[Trích sách “Khám phá toán học”]

67

Về cuốn sách “Khám phá toán học” của Polya

Độc giả nước ta đã biết đến tác giả cuốn sách này từ lâu. Trở lại năm 1937-1938. Ông cùng với G. Szege đã xuất bản hai tập “Bài toán và các định lý từ phân tích”, năm 1957 - “Toán học và lý luận hợp lý”, năm 1961 - “Cách giải bài toán”.
Trong lời nói đầu của cuốn sách cuối cùng, D. Poya đã viết: “Một khám phá khoa học quan trọng mang lại lời giải một vấn đề lớn, nhưng trong lời giải bất kỳ bài toán nào cũng có những hạt khám phá.” Và xa hơn nữa: “Tác giả đôi khi đặt mình vào vị trí của một học sinh, đôi khi ở vị trí của một học sinh… tác giả lập luận dưới góc nhìn của một người không phải là giáo viên cũng không phải là học sinh mà chỉ đơn giản là quan tâm đến lời giải đứng trước mặt mình bài toán.” “Người thứ ba” này tất nhiên chính là tác giả, một nhà khoa học, nhà toán học nổi tiếng. Đối với việc anh thể hiện “bán thời gian” hai vai còn lại được đề cập, có vẻ như đây không chỉ là một phát hiện thành công về mặt văn học và sư phạm. “Công việc bán thời gian” như vậy là thành phần quan trọng nhất trong cương lĩnh sáng tạo của György Pólya, điều mà ông tuyên bố với sự kiên định hiếm có.
Trong cuốn sách “Khám phá toán học”, Pólya tiếp tục và phát triển những suy nghĩ được thể hiện trong những cuốn sách trước đó (mặc dù không cuốn nào trong số chúng yêu cầu kiến ​​thức trước về những cuốn khác - đây là lúc kỹ năng sư phạm của tác giả phát huy tác dụng). Đúng như những nguyên tắc của mình, Polya không nói nhiều về lời giải bài toán mà chỉ cho thấy cách thực hiện nó. Và tất nhiên, anh ấy mời bạn đi theo anh ấy. Và rồi đi trên một con đường riêng. “Lời giải bài toán là một nghệ thuật thực tế như bơi lội, trượt băng hoặc chơi piano; Bạn có thể học nó chỉ bằng cách bắt chước tốt và luyện tập liên tục. Và trong cuốn sách này, bạn sẽ không tìm thấy chiếc chìa khóa thần kỳ nào có thể mở được mọi cánh cửa, nó sẽ không dạy bạn cách giải quyết mọi thứ bài toán, nhưng nó mang đến cho bạn nhiều hình mẫu tốt và cơ hội tiếp nhận cũng như cơ hội tiếp nhận và cơ hội tiếp nhận.”
Nhưng hãy nhớ: nếu bạn muốn học bơi thì hãy mạnh dạn xuống nước, còn nếu bạn muốn học cách giải bài toán thì hãy giải chúng!. Cuốn sách được viết theo đúng nghĩa đen với những vấn đề thú vị và những ý tưởng không kém phần thú vị dành cho lời giải của họ. Không cần phải nói, sẽ rất hấp dẫn khi cố gắng nhượng bộ lời giải ít nhất một số ý tưởng về những mặt sau này. Nhưng một nỗ lực như vậy sẽ ngay lập tức làm hỏng cuốn sách và do đó làm sai lệch ý tưởng của toàn bộ cuốn sách. Sau buổi học, nội dung của một cuốn tiểu thuyết, thậm chí là một cuốn rất dài, có thể được kể lại trong năm, mười trang. Thế còn một tuyển tập hàng ngàn bài thơ nhỏ thì sao? Mang lại toàn bộ mười tốt nhất? Hai chục? Nếu mọi thứ đều ổn thì sao? Và ai có thể đảm bảo tính khách quan của sự lựa chọn?
Hiện tại, chúng tôi sẽ hạn chế in lại, không có bất kỳ thay đổi nào, không có bất kỳ chữ viết tắt nào và không có bất kỳ nhận xét nào, một đoạn trong cuốn sách của Polya. Chúng tôi không cho rằng đây là đoạn văn hay nhất. Hoặc có lẽ là điển hình nhất. Chúng tôi thực sự thích anh ấy. Và anh ấy thực sự muốn người đọc theo đuổi anh ấy. Và nếu sau này bản thân anh ấy tìm thấy điều gì đó trong cuốn sách mà anh ấy thích hơn thì cũng không thành vấn đề. Trong mọi trường hợp, điều cuối cùng mà bản thân Polia muốn làm là tận dụng sở thích nhất trí và đồng nhất của mình. Không có gì tốt trong việc này.
Hiểu rõ rằng việc liệt kê đơn giản tên các chương của Polya có thể khiến người đọc quen thuộc hơn cả tiêu đề trực quan của nó, tuy nhiên, chúng tôi (và có lẽ chính xác là vì lý do này) sẽ không phủ nhận sự hài lòng này: “Phương pháp hai vị trí hình học”, “Phương pháp Descartes”, “Đệ quy”, “Siêu bán lẻ”, “Về vấn đề”, “Mở rộng phạm vi của phương pháp”, “Biểu diễn hình học của quy trình lời giải”, “Kế hoạch và chương trình”, “Bài toán bên trong bài toán”, “Tạo ý tưởng”, “Công việc trí óc”, “Kỷ luật của trí óc”, “Quy luật khám phá”, “Về học tập, dạy và học cách dạy”, “Phỏng đoán và phương pháp khoa học”.
Chà, không phải mọi thứ đều rõ ràng ở đây sao? Đừng bận tâm, điều này có nghĩa là đã đến lúc bạn phải chấp nhận nó như một “Khám phá toán học”. (Đừng quên chuẩn bị sẵn giấy và bút chì!) Và nếu bạn chưa có cuốn sách này, hãy đọc ít nhất tấm bưu thiếp tiếp theo từ cuốn sách đó trước.

---

Tôi sẽ cho phép mình phấn khích và thử làm một thử nghiệm nhỏ với độc giả. Tôi đang tóm tắt về

68

Tôi sẽ thử, nhưng không quá rườm rà, hình học bài toán, và sau đó tôi sẽ cố gắng tạo lại chuỗi ý tưởng dẫn đến bằng chứng của nó. Tôi định tiến về phía trước một cách chậm rãi, rất chậm rãi, lần lượt đưa ra những bí mật liên tiếp, và không đưa ra từng bí mật này ngay lập tức mà dần dần. Tôi hy vọng rằng trước khi câu chuyện hoàn thành, người đọc sẽ có thể nắm bắt được ý chính, tất nhiên trừ khi có điều gì đó cản trở nó, và vì ý tưởng này sẽ hơi bất ngờ nên người đọc sẽ có thể cảm thấy hài lòng với khám phá nhỏ của mình.

A. Nếu một đường tròn có cùng bán kính đi qua một điểm thì đường tròn đi qua ba điểm còn lại là giao điểm của chúng cũng có cùng bán kính.

Đây chính là định lý mà chúng ta cần chứng minh. Phát biểu của định lý ngắn gọn và rõ ràng nhưng dường như lại thiếu chi tiết. Sau khi vẽ (Hình 1) và giới thiệu các ký hiệu phù hợp, chúng ta có được phiên bản chi tiết hơn sau đây bài toán:

B. Ba đường tròn $k, l, m$ có cùng bán kính $r$ đi qua điểm $O$. Các đường tròn $l$ và $m$ cắt nhau tại điểm $A$, $m$ và $k$ tại điểm $B$, $k$ và $l$ tại điểm $C$. Ta cần chứng minh bán kính đường tròn $e$ đi qua các điểm $A$, $B$ và $C$ cũng là $r$.

Hình 1 cho thấy bốn bốn vòng tròn $k, l, m$ và $e$ và bốn giao điểm của chúng. Tuy nhiên, con số này có vẻ không đạt yêu cầu, vì nó không đơn giản và đồng thời chưa đầy đủ; một vẻ ngoài được tạo ra là thiếu một cái gì đó; có vẻ như điều gì đó thiết yếu đã không được tính đến.

Bây giờ chúng ta đang xử lý các vòng tròn. Một vòng tròn là gì? Bất kỳ vòng tròn nào được xác định bởi vị trí tâm của nó và kích thước bán kính của nó:

Cơm. 1.

Vui lòng kết nối posmota của mỗi trung tâm trong số ba trung tâm với cả ba điểm giao nhau thuộc vòng tròn tương ứng: $K$ với $B$, $C$ và $O$, v.v.

Con số nhận (Hình 2) hóa ra lại bị quá tải một cách đáng lo ngại. Có rất nhiều đường nét trên đó - thẳng và cong - đến mức nó phải được “mắt nhìn nhận” một cách thích hợp; nó “không muốn đứng yên.” Hình vẽ này có thể lấp đầy một số hình vẽ quen thuộc với chúng ta từ các tạp chí cũ - một hình vẽ như vậy chứa đầy những điều không xác định: nếu bạn nhìn nó như bình thường, thì sẽ thấy một hình vẽ trên đó; nếu bạn xoay tạp chí, đặt nó ở một vị trí được chọn đặc biệt và xem xét những điều sau: tất cả các điểm của vòng tròn đều có cùng khoảng cách (và bằng bán kính) tính từ tâm. Nhưng chúng tôi đã xem xét bán kính $r$ này chung cho cả bốn đường tròn; do đó, chúng tôi đã không tính đến điều kiện hiện tại. Do đó, trước hết chúng ta hãy biểu thị tâm của các vòng tròn của chúng ta: $K$ cho vòng tròn $k$, $L$ cho vòng tròn $l$ và $M$ cho vòng tròn $m$. Đâu là nơi tốt nhất để vẽ bán kính $r$? Rõ ràng, không có ích gì khi ưu tiên cho bất kỳ một trong ba vòng tròn nhất định $k$, $l$ và $m$ hoặc bất kỳ một trong ba điểm giao nhau của chúng $A$, $B$ và $C$.

Cơm. 2.

chìm ở một góc nào đó, rồi đột nhiên một nhân vật khác xuất hiện, ra lệnh cho bạn như một lời bình luận ít nhiều dí dỏm về người đầu tiên. Bạn có thể nhận ra trong hình vẽ lộn xộn của chúng ta, quá tải với các đường thẳng và hình tròn, một số hình khác có thể hữu ích cho các hình vẽ của chúng ta không?

Chúng ta có thể tấn công hình vẽ mà chúng ta cần, ẩn sau những đường nét đan xen trong bản vẽ chứa quá nhiều chi tiết của chúng ta hoặc nhận ra nó dần dần. Chúng ta có thể đạt được con số mong muốn nhờ các điều kiện mà chúng ta đảm bảo cho lời giải được đề xuất bài toán hoặc bởi một số trường hợp thứ yếu, không đáng kể. Vì vậy, chẳng hạn, khi chúng ta bận vẽ lại hình không hoàn hảo của mình, chúng ta có thể nhận thấy rằng toàn bộ hình được xác định hoàn toàn bởi phần “đường thẳng” (bao gồm các đoạn) là một phần của nó (Hình 3).

Hoàn cảnh cuối cùng của mỗi trường hợp đều quan trọng đối với chúng tôi. Nó đơn giản hóa đáng kể hình dạng của bản vẽ và có lẽ làm rõ cấu trúc logic của della. Và nó dẫn đến công thức sửa đổi sau đây của định lý của chúng tôi:

B. Nếu đoạn nào trong chín đoạn
$KO, KC, KB$
$LC, LO, LA$
$MB, MA, MO$

paesen $r$, thì có một điểm $E$ châm ngôn, đoạn nào?

REZKOV
EA, EB, EC
cũng sẽ bằng r.
Tuyên bố cuối cùng này khiến chúng ta chú ý đến Hình 3. Con số này có phần đáng chú ý; nó nhắc nhở chúng ta về một cái gì đó quen thuộc. (Chính xác thì sao?)

Cơm. 3.

Tất nhiên, đối với bất kỳ tứ giác nào được hiển thị trong Hình 3, ví dụ như tứ giác OLAM, cả bốn cạnh đều bằng nhau, nghĩa là các tứ giác này là hình thoi.

Hình thoi là một hình ảnh quen thuộc với chúng ta; Bằng cách làm nổi bật nó trong tâm trí trong bản vẽ, chúng ta có thể “nhìn” toàn bộ hình rõ hơn. (Hình ảnh này gợi cho bạn nhớ đến điều gì?)

Các cạnh đối diện của hình thoi thì song song. Dựa trên tình huống này, có thể chia 9 đoạn tạo nên hình vẽ trên Hình 3 thành ba nhóm,

mỗi trong số đó chỉ bao gồm các phân đoạn song song với nhau; ví dụ: thành một trong các nhóm phân đoạn AL, MO và BK. (Hình ảnh này có thể nhắc nhở chúng ta điều gì bây giờ?)

Chúng ta không được quên mục tiêu mà mình đang phấn đấu. Giả sử rằng kết luận của định lý của chúng ta là đúng. Bằng cách vẽ tâm E của đường tròn e và ba bán kính của nó, kết thúc tại các điểm A, B và C (Hình 4), chúng ta (có lẽ) thu được các hình thoi mới, các đoạn song song mới. (Toàn bộ hình ảnh này nhắc nhở chúng ta điều gì?)

Tất nhiên, Hình 4 là hình chiếu

Cơm. 4.

12 cạnh của một hình song song được sắp xếp sao cho tất cả các hình chiếu này có cùng chiều dài.

Hình 3 là hình chiếu của một “hình song song mờ đục”: chúng ta chỉ nhìn thấy 3 mặt, 7 đỉnh và 9 cạnh của nó, trong khi không nhìn thấy 3 mặt, 1 đỉnh và 3 cạnh trong hình. Bản vẽ này là một phần của Hình 4, nhưng nó là phần xác định toàn bộ hình mà chúng ta quan tâm. Nếu hướng song song và hướng chiếu được thiết kế sao cho hình chiếu của chín cạnh như trong Hình 3 bằng r (tức là chúng phải như thế nào theo điều kiện bài toán), thì hình chiếu của ba cạnh còn lại cũng phải bằng r. Ba đoạn có chiều dài xuất phát từ hình chiếu E của đỉnh thứ tám, vô hình và bản thân hình chiếu này là tâm của một đường tròn đi qua các điểm A, B và C, bán kính của chúng bằng r.

Định lý của chúng tôi đã được chứng minh và nó được chứng minh với sự trợ giúp của một ý tưởng khéo léo bất ngờ, bao gồm việc chúng ta coi một hình phẳng là hình chiếu của một hình không gian.

(Bằng chứng này sử dụng các khái niệm lập thể. Đối với tôi, có vẻ như vấn đề ở đây không lớn, đặc biệt là vì nó có thể dễ dàng sửa chữa. Trên thực tế, vì bây giờ chúng ta biết rằng vị trí của tâm E có thể được đặc trưng bởi trọng số của số nguyên tố, nên độ dài của các đoạn EA, EB và EC có thể được rút gọn về khoảng cách mà không cần dùng đến bất kỳ phép đo lập thể nào. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không nhấn mạnh vào quan điểm này ở đây.)

M. L. Smolyansky,
Yu. A. Gastev