

Задача a. Пусть $-1 \leq x_1 \leq x_2 \leq \leq x_n \leq 1$. Если при некотором $a$, маком, что $-1 \leq a \leq 0$, $|(a - x_1)(a - x_2) \dots (a - x_n)| > 1$, то при любом $x$, маком, что $0 \leq x \leq 1$, $|(x - x_1)(x - x_2) \dots (x - x_n)| \leq 1$.

Доказать это утверждение:
a) при $n=2$; 6) при $n=3$;
b) при произвольном $n$.

V Весоюзная физическая олимпиада

И. А. Зайцев

С 15 по 20 апреля в Новосибирске проходила V Весоюзная физическая олимпиада. По уже устоявшейся традиции она проходила в два тура: теоретического и экспериментального. Подбирая задачи, жюри стремилось к тому, чтобы при их решении было достаточно знаний, предполагаемых программистским средней школьью, но требовалось бы «физическое мышление», понимание, чем можно пренебречь, понимание того, как произходит процесс, о котором говорится в задане, и т. д. Труднее всего жюри пришлось с задачами экспериментального тура. Они не должны быть требоваться для решения слишком много времени и в них должны быть «олимпиадность»:

при решении нужно было проявить нахождениесть, подумать о том, как лучше поставить опыт, чтобы получить как можно более точный результат. Это, впрочем, относилось как к теоретическим, так и к экспериментальным задачам.

Всего жюри отбрало 14 теоретических и 10 экспериментальных задач. Некоторые задачи повторились в разных классах. Ниже мы публикуем все задания, которые предлагались на олимпиаде (часть из них уже была опубликована в «Кванте» № 10, часть мы публикуем в этом номере в «Задачке «Кванте»).

Каждая из работы участников олимпиады проводилась дважды — вначале одним из членов жюри, затем

43

каждую из задач в работе проверяли отдельно «специалисты» по этой задаче. Это позволило успешить требования, уменьшить вероятность ошибки. Лучшие и худшие работы, кроме того, проверялись старшим по варианту.

Работой по подготовке задачи и проверкой работы руководили: председатель жюри — академик С. Т. Беллев, его заместители — Е. И. Биченков и И. Ш. Слободецкий.

Приведем для примера решения двух характеристи克斯 «олимпидных» задач теоретического типа.

1. Два протона и два позитрона, первоначально поконвшиеся в вершинах квадрата со стороны $a$ (рис. 1), разделяются. Отношение их масс $M/m=2000$, а заряды одинаковы. Найти относение скоростей протонов и позитронов после разлега (на бесконечности). (10 класс).

Вначале на все частицы действуют одинаковые по величины сил. Но массы протонов в 2000 раз превышают массы позитронов. Это означает, что ускорения позитронов будут в 2000 раз больше ускорений протонов. Поэтому позитроны быстро разлегаются на бесконечность, а затем протоны будут разлегаться, взаимодействующую уже только друг с другом. Это дает возможность при вычислении скоростей позитронов протоны считать неподвижными.

Найдем полную потенциальную энергию позитронов до разлега. Если бы протонов не было, то потенциальная энергия взаимодействия двух позитронов была бы равна $\frac{e^2}{a\sqrt{2}}$ (т. е. работе, которое нужно затратить для слияния двух позитронов). Потенциаль поля, которые создают каждый из протонов в точке, где находится позитрон, очень high. Поэтому полная потенциальная энергия позитронов будет равна

$$\Pi_1 = \frac{e^2}{a\sqrt{2}} + 2\frac{e}{a}e + 2\frac{e}{a}e = \frac{e^2}{a} \left( 4 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right).$$

(Потенциальную энергию взаимодействия протонов мы можем не учитывать, так как она не меняется — протоны неодвижны.) Вся эта энергия перейдет в кинетическое энергию позитронов при их разлеге. Ясно, что скорости позитронов на бесконечности одинаковы. Поэтому

$$\frac{e^2}{a\sqrt{2}} = Mu^2. \tag{1}$$

Теперь рассмотрим разлет протонов. Их потенциальная энергия до разлега, очень high, равна $\frac{e^2}{a\sqrt{2}}$, а полная kinетическая энергия после разлега равна $Mu^2$ (и — скорость протонов). По закону сохранения энергии

$$\frac{e^2}{a\sqrt{2}} = Mu^2. \tag{2}$$

Разделив теперь уравнение (2) на уравнение (1), получим

$$\frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{M}{m} \left( \frac{u}{v} \right)^2,$$

откуда

$$\frac{u}{v} = \sqrt{\frac{m}{M} \frac{1}{4\sqrt{2}} + 1} \approx 0,007.$$

2. На главном столе расположена система грузов, изображенная на рисунке 2. Коэффициент треня между грузами $M$ и $m$ равен $k$. Правый нижний груз тянут вдоль стола с силой $F$, как указано на рисунке. Найти ускорения всех грузов системы. (8 класс).

Вот как решил эту задачу Вадим Мирный (шк. № 2, г. Москва), получивший на оптимale диапазон II степени.

Перенумерем грузы так, как показано на рисунке 2. Выберем систему отчета, связанную со столом, и положительное направление вправа. Тогда нижкой из грузов не может иметь отрицательного ускорения.

Пусть вместе груzes 3 и 4 на столе столб, к которой призывана нить. В этом случае наяжение нити

46

рез стеклянные кубики $A$ и $B$ длины $l$ каждый (рис. 6). Скорость света в воздухе равна $c$, в неподвижном стекле — $v$. Насколько быстрее свет пройдет по нижнему пути, если кубик $B$ привести в движение со скоростью $u$? (77)

Эту задачу нужно было решить в приближении $v \ll c$ и $u \ll c$. Многие участники, однako, решили задачу в общем случае, используя формулы теории относительной энергии.

2. Три тела с массами $m_1, m_2, m_3$ могут скольнить вдоль горизонтальной прямой без трения (рис. 7), причем $m_1 \gg m_2$ и $m_3 \gg m_2$. Определить максимальные скорости двух краей этих тел, если в начальной момент времени они покопились, а среднее тело имело скорость $V$. Удары считать абсолютино упругими. (43)

Не следует решать эту задачу «в лоб», составляя большое число уравнений. Здесь нужно было получить о следствиях условий $m_1 \gg m_2$ и $m_3 \gg m_2$.

3. Шар радиуса $R$ сокальзывает по лестнице, ширина и высота ступенек которого $a \ll R$ (рис. 8). Содуаренная шара со ступенками неупругие, трения нет. Какой наиболее скорости достигнет шар при достигоно большой лестницы? (16)

4. В цилиндре с поршнем находится вода, внутри которого в начальной момент имеет полость объема $V$ (рис. 9). Давление паров в полости пребрежимо мало. Поршень оказывает на воду постоянное давление $P$. Какую кинетическая энергия приобретет вода в момент, когда полость исчезнет? Начальная скорость воды равна нулю. Силуяжестии можно не учитывать. (109)

5. В камеру согранная реактивного движения поступает в секунду масса $m$ водорода и необходимое для полного согранния количество кислорода. Сечение выходного ответия сопла движения $S$, давление в этом секунду $P$, температура $T^\circ$ К. Определить силу тягги движения.

30 девятиклассников — участников олимпiadы не решили ни одной задачи, 45 решили по одной, 51 — по две, 29 — по три, 13 — по четверге. Только две сделали все задачи.

10 класс (249 участников)

1. На рисунке 10 показана часть схемы, состоящей из неизвестных сопротивлений. Как, имея амperметр, волтметр, источник тока и соединенные провода, можно замерть величины одного из сопротивлений, не разрывая ни одного контакта в схеме? (45)

Задча имеет очень короткое и интерсное решение. Попробуйте найти его.

2. К маятнику $AB$ с шариком массы $M$ подвешен мятник $BC$ с шариком массы $m$ (рис. 11). Точка $A$ совершает колбания в горизонтальном направлении с периодом $T$. Найти длину нити $BC$, если известно, что нить $AB$ все время остается вертикальной. (35)

3. См. задачу 5 для 9 кл. (120)

4. Два протона и два позитрона, первоначально покопшиеся в вер-

47

Шинах квадрата со стороны $a$ (см. рис. 1 на стр. 44), разлетаются. Отношение их масс $M/m=2000$, а заряды одинаковы. Найти отношение скоростей протонов и позитронов после разлега (на бесконечности). (5)

Главное в этой задаче — понять, как будет проинсходить разлет частиц.

5. Свет от источника $S$ по пути к экрану проходит через стеклянный кубик с ребром $l$ (рис. 12). Насколько быстрее свет doit до экрана, если кубик привести в движение со скоростью $v$? Скорость света $c$, показатель преломления стекла $n$. (97)

См. замещение к задаче 1 для 9 кл.

74 десятиклассика — участника олимпиды не решили ни одной задачи, 69 справлись только с одной, 52 — с двумя, 25 — с третья, 13 — с четверья. Все задачи решил только один участник олимпиды.

Задание экспериментальноготура

Выполняя экспериментальную работу, важно было не только выполнить ее правильно, но и сделать это просто, острумно и оригинально. Нужно было продумать, нельзя ли проверсти требуемые измерения несколько методами.

8 класс

1. Определить к. п. д. наклонной плоскости с помощью секундомера, линейки и бруска.

2. Найти отношение коэффициентов треня покоя и скольжения, имея планку и две круглые деревянные палочки.

3. Имеются два шарика, подвешенные на нитях равной длины к одной точке, кусочек пластлина и транспортир. Масса одного из шариков известна. Определить массу второго.

4. Имеется два черных ящика. В одном из них лампочка, а в другом сопротивление. Найти, где что, появясь батарейкой, амperметром и волтметром.

9 класс

1. См. задачу 2 для 8 кл.

2. Определить удельный вес жидкости с помощью трубки, сосудов с жидкостью и линейки.

3. Определить зависимости перiodа колебаний физического матрика (палки с ответящими) от длины. Имеются две одинаковые палки с ответящими и шаттив со штырем, на которой можно одеть эти палки.

4. Определить теплоту плавления льда, имея calorimetр, термометр, лед, мензурки.

10 класс

1. Определить э. д. с. и внутреннее сопротивление источника, имея источник с известной э. д. с., микроперметр, два одинаковых конденсатора, известное сопротивление.

2. Определить коэффициент преломления стеклянной плоскопараллельной пластинки.

3. Определить влажность снега с помощью calorimetра, термометра, мензурки и воды.

4. См. задачу 3 для 9 кл.

Попробуйте проделать самостоятельное эти работы.