Kim tự tháp và hình cầu

60

Trong các kỳ thi ứng dụng tại các viện, thường gặp phải bài toán, trong đó người ta quyết định vị trí nào đó của một hình cầu (hoặc một số hình cầu) so với các tham số. Lời giải trong số bài toán này về cơ bản dựa trên ba sự kiện sau:

1. nếu một mặt phẳng (hoặc đường thẳng) tiếp xúc với một hình cầu thì xét từ tâm hình cầu đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) này bằng bán kính của hình cầu;
2. nếu một hình cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng cắt nhau thì tâm của hình cầu nằm trên mặt phẳng phân giác của một diện tích hai chiều được tạo bởi các mặt phẳng thực nghiệm;
3. nếu tham số được mô tả xung quanh một hình cầu thì

$$V = \frac{1}{3} rS,$$

(1)

food $r$ là bán kính của hình cầu, $V$ và $S$ là thể tích và tổng các thông số bề mặt.

Những sự thật này đều được mọi học sinh trong khóa học toán ở trường biết đến. Nhưng trong toán học, chỉ biết công thức của các định lý là chưa đủ - điều quan trọng là phải hiểu những định lý này và có thể áp dụng chúng cho lời giải bài toán.

Theo quy định, bài toán được đưa ra trong các kỳ thi tuyển sinh được xây dựng đơn giản và hầu hết người đăng ký đều nhanh chóng tìm ra cách để đạt được lời giải. Nhưng thường thì phương pháp được chọn lại rất phức tạp và cồng kềnh, đòi hỏi phải tính toán lâu dài. Vì vậy, rất khó để có được kết quả cuối cùng hoàn chỉnh. Với mỗi bài toán bạn cần phải xếp hàng để tìm ra lời giải ngắn nhất và “thanh lịch” nhất.

Đôi khi, trong phần thi vấn đáp, thí sinh không được yêu cầu giải bài toán mà chỉ chỉ ra đường dẫn lời giải, qua đó kiểm tra xem thí sinh được định hướng tốt như thế nào trong phần lý thuyết này.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét bài toán, trong đó việc sử dụng một số thông điệp hình học giúp tìm ra lời giải đơn giản và đẹp mắt.

Nhiệm vụ 1 (MIPT, 1966). Bên trong một khối trung diện đều có cạnh của một tam giác có bốn mặt cầu bằng nhau sao cho mỗi mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu khác và ba mặt của khối trung diện đó. Tên của những quả cầu này.

Lời giải. Giả sử $ABCD$ là một tứ diện cho trước, $O$ tâm của một hình cầu bên trong nó, $r$ bán kính của hình cầu này; $M, N, K, L$ là các trung tâm dữ liệu của hình cầu, bán kính của chúng sẽ được ký hiệu là $x$.

Tứ diện $MNKL$ đúng vì mỗi cạnh của nó bằng $2x$. Các mặt của tứ diện $MNKL$ song song với các mặt của tứ diện $ABCD$ (chứng minh điều đó!), và điểm $O$ cách xa mỗi mặt của tứ diện $MNKL$ một khoảng $r-x$. Do đó, điểm $O$ là tâm của hình cầu nội tiếp trong tứ diện

62

Cơm. 3.

Lời giải. Đặt $P$ và $P_1$ là tâm của paramid bị cắt cụt chính, $DD_1$ trung điểm của nó (Hình 3). Chúng ta hãy biểu thị các cạnh chính bằng $x$ và $y$. Từ hình thang $AA_1D_1D$ là

$$DD_1^2 = b^2 - \frac{1}{4}(x - y)^2.$$

Hình cầu được mô tả trong paramid chạm vào paramid chính tại các điểm $P$, $P_1$ và chạm vào trung điểm $DD_1$ (chứng minh đi!). Kể từ đây,

$$DD_1 = PD + P_1D_1 = \frac{x + y}{2\sqrt{3}},$$

Ở đâu

$$b^2 - \frac{1}{4}(x - y)^2 = \frac{1}{12}(x + y)^2. \quad (2)$$

Trong phần hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của paramid, mặt $BB_1C_1C$ hóa ra là một hình tròn được bao quanh bởi hình thang $BB_1C_1C$. Vì vậy, $BC + B_1C_1 = BB_1 + CC_1$,

$$x + y = 2b. \quad (3)$$

Giải hệ phương trình (2) và (3), ta tìm được

$$x = b\left(1 + \sqrt{\frac{2}{3}}\right),$$

$$y = b\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right).$$

Nhiệm vụ 5 (MIPT, 1968). Đánh giá cao hình cầu được mô tả xung quanh paramid tứ giác đều,

62

Cơm. 4.

Chúng ta đang ở khoảng cách $a$ tính từ mặt bên $u$ ở khoảng cách $b$ tính từ cạnh bên. Tìm bán kính của hình cầu.

Lời giải. Đặt $O$ là tâm của hình cầu được mô tả gần paramid $SABCD$ (Hình 4), $OS = OA = R$ bán kính của hình cầu này, $SK$ chiều cao của paramid. Hãy thực hiện $SL \perp BC$, $OM \perp SL$, $ON \perp AS$. Theo điều kiện bài toán $OM = a$, $ON = b$ (chứng minh đi!).

Vì $\triangle SOM \sim \triangle SKL$ và $\triangle SON \sim \triangle ASK$ thì

$$\frac{a}{\sqrt{R^2 - a^2}} = \frac{KL}{SK},$$

$$\frac{b}{\sqrt{R^2 - b^2}} = \frac{AK}{SK} = \frac{\sqrt{2}KL}{SK}.$$

Từ đây chúng ta tìm thấy

$$\frac{b}{\sqrt{R^2 - b^2}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{R^2 - a^2}},$$

$$R = \frac{ab}{\sqrt{2a^2 - b^2}}.$$

Nhiệm vụ 6 (MIPT, 1971). Trong một paramid hình tam giác đều $ABCD$, cạnh của đáy $ABC$ là $b$ và chiều cao của paramid là $b\sqrt{2}$. Quả cầu được mô tả trong paramida chạm vào mặt $ACD$ tại điểm $K$. Tìm diện tích mặt cắt ngang của paramid bằng mặt phẳng đi qua điểm $K$ và cạnh $AB$.

Lời giải. Đặt $DO$ là chiều cao của paramid (Hình 5). Điểm $K$ nằm trên

64

trà $EL^2 = KL^2 + KE^2 = a^2 + \frac{1}{3} y^2 + z^2 - ay - az$.

Bây giờ từ tam giác vuông $EFL$ ta tìm được $EF^2 = FL^2 + EL^2$, tức là
$$x^2 = a^2 - y(a - y) - z(a - z).$$

Bản thân sự tương ứng cuối cùng khá thú vị và có thể được sử dụng cho lời giải khác bài toán.

Xét mặt phẳng đi qua các đường thẳng $EF$ và $CD$. Mặt phẳng này cắt hình cầu ngoại tiếp tam giác dọc theo một đường tròn, được chỉ ra trong Hình 6. Đối với đường tròn này, các đoạn $MN$ và $CD$ là các dây giao nhau tại điểm $F$. Kể từ đây,
$$CF \cdot DF = MF \cdot NF$$
(chứng minh điều đó!), đó là
$$y(a - y) = \frac{5}{12} x^2.$$

Tương tự, từ đẳng thức
$$AE \cdot BE = ME \cdot NE$$
chúng tôi nhận được
$$z(a - z) = \frac{1}{3} x^2.$$

Từ sự tương ứng (4), (5) và (6) chúng tôi tìm thấy
$$x^2 = a^2 - \frac{5}{12} x^2 - \frac{1}{3} x^2, \quad x = \frac{2a}{\sqrt{7}}.$$

Bài tập

1. (MIPT, 1966). Cạnh của một tam giác đều $ABCD$ bằng $a$. Một hình cầu được tạo trên cạnh $AB$ giống như trên đường kính. Tìm bán kính của hình cầu nội tiếp góc tam giác của tam giác với đỉnh tại điểm $A$ và tiếp xúc với hình cầu đã dựng.

2. (MIPT, 1966). Bên trong một paramit hình tam giác đều $SABC$, cạnh đáy là $a$, chiều cao của paramit là $a\sqrt{3}$. Điểm $M, N$ và $K$ là trung điểm của các cạnh bên tương ứng $AS, BS$ và $CS$. Tìm bán kính của hình cầu tiếp xúc với đáy của paramit và các đường thẳng $AK, CN$ và $BM$.

3. (MIPT, 1967). Trong một paramid tam giác đều, hình cầu nội tiếp đi qua tâm của hình tròn ngoại tiếp. Bán kính hình cầu ngoại tiếp lớn hơn bán kính hình cầu ngoại tiếp bao nhiêu lần?

4. (MIPT, 1968). Tâm của một quả bóng nội tiếp trong một paramit tứ giác đều cách cạnh bên một khoảng $\sqrt{2}cm$ và cách một khoảng $\sqrt{5}cm$ tính từ cạnh của đế. Tìm bán kính của quả bóng.

5. (MIPT, 1968). Tâm của một quả bóng nội tiếp trong một paramit tứ giác đều cách cạnh bên một khoảng $\sqrt{2}cm$ và cách một khoảng $\sqrt{5}cm$ tính từ cạnh của đế. Tìm bán kính của quả bóng.

6. (MIPT, 1969). Cạnh của một tam giác đều $ABCD$ bằng $a$. Tìm bán kính của hình cầu đi qua các đỉnh $A, B$, trung điểm của cạnh $CD$ và tâm của mặt $ABC$.

7. (MIPT, 1971). Trong một paramid tứ giác đều $SABC$, cạnh của đáy $ABCD$ là $b$ và chiều cao của paramid là $b\sqrt{2}$. Quả cầu nội tiếp trong paramit này chạm vào mặt bên $SAD$ tại điểm $K$. Tìm diện tích mặt cắt ngang của paramit bằng một mặt phẳng đi qua điểm $K$ và cạnh $AB$.

Đến nhiệm vụ M86.

Tuyên bố trở thành sai. Bên trái có bốn góc, bên phải có năm góc.