Diện tích đa giác

36

Dưới đây là một số bài toán liên quan đến khái niệm diện tích đa giác. Chúng tôi đưa ra một định nghĩa tiên đề về diện tích của đa giác, liệt kê các thuộc tính mà chúng ta cần.

A1. Diện tích của đa giác là một số dương.
A2. Diện tích của các đa giác bằng nhau (đồng dạng) là bằng nhau.
A3. Nếu một đa giác được cắt thành nhiều phần thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các phần đó.
A4. Diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của đáy và chiều cao của nó. (Ta coi đơn vị tỷ lệ đã cho; dễ dàng chứng minh được tích này không phụ thuộc vào cạnh nào và độ cao tương ứng ta lấy.)
Chữ A được chọn vì từ “Tiên đề” bắt đầu bằng nó. Từ bốn tính chất của tiên đề này, bạn có thể rút ra tất cả các định lý về diện tích đa giác mà bạn học ở trường.

Thật vậy, khó hơn nhiều để chứng minh rằng có thể liên kết với mỗi đa giác $M$ trong mặt phẳng số diện tích $S(M)$, diện tích của nó, sao cho các tính chất A1–A4 được thỏa mãn. Điều này đúng, nhưng nó thường không được chứng minh trong một khóa học ở trường và được coi là rất năng nổ. Thay vì A4, chúng ta có thể xem xét thuộc tính chính mà từ đó A4 bắt nguồn:

A4’. Diện tích hình vuông có cạnh 1 là 1.

Ví dụ:

a) Diện tích của hình bình hành bằng tích của đáy và chiều cao của nó;
b) Diện tích hình thang bằng tích của một nửa tổng hai đáy và chiều cao.
Hãy suy nghĩ cách chứng minh những nhận định này (nghĩa là rút ra từ các tiên đề A1-A4).
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc chứng minh một công thức khác tính diện tích hình thang.

1. Diện tích của hình thang bằng tích của một trong các cạnh và đường vuông góc hạ xuống nó từ giữa cạnh kia.

Bằng chứng. Cho $ABCD$ là hình thang đã cho $(AD \parallel BC)$, $K$ là trung điểm của cạnh $CD$, $KH$ đường vuông góc hạ từ điểm $K$ xuống đường thẳng $AB$. Chúng ta hãy vẽ qua điểm $K$ một đường thẳng song song với đường thẳng $AB$. Đặt $M$ và $P$ là điểm của nó

38

7. Chứng minh rằng diện tích của hình bên phải là lớn nhất và nhỏ nhất trong các đường chéo của nó.

Gợi ý. Hãy nhìn vào Hình 4.

8. Chứng minh rằng diện tích của một đa giác ngoại tiếp một hình tròn bằng tích bán kính của hình tròn này với chu vi của đa giác đó.

Trong những vấn đề này, bạn có thể bỏ qua kỹ thuật “cắt và gấp”. Lưu ý rằng, về nguyên tắc, kỹ thuật này luôn có thể được sử dụng khi bạn cần chứng minh sự bằng nhau về diện tích của hai đa giác; Định lý sau đây đúng: nếu hai đa giác có kích thước bằng nhau thì một trong số chúng có thể được cắt thành các phần để tạo thành đa giác kia.

Định lý này không khó chứng minh *). Nhưng trên thực tế, để xác lập sự bằng nhau về diện tích hoặc tìm tỉ số diện tích thì không nhất thiết phải “cắt và thêm”. Ví dụ: bạn có thể so sánh rất nhanh diện tích của hai hình tam giác bằng công thức mà chúng tôi gọi là A4. Đặc biệt, ngay sau đó còn có các thư từ liên quan đến các lĩnh vực:

nếu đỉnh của một tam giác di chuyển dọc theo một đường thẳng song song với đáy của nó thì diện tích không thay đổi (Hình 5; tam giác ABC

*) Xem cuốn sách “Các hình có kích thước bằng nhau và cách đều nhau” của V. G. Boltyansky, bộ “Bài giảng phổ biến về toán học”, tập. 22, Gostekhidat, M., 1956.

và ADB có chung đáy AB và có chiều cao bằng nhau);

nếu một trong các cạnh của tam giác kề với một góc cho trước tăng k lần thì diện tích của nó cũng tăng k lần (xem Hình 6; tam giác ABC và ABD có chung đường cao AH nên tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số hai đáy:

$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD.$$

Điều này ngụ ý một sự tương ứng tổng quát hơn:

Nếu hai tam giác có một góc chung thì diện tích của chúng tỉ lệ với tích các cạnh bao quanh góc đó.

(xem Hình 7; $$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD,$$
$$S_{\triangle ABD} / S_{\triangle EBD} = AB / EB,$$
$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle EBD} = (AB \cdot BC) / (EB \cdot BD)).$$

Cụ thể, nếu hai tam giác bằng nhau và cạnh của tam giác này lớn hơn cạnh tương ứng k lần thì diện tích của tam giác thứ nhất gấp $k^2$ lần diện tích của tam giác kia.

Trong các bài toán sau, lời giải chính xác dựa trên những cân nhắc sau: so sánh diện tích của tam giác

39

những biệt hiệu có cùng đáy, hoặc cùng chiều cao, hoặc cùng góc. Hãy cố gắng tìm ra con đường đơn giản và đẹp nhất lời giải!

9. O là giao điểm của đoạn AC và BD (Hình 8). Để diện tích của các tam giác AOB và DOC bằng nhau thì điều cần thiết và đủ là các đường thẳng BC và AD song song. Hãy chứng minh điều đó!

Để giải bài toán này, cần chứng minh hai phát biểu: (1) nếu diện tích của các tam giác AOB và DOC bằng nhau thì các đường thẳng BC và AD song song; (2) Nếu các đường thẳng BC và AD song song thì diện tích các tam giác AOB và DOC bằng nhau.

10. Chứng minh rằng một tứ giác lồi là một moed và polko moed song song khi mỗi đường chéo của nó chia đôi diện tích adb của nó.

Và ở đây, như ở bài toán trước, bạn cần chứng minh hai định lý: trực tiếp và nghịch đảo.

11. Cho tam giác ABC, đường thẳng đi qua đỉnh A và chia đường trung tuyến BM theo tỉ lệ 1:2, tính từ đỉnh, ta cắt cạnh BC tại điểm K. Tìm tỉ số diện tích của các tam giác ABK và ABC.

Lưu ý: Vẽ đường thẳng song song với AK đi qua điểm M và dùng đường thẳng đó để tìm tỉ số giữa các đoạn BK và BC.

12. Trên phần tiếp theo của cạnh lồi BC của tứ giác ABCD, tìm điểm O sao cho diện tích adb của tứ giác ABCD bằng diện tích tam giác ABO.

Chú ý: Kẻ đường thẳng qua điểm D song song với đường chéo AC.

Có phải bài toán 12 luôn có lời giải không? Có phải nó luôn là duy nhất?

bài toán này cho phép bạn biến bất kỳ đa giác lồi nào thành một đa giác có kích thước bằng nhau với ít cạnh hơn.

13. Hai đường thẳng được vẽ qua giữa chiều cao của tam giác cân, nối nó với các đỉnh của đáy (Hình 9). Phần diện tích nào của tam giác được tạo thành từ những phần mà trên đó tam giác vẫn bị cắt bởi các đường thẳng?

14. Cho tam giác ABC. Chúng ta kéo dài cạnh AB của nó ra ngoài đỉnh B với đoạn BP=AB, cạnh AC ra ngoài đỉnh A với đoạn AM=CA, và cạnh BC ngoài đỉnh C với đoạn KC=BC. Diện tích adb của tam giác PKM lớn hơn diện tích tam giác ABC bao nhiêu lần?

Lưu ý: Chứa các điểm M và B, P và C, A và K.

15. Lập analocine bài toán cho tứ giác và giải nó. Rút ra kết quả bài toán 6 từ nó.

16. Trên các cạnh của tứ giác lồi ABCD lấy các điểm M, P, K, H mak sao cho AM : MB = 3 : 5; BP : PC=1 : 3; CK: KD=4: 5; DH : HA = 1 : 8. Tìm tỉ số diện tích của tứ giác MBPKDH và diện tích của tứ giác ABCD. Hãy suy nghĩ, với bất kỳ mối quan hệ nào AM với MB, BP với PC và ma, bạn có thể giải được bài toán này không?

Lưu ý: Vẽ đường chéo và sử dụng A3.

17. Trong một tứ giác lồi, trung điểm của một trăm cạnh liền kề