Заочная олимпиада Азиатской части СССР

58

Заочная олимпида
Азнатской части СССР

Мы публикуем тексты задач заочной олимпиды по математике, физике и химии для учащихся школ и других средних учебных заведений Сибири, Казахстана, Дальнего Востока и Средней Азии.

Te, кто успешно справится с задачами заочной олимпиды, будет приглашены на областные, краевые, ресурсильские олимпиды на равных правах с победителем районных олимпидов. Приглашения будут рассылаться организми народного образования по домашним адресам. Лучшие из победителей областных и ресурсильских олимпидов примут участие в заключительном.type Всегоозной олимпиды, а также будут приглашены в летнюю школьу Сибирского отделения Академии наук СССР.

После каждой задачи в скобках указаны классы, для учеников которых она predлагается, однako можно попробовать свои силы и на задачах для более старших классов. Чтобы стать победителем олимпиды, не обязательно решить много задач. Иного достаочно остроумного решения одной. Но решить задачу — это не значит только дать ответ; нужно обязательно обосновать его, дать точное доказательство. Задачи не требуют никаких знаний, выходящих за пределы программы средней школи. Решения задачи по каждой predмету должны высылаться в отдельном конверте стандартного формата. На конверте укажите название предмета. В письмо нужно вложить согласно конверте с обратным домашним адресом и маркой; в этом конверте вам пришлют извещение о результатах работы. Решения надо писать очень разборчиво. Условия задач не переписываются, но указываются их номера.

В начале письма не забудьте указыть (разборчиво):

1. Свою фамилию, имя и отчество.
2. Почтовый домашний адрес (подробный).
3. Класс, школа, училище, техническим и т. д., адрес.
4. Фамилию, имя и отчество своего учитель по данному predмету.

Последений день, когда вы еще можете послать решение,— 1 февраля 1972 года по почтовому штемпелю. Письма, отправленные позже, рассматриваются не будут.

Участики олимпиды направляют решения по адресу: Новосибирск, 90, Олимпида.

Желаем всем участникам олимпиды самых больших успехов.

Комитет по проведению олимпидов
Сибирского отделения
Академии наук СССР

59

МАТЕМАТИКА

1. На плоскости даны три точки $P_1, P_2, P_3$, не лежащие на одной прямой. Четвертая точка $A$, отличная от них, симметрично отражается относительно $P_1$, полученная точка симметрично отражается относительно $P_2$, новая точка отражается относительно $P_3$, затем относительно $P_1, P_2, P_3, P_1$ и так далее. Обязательно ли на неекотором шаге полученная точка совпадает с первоначальной точкой $A$? (10)

2. В окружность вписывается четырехугольник, после чего в каждой из четырех образованшихся сегментов вписывается окружность, касающаяся соответствующей стороны четырехугольника в ее середине (рис. 1). Для каждого четырехугольника сумма длиной полученных четырех окружностей будет наименьшей? (10)

3. Легко доказать, что квадрат $10 \times 10, 20 \times 20, 30 \times 30$ и т. д. покрываются фигурами вида

Graph

из пятки клеток, а квадрат $5 \times 5$ — нет (сторона клетки принята за единицу).

Можно ли покрыть такими фигурами квадраты $15 \times 15, 25 \times 25, 35 \times 35$ и т. д.? (9—10)

4. На бесконечном листе клетчатой бумаги выбрано пять узлов (узлом называется точка, где пересекаются линейные). Докажите, что из этих пяти узлов наверняка можно выбрать два таких, что соединяющий их отрезок проходит еще через один узел сетки. (9—10)

5. Проведите хорду, которая делится двумя данными радиусами дан-

Рис. 1.

ной окружности в данной отношении $k_1:k_2:k_3$. (9—10)

6. Впишите в данной треугольник $ABC$ параллелограмм $BMNK$ так, чтобы точки $K, M, N$ лежали на сторонах $AB, BC$ и $AC$ соответственно и чтобы диагональ $KM$ имела заданную длину. (9)

7. Докажите, что число 11…11, записьаемое $2^n$ единицами, имеет не менее $2^n$ различных делителей (включая 1 и само это число). (8—9)

8. Докажите, что в прямогольном треугольнике относение квадрата笆санной окружности к сумме квадратов длины медиан, проведенных из острых углов, не превыходит 1/5. (8—9)

9. В десяти рюкзаках находится 50 банок консервов, причем в разных рюкзаках — разное количество банок. Разрешается «уравнивать» количество банок в двух рюкзаках, то есть из рюкзака с большим количеством банок перекладывать в рюкзак с меньшим количеством несколько банок так, чтобы разница в количестве банок в них стала минимальной. Докажите, что через некоторое число таких «уравнивания» можно добиться того, чтобы в каждой рюкзаке оказалось равно 5 банок. (8)

60

10. В одной из двух изолированных комнатах электрическая лампочка, а в другой — пять выключателей, один из которых подсоединен к лампочке. Двум эксериментатором требуется узнать, какой именно выключатель соединен с лампочкой, действующим следующим образом. Они расходятся по разным комнатам, один шелкает (как угодно) выключателями, другой следит за лампочкой, а потом они встречаются.

Как им решить задачу (часов у них нет)? (8)

11. Докажите, что $m^2+1$ не делится на 19 или каком целом $m$. (8)

ФИЗИКА

1. Соломинка длины $l$, массы $M$ падает, сохраняя вертикальное положение. По ней полет муравей массы $m$ с постоянной скоростью $v$. Какую работу совершит муравей, переяя от одного конца соломинки до другого?

Соответствие воздуха пренебречь. (8)

2. Устойчиво ли равновесие линейки, симметрично лежащей на закрепленном цилиндре.

Просkalьзывания нет. Все размеры заданы. (8—9)

3. В кастрюле с тяжелой крышкой вскипятили воду. Кастрюлю сяли с плиты, после чего в спокойную воду насыпали чайную заварку. Вода бурно закипела. Объясните это явление. (8—9)

4. Плоскую фигуру разрезали на две части по прямой, проходящей через центр тяжестии. Равны ли массы этих частей? (8)

5. На гвозде внесел, а потом начал сокальзывать однородный канат длины $L$. Вес куска каната единной длины равен $d$. Найти силу давления каната на гвоздь, когда расстояние между его концами равно $l$. Трением пренебречь. (8—10)

6. Почему спицы велосипедного колеса располагают не по радиусу, а слегка наискось? (рис. 2) (9)

Рис. 2.

7. Указать направление сил треня, действующего на передние и задние колеса автоматия, если только задние — ведущие. (8)

8. На дне герметических закупороннего сосуда, до верху направленного водой, находящего два одинаковых

Рис. 3.

пузырька воздуха (рис. 3). Давление на дне равно $p$. Один из пузырьков всплывает. Каким станет давление на дне? (9—10)

9. Почему конькобежец при торможении сводит носки коньков, а не пятки? (9—10)

10. На тележке массы $M$ закреплена коробка, масса которой пренебречь.

Рис. 4.

61

режимо мала. К верхней грани ко-
робки прикреплен мятник (рис. 4).
Длина мятника $l$, масса груза $m$.
Пренебрегая тренем тележки о горизонтальную плоскость, найти перi-
од малых колебаний мятника. (9—10)

11. Две концентрические сферы с
    радусами $R_1$ и $R_2$ заземлены (рис. 5).

Рис. 5.

Между сферами на расстоянии $r$ от
их общего центра находится заряд $q$.
Найти полные заряды на каждой из
сфера. (10)

12. На аndeе триода с плоским
    электродами подерживает направление $u$ (рис. 6). Катод лампы заземлен, а сетка изолирована. Площадь

Рис. 6.

пластин $S$, расстояние между аномом и катодом $L$, между катодом и сеткой — $l$. При каком заряде на сетке ток через лампу прекраится? (10)

ХИМИЯ

8 класс

1. При синтезе из элементов аммиака выделяется 11 ккал/моль, а при синтезе из элементов гидразина $(N_2H_4)$ поглощается 10 ккал/моль.
   Определенте энергию связи $N$ — $H$ и $N$ — $N$, если энергия связи в молекулярном водороде 104 ккал/моль, а в молекулярном азоте 170 ккал/моль.

2. Известно, что в некоторых природных силикатных минералах анионы имеют структуры, в которых терзадры $\text{SiO}_4^{2-}$ образуют бесконечные двумерные цепи таким образом, что неокторые из atomов кислорода принадлежат одновременно двумтетраздрам. (Такие atomы кислорода называют мостиковыми.) Какова будет формула аниона минерала, в котором три atomа кислорода в любом tetraздре $\text{SiO}_4^{2-}$ является мостиковыми? Нарисуйте фрагмент структуры этого аниона. Какие минералы с таким анионом вы знаете? Каковы их механические свойства и как они связаны со структурой минерала?

3. Известно, что ацетат натрия $\text{CH}_3\text{COONa}$ гораздо легче образует пересыщенные расторы, чем хлористый натрий. Предложите обяснение этого явленю.

4. Образец магниевой структуки на воздухе и золу расторилы в 60 мл 1 М соляной кислоты. На нейтрализанию этого растора пошло 12 мл 1 М растора едкого натра. После добавления избыточка растор прокипятили, а выделившийся при этом газ пропустили в колбу с 10 мл 1 М соляной кислоты. На нейтрализию растора в колбе пошло 6 мл 1 М растора едкого натра. Определенте вес образца магния и процентный состав золы.

9 класс

1. Расторимость йода в воде составляет 0,00134 молл/л, а в 0,0070 М расторейода калия — 0,0048 молл/л. Расчитайте расторимость йода в 0,1 М растора йодida