Bài toán M126—M130; F138—F142

Kvant 1972, số 2 tr. 42, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 Thẻ WGXG

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bài toán

Lời giải bài toán từ “Sách Vấn đề của Kwan” có thể được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tương ứng của tạp chí. Trên phong bì, sau địa chỉ tạp chí, cho biết lời giải bạn đang gửi bài toán nào (ví dụ: “Sách Vấn đề Kwan” M126, F128). Ở phần đầu của bức thư, hãy cho biết họ, tên, họ hàng, mã bưu chính gồm sáu chữ số và địa chỉ của bạn (cũng như lớp và trường nơi bạn là giáo viên). Lời giải của mỗi bài toán phải được viết trên (các) tờ riêng; Ở cuối mỗi lời giải, hãy viết họ của bạn. Dấu sao bài toán để tăng độ khó.

M126. Một đa giác ngoại tiếp một hình tròn có bán kính $r$ bằng cách nào đó được cắt thành các hình tam giác. Chứng minh rằng tổng bán kính các đường tròn nội tiếp của các tam giác này lớn hơn $r$ .

I. D. Novikov

M127. Đối với mỗi số tự nhiên $n$ chúng ta biểu thị bằng $s(n)$ tổng các chữ số của nó (theo ký hiệu thập phân). Hãy gọi một số tự nhiên $m$ là đặc biệt nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng $m=n+s(n)$ , trong đó $n$ là một số tự nhiên nào đó. (Ví dụ: số 117 không đặc biệt vì $117=108+s(108)=108+9$ , nhưng số 121, như bạn có thể dễ dàng thấy, là đặc biệt.) Có đúng là chỉ có hữu hạn số đặc biệt không?

M128. Tìm tỉ số các cạnh của một tam giác mà một trong các đường trung tuyến của nó bị đường tròn nội tiếp chia thành ba phần bằng nhau.

M129. a) 12 $n$ sữa được đổ vào xô. Làm thế nào, chỉ sử dụng bình 5 và 7 $n$ , để chia sữa thành hai phần bằng nhau?

- Giải tổng quát bài toán: để tìm $a$ và $b$ , chúng ta có thể chia $(a+b)n$ sữa làm đôi, chỉ sử dụng máy ép trái cây ở $a$ $n$ , $b$ $n$ và $(a+b)n$ ?*.

V. V. Ushchkov

M130. Số điểm tối đa có thể được đặt là bao nhiêu?
a) trên máy bay;
b) * trong không gian, sao cho không có tam giác nào có đỉnh tại các điểm này là tù?

G. A. Galperin

F138. Một phi hành gia có khối lượng 100 kg ở bên ngoài một tàu vũ trụ có khối lượng 5 $m$ , trên một dây treo dài 64 $m$ . Tìm lực căng của dây treo nếu con tàu nằm giữa phi hành gia và Trái đất trên đường nối trọng tâm của họ.

Khi tính toán, giả sử tàu chuyển động theo quỹ đạo tròn, độ cao của lớp vỏ $h$ tính từ bề mặt Trái đất không đáng kể so với bán kính Trái đất ( $R=6400$ km).

*) Trong một lần truyền từ bình này sang bình khác, bạn có thể đổ hết mọi thứ có trong đó hoặc đổ đầy bình thứ hai lên trên.

F139. Cầu thủ bóng đá đánh bóng, tạo cho nó tốc độ $v$ theo một góc $\alpha$ so với đường chân trời và chạm vào góc gần dưới cùng. Nếu một cầu thủ bóng đá đánh bóng vào cùng một vị trí trên sân bóng và quả bóng bay cùng một góc so với đường chân trời, nhưng với tốc độ lớn hơn tốc độ $v$ 5% thì nó sẽ chạm vào đầu cột dọc. Tìm tốc độ mà quả bóng bắt đầu chuyển động nếu độ cao của vòng quay là $h=2\text{ m}$ và góc quay là $\alpha=30^\circ$ .

Tôi. Sh. Slobodechkiy

F140. Liệu các phong vũ biểu khác có cho kết quả chính xác về chất lượng không nếu một phần ống của nó (dưới mức thủy ngân trong đó) được làm bằng cao su rất mềm?

F141. Ba sợi dây được lấy ra khỏi “hộp đen” chứa một mạch điện không xác định. Hai trong số chúng được nối đất rồi nối đất, vẽ đồ thị cho ba phương án khả thi để bật mạch. Các đồ thị này được hiển thị trong Hình 1. Dòng điện được coi là dương nếu nó đi vào mạch điện nằm trong hộp, còn ngược lại thì âm. Hãy nghĩ ra những sơ đồ đơn giản nhất về nội dung của “hộp đen” và xác định các thông số của chúng.

B. B. Bukhovtsev

F142. Một quả cầu thép treo trên một sợi dây có chiều dài $l$ bị lệch làm cho sợi dây chuyển sang vị trí nằm ngang và được thả ra. Tại thời điểm sợi chỉ tạo một góc $\alpha-30^\circ$ với phương thẳng đứng thì quả bóng chạm vào một tấm thép đứng yên (Hình 2). Quả bóng sẽ bay lên đến độ cao bao nhiêu sau khi chạm vào tấm, nếu tác động có thể được coi là đàn hồi tuyệt đối?

G. L. Komkin

Cơm. 1.

đường thẳng $l_1$ sao cho trùng với $l_2$ ( $0^\circ < l_1 < l_2 < 180^\circ$ ). Nếu các đường $l_1$ và $l_2$ song song hoặc trùng nhau, thì theo định nghĩa, $\Rightarrow (l_1, l_2) = 0$ . Xác minh rằng đối với hai điểm bất kỳ $U$ và $V$ và một góc cho trước $\alpha$ ( $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ ), tập hợp các điểm $X$ mà $\Rightarrow (UX, VX) = \alpha$ sẽ được làm tròn (nói đúng ra, loại trừ chính các điểm $U$ và $V$ ); nói cách khác, những điểm nào $U, V, X_1$ và $X_2$ nằm trên cùng một đường tròn moeda và mokomoeda, koeda $\Rightarrow (UX_1, VX_1) = \Rightarrow (UX_2, VX_2) \neq 0$ (Hình 3, a; so sánh hình 3, a và 3, b giải thích ưu điểm của phương pháp xác định góc mới).

Hãy quay trở lại bài toán của chúng tôi. Bây giờ phát biểu rằng năm điểm $C, N, P', S, R'$ nằm trên cùng một đường tròn (do đó có kết quả như sau)

Cơm. 2.

các cú đánh $R'$ trùng với $S$ ) suy ra từ các đẳng thức

$\Rightarrow (CS, NS) = \Rightarrow (Q'Q, NQ) =$
$= \Rightarrow (Q'P', NP') = \Rightarrow (CP', NP')$ ;
$\Rightarrow (CR', P'R') = \Rightarrow (MM', P'M') =$
$= \Rightarrow (MN, P'N) = \Rightarrow (CN, P'N)$ .

Những đẳng thức này rất dễ kiểm tra một cách hình thức mà không cần dựa vào hình vẽ - bạn chỉ cần nhớ điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng và điểm nào nằm trên cùng một đường tròn; Ngoài định lý in nghiêng ở trên còn dùng $Q'Q \parallel MM' \parallel l$ . (Tất nhiên, chúng ta vẫn cần phân tích các trường hợp “được biểu thị” khi hai điểm bất kỳ xác định đường thẳng trong các đẳng thức này trùng nhau; chúng đều khá rõ ràng và chúng ta sẽ không làm như vậy)

Cơm. 3. Các đường màu xanh lam hiển thị tập hợp các điểm: a) $(UX, VX) = \alpha$ (hình bên trái) và b) $UXV = \alpha$ (hình bên phải).

Cơm. 4. Một công thức khác của bài toán M84: nhờ ba ánh xạ hiển thị trong hình, từ điểm $X$ chúng ta thu được $Y = f(X)$ ; nếu bạn làm tương tự cho điểm $Y$ , thì kết quả là $f[Y] = X$ .

Hãy tập trung vào chúng.) Bây giờ bài toán đã hoàn toàn được giải quyết.

Hãy đưa ra một công thức khác, tự nhiên hơn cho bài toán này (hãy nghĩ tại sao nó lại giống bài toán!).

Đặt $P$ và $N$ là hai điểm phân biệt của một đường tròn có tâm $O$ ; $A$ là đáy của đường vuông góc thả từ điểm $O$ đến đường thẳng đã cho $l$ và $f$ là ánh xạ gán cho từng điểm $X$ đường thẳng $l$ điểm $f(X)$ của cùng một đường thẳng theo quy tắc sau: nếu $X'$ là giao điểm của đường thẳng $PX$ với đường tròn, $X''$ là giao điểm của đường thẳng $NX'$ với $l$ thì $f(X)$ là điểm đối xứng với $X''$ so với $A$ . thì ánh xạ $f$ trùng với nghịch đảo của nó, tức là $f(f(X))=X$ cho tất cả $X$ (Hình 4).

Đối với những người đã quen với các khái niệm cơ bản về hình học dự án, chúng tôi khuyên bạn nên cố gắng tìm một bằng chứng “phép chiếu” đơn giản cho định lý này (lưu ý rằng ngay cả trong công thức của nó, cần phải xem xét $l$ một đường mở rộng, nghĩa là thêm một điểm từ xa vô hạn vào $l$ - khi đó các ánh xạ được đề cập sẽ là một đối một). Đối với trường hợp đặc biệt lời giải được đưa ra trong cuốn sách “Biến đổi hình học” của I.M. Yaglom (GITTL, 1956; phần II, bài toán 177), nhưng nó chỉ xảy ra trong trường hợp đường thẳng $l$ cắt đường tròn và sử dụng công thức “quan hệ kép”. Một kế hoạch cho lời giải khác, “không cần tính toán,” xuất hiện trên trang 71 của số tạp chí này.

N. B. Vasiliev

M86

Đáy hộp hình chữ nhật được làm bằng các viên gạch có kích thước $2 \times 2$ và $1 \times 4$ . Các viên gạch bị đổ ra khỏi hộp và trong quá trình đó đã làm mất một viên gạch $2 \times 2$ . Thay vào đó, hãy xóa ô $1 \times 4$ . Chứng minh rằng bây giờ không thể phủ kín cái hộp bằng những viên gạch được.

Hãy tính hộp thành các hình vuông có kích thước $1 \times 1$ và đánh dấu những hình vuông nằm ở vị trí lẻ trong các con lợn lẻ (xem Hình 5). Lưu ý rằng mỗi ô $1 \times 4$ bao gồm bốn ô vuông ở dưới cùng của hộp sẽ

Cơm. 5

Cơm. 6.

Cơm. 7.

Cần phải che một số ô vuông chẵn mà chúng ta đã dịch chuyển (hai hoặc không có ô nào) và ô $2 \times 2$ luôn bao phủ chính xác một ô vuông bị dịch chuyển. Do đó, nếu các ô được phủ hoàn toàn vào hộp thì số ô $2 \times 2$ có cùng số chẵn lẻ với tổng số ô vuông bù trừ ở đáy hộp. Do đó, nếu số ô $2 \times 2$ đã thay đổi một (hoặc thậm chí là một số lẻ), thì việc điền lại vào ô sẽ không thể thực hiện được.

Hãy suy nghĩ xem liệu tuyên bố bài toán có còn đúng hay không nếu thay vì các ô $1 \times 4$ và $2 \times 2$ (Hình 6), các ô có ba hình vuông được xem xét: hình chữ nhật $1 \times 3$ và các “góc” (Hình 7). Bạn sẽ tìm thấy Lời giải trong số bài toán này ở cuối tạp chí, trên trang 64, nhưng đừng vội đặt nó ở đó!

lời giải chính xác trong số bài toán của chúng tôi được gửi bởi A. Gritsoryan và E. Karasik từ Baku, E. Turkevich từ Chernivtsi, A. Chernyak từ Minsk và A. Shamaev từ Moscow.

L. G. Limanov

M87

Chứng minh rằng nếu ba đường tròn có cùng bán kính đi qua một điểm thì ba điểm giao nhau từng cặp còn lại của các đường tròn này nằm trên đường tròn có cùng bán kính.

Cho cả ba đường tròn bán kính $r$ có tâm $O_1, O_2$ và $O_3$ cắt nhau tại điểm $A$ , ngoài ra, cắt nhau theo cặp tại các điểm $B_1$ ( $O_2$ và $O_3$ ), $B_2$ ( $O_3$ và $O_1$ ) và $B_3$ ( $O_1$ và $O_2$ ). Rõ ràng trung điểm $C_1, C_2, C_3$ của các đoạn $AB_1, AB_2, AB_3$ đồng thời là trung điểm của các đoạn $O_2O_3, O_3O_1, O_1O_2$ của đoạn tương ứng (Hình 8). Do đó, mỗi tam giác $B_1B_2B_3$ và $O_1O_2O_3$ có cạnh lớn gấp đôi cạnh của tam giác $C_1C_2C_3$ (và song song với chúng). Vì vậy, $\triangle B_1B_2B_3 = \triangle O_1O_2O_3$ . Nhưng rõ ràng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $O_1O_2O_3$ bằng $r$ (thật vậy,

Cơm. 8.

Cơm. 9.

$AO_1 = AO_2 = AO_3 = r$ , do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $B_1B_2B_3$ cũng bằng $r$ , đây là điều cần chứng minh.

Nhiều độc giả đã chứng minh rằng các tam giác $B_1B_2B_3$ và $O_1O_2O_3$ bằng nhau theo một cách phức tạp hơn, trong đó cần phải xem xét riêng các trường hợp khác nhau về vị trí tương đối của các tam giác này (trong lời giải của chúng tôi, chúng tôi đã cố tình không đề cập đến hình vẽ tất cả các đoạn được đề cập ở đó, để nhấn mạnh rằng nó không phụ thuộc vào vị trí của chúng). Lời giải, hoàn toàn giống với của chúng ta, có thể thu được bằng cách xem xét tam giác với nhau

$C_1C_2C_3$ tam giác $D_1D_2D_3$ , trong đó $D_1, D_2, D_3$ lần lượt là các điểm đối xứng đường kính $A$ trong đường tròn $O_1, O_2$ và $O_3$ ; chứng minh rằng $B_1, B_2$ và $B_3$ là trung điểm của tam giác $D_1D_2D_3$ . Trong cấu hình mà chúng tôi nhận được (Hình 9), điều thú vị là điểm $A$ là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $O_1O_2O_3$ và $D_1D_2D_3$ , đồng thời là điểm giao nhau của các đường cao của các tam giác $B_1B_2B_3$ và $C_1C_2C_3$ ; tuy nhiên, cái sau không còn được sử dụng trong lời giải của chúng tôi nữa.

Điều tò mò là D. Poya (và một số độc giả đã gửi thư cho chúng tôi) lại có ý tưởng hoàn toàn khác lời giải về bài toán này. Chúng tôi đăng một đoạn trích trong cuốn sách “Khám phá toán học”, nói về nguồn gốc của ý tưởng này, trên trang 67-69.

V. N. Berezin

M88

Các hệ số của phương trình $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ phải thỏa mãn điều kiện nào để ba nghiệm của nó tạo thành một cấp số cộng?

Hãy cho đáp số ngay nhé. Kết quả phù hợp mong muốn là $c = \frac{ab}{3} - \frac{2}{27} a^3$ (hoặc tương tự, một trong các nghiệm phải bằng $-\frac{a}{3}$ ). Thật vậy, đặt $x_1, x_2$ và $x_3$ là nghiệm của phương trình của chúng ta. Khi đó, theo định lý Vieta,

$x_1 + x_2 + x_3 = -a.$

Mặt khác, để $x_1, x_2, x_3$ hình thành một cấp số cộng, điều cần thiết và đủ là

$x_1 + x_3 = 2x_2.$

Đặt $x_1 + x_2 + x_3 = 3x_2$ , mở $x_2 = -\frac{a}{3}$ . Hãy cố gắng tìm ra các điều kiện để các phương trình bậc bốn hình thành một cấp số cộng.

L. I. Moscoviome

Trong số này, chúng tôi xuất bản bài toán F92—F99

F92

Vòng khối $m$ đặt trên bảng khối $M$ (Hình 10). Hệ số ma sát giữa tấm ván và vòng là $k$ . Bảng nằm trên một mặt bàn nhẵn. Tấm ván sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu vòng được kéo với một lực $F$ ?

Hãy viết phương trình chuyển động của vòng và ván (phương trình II của định luật Newton).

Theo phương nằm ngang, có hai lực tác dụng lên vòng - lực $F$ và lực mặt lốp $F_{TP}$ giữa ván và vòng (xem Hình 10). Trọng tâm của cơ thể—trong trường hợp này là tâm của vòng—chuyển động như thể tất cả các lực tác động lên cơ thể đều tác dụng lên nó. Vì vậy chúng ta có thể viết rằng

$ma_1 = F - F_{TP}$

( $a_1$ là gia tốc của tâm vòng).

Cơm. 10.

Vòng không chỉ di chuyển theo chiều ngang mà còn quay quanh tâm. Gia tốc của chuyển động quay được truyền cho nó bởi cùng các lực $F$ và $F_{TP}$ , nhưng trong trường hợp này chúng tác động “hòa hợp”, quay vòng theo một hướng. Gia tốc chuyển động quay của vòng trong hệ tọa độ liên kết với tâm của nó*) được ký hiệu là $a_2$ . Sau đó chúng ta có thể viết rằng

$ma_2 = F + F_{TP} \quad (2)$

Bây giờ hãy viết phương trình chuyển động của bến tàu. Theo phương ngang, chỉ có một lực tác dụng lên nó - lực ma sát của vòng trên đế. Do đó, nếu gia tốc của bến tàu là $a_3$ thì

$Ma_3 = F_{TP}. \quad (3)$

Vì vậy, chúng ta có ba phương trình liên quan đến bốn đại lượng chưa biết: $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ và $F_{TP}$ . Để tìm những ẩn số này, bạn cần tạo một phương trình khác.

Khi di chuyển vòng và đế, có hai trường hợp phát sinh: 1) vòng không trượt so với đế và 2) vòng trượt so với đế.

Hãy xem xét trường hợp đầu tiên: vòng không trượt so với đế. Trong trường hợp này, tốc độ $v_1$ của chuyển động tịnh tiến của tâm vòng, tốc độ tuyến tính $v_2$

*) Trong thực tế, hệ tọa độ liên kết với tâm của vòng không quán tính. Tuy nhiên, khi xem xét phương trình vòng, điều này có thể được bỏ qua, vì lực quán tính tác dụng lên trọng tâm của vòng và mô men của nó so với tâm của vòng bằng không.

**) Phương trình II của định luật Newton đối với vật quay được viết như sau:

$I \varepsilon = (F + F_{TP}) r, \quad (*)$

trong đó $I$ là mômen quán tính, $\varepsilon$ là gia tốc góc và $r$ là bán kính của vòng (xem bài viết của A.K. Kion “Chuyển động quay”, «Kvant» Số 1, 1971).

Đối với vòng $I = mr^2$ , $\varepsilon = \frac{a_2}{r}$ . Nếu đặt các giá trị này vào phương trình (*), chúng ta sẽ có được phương trình (2).

xoay vòng quanh tâm và đế ghim $v_3$ được kết nối với ghim $v_1$ (Hình 11). Vì ụ di chuyển so với Trái đất về bên phải với dấu ngoặc $v_3$ , nên dấu ngoặc của ụ trong hệ tọa độ liên kết với tâm của vòng bằng $v_1 - v_3$ . Điểm dưới của vòng chạm vào đế cũng chuyển động với độ cứng tương tự. Đây là sự uốn cong tuyến tính của vòng quanh tâm.

Vì các lực tác dụng lên vòng và đế là không đổi nên các gia tốc $a_1$ , $a_2$ và $a_3$ cũng không đổi. Cho các vận tốc $v_1$ , $v_2$ và $v_3$ của vật đến sau một thời gian $t$ sau khi chúng bắt đầu chuyển động. Sau đó $v_1 = a_1 t$ , $v_2 = a_2 t$ và $v_3 = a_3 t$ . Kể từ đây,

$a_2 t = a_1 t - a_3 t.$

Từ đây

$a_2 = a_1 - a_3.$

Chúng ta đã thu được một phương trình liên hệ gia tốc của các vật. Giải các phương trình (1), (2), (3) và (4) cùng nhau, ta tìm được

$a_1 = a_2 = \frac{F}{m}$

Và

$a_3 = 0.$

Chúng tôi thấy rằng gia tốc của bến tàu bằng không. Từ phương trình (3) rõ ràng lực ma sát cũng bằng không. Điều này là do thực tế là nếu một lực $F$ tác dụng lên một cái vòng đứng trên một đế hoàn toàn nhẵn, như trong Hình 10, thì gia tốc của chuyển động tịnh tiến của cái vòng sẽ trùng với gia tốc của chuyển động quay của nó. Trong trường hợp này, điểm dưới của vòng lăn dọc theo đế mà không bị trượt. Điều này xảy ra bởi vì toàn bộ khối lượng của vòng tập trung vào vành mỏng của nó và lực $F$ truyền cho vòng những gia tốc bằng nhau của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Nhưng điều này

nghĩa là lực ma sát không phụ thuộc vào lực $F$ và luôn bằng 0. Do đó, vòng không thể trượt so với điểm (lực ma sát không thể bằng $kN$ ) và không thể xét trường hợp thứ hai.

F93

Trên thành bên của bình hướng vào chất lỏng có chiết suất $n$ , tiếp tục tồn tại một lỗ có bán kính nhỏ $r$ . Một chùm ánh sáng mỏng được chiếu theo phương ngang từ bình dọc theo trục của lỗ. Phải có chất lỏng ở mức nào $h$ phía trên lỗ để tia sáng phát ra từ tia mà không bao giờ trải qua phản xạ nội?

Bỏ qua sự thay đổi tiết diện của tia; chiết suất của chất lỏng được coi là đủ lớn.

Ở góc lớn nhất so với mặt nước, một chùm ánh sáng chiếu vào điểm $A$ vảy (Hình 12). Góc tới $\alpha$ , tại đó chùm tia tại điểm này không chịu phản xạ toàn phần, phải sao cho

$\sin \alpha = \frac{1}{n}.$

Điều này tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng ( $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{n}$ ) và điều kiện góc là $\beta = 90^\circ$ . Tiếp tuyến của tia tại điểm $A$ tạo một góc $\gamma = 90^\circ - \alpha$ với phương ngang. Do đó, một tia sáng sẽ thoát ra khỏi vảy mà không hề bị phản xạ nội nếu góc tạo bởi tiếp tuyến với tia tại điểm $A$ tạo một góc $\gamma$ với đường chân trời sao cho cos $\gamma = \frac{1}{n}$ .

Nhưng tiếp tuyến với bề mặt chất lỏng là tiếp tuyến với quỹ đạo của hạt nổi lên ở mép trên của lỗ. Do đó hướng của tiếp tuyến

$\cos \gamma = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{4gr}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{r}{h}}.$

Bây giờ biểu thị cos $\gamma$ theo tg $\gamma$ —

$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 \gamma}}$

và tính đến cos $\gamma = \frac{1}{n}$ , chúng ta có

$\frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2\frac{r}{h}}}.$

Từ đây

$h = 2r/(n^2 - 1).$

F94

Một chu trình (quy trình khép kín) được thực hiện trên một gam phân tử khí lý tưởng, bao gồm hai đầu ra và hai đồng vị (Hình 13). Nhiệt độ khí tại điểm 1 và 3 lần lượt là $T_1$ và $T_3$ . Xác định công mà khí thực hiện trong một chu trình nếu biết điểm 2 và điểm 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt.

Mở rộng dọc theo isobar 2-3, khí hoạt động

$A_1 = P_2 (V_2 - V_1) = P_2 V_2 - P_2 V_1 = RT_3 - RT_2 = R (T_3 - T_2).$

Khi khí dốc dọc theo isobar 4-1 phát huy tác dụng

*) Điều này cũng tuân theo định luật bảo toàn năng lượng. Thật vậy, khi một khối nước $\Delta m$ chảy ra khỏi bình chứa chất lỏng, thế năng của nước giảm một lượng $\Delta mgh$ (chúng ta có thể giả sử một cách đơn giản rằng khối lượng nước $\Delta m$ chuyển động cùng với bề mặt chất lỏng tới lỗ).

Cơm. 13.

đã xảy ra phía trên chất khí. Nó bằng nhau
$A_2 = P_1 (V_2 - V_1) = R (T_4 - T_1).$
Tổng công mà khí thực hiện rất thấp bằng
$A = A_1 - A_2 = (P_2 - P_1) (V_2 - V_1) = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4).$

Vì điểm 2 và điểm 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt nên nhiệt độ của các khí ở đó là như nhau. Hãy biểu thị nó $T = T_2 = T_4$ . thì $A = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4)$ . Điểm 3 và 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt nên $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_3}{T}$ . Điểm 2 và 1 cũng nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt và $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T}{T_1}$ . Từ hai phương trình này ta tìm được
$T = \sqrt{T_1 T_3}.$
Kể từ đây,
$A = R (T_1 + T_3 - 2 \sqrt{T_1 T_3}).$

F95

Mặt sông tạo thành một mặt phẳng nghiêng. Liệu một từ có thể bơi xuống sông với tốc độ vượt quá tốc độ dòng chảy không?

Nếu vật không chuyển động so với nước thì lực ma sát tác dụng lên nó từ phía nước bằng không. Do đó, thành phần lực hấp dẫn, song song với mặt nước (Hình 14), sẽ làm vật thẳng cho đến khi cân bằng với lực ma sát trên mặt nước (lực này ở tốc độ thấp tỷ lệ thuận với tốc độ của vật). Trong trường hợp này, nó sẽ chảy với tốc độ lớn hơn tốc độ dòng điện.

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng chúng ta, sau khi để lại một lớp vỏ mỏng, cứng, không trọng lượng, lấy vật thể ra và đổ nước vào vỏ sao cho thể tích của nó bằng thể tích phần ngâm trong cơ thể (Hình 15). Vì vật nổi nên khối lượng nước đổ vào bằng khối lượng vật. Vì vậy, phần vỏ có nước tương đương với phần thân mà chúng ta đã loại bỏ. Nhưng nước đổ vào vỏ sò chẳng khác gì nước sông. Ma sát trong chất lỏng chỉ liên quan đến độ dày của chất lỏng và không phụ thuộc vào bề mặt của vật. Điều này được giải thích là do một lớp mỏng các phân tử nước “nổi” lên bề mặt cơ thể và sự hình thành được quyết định bởi sự tương tác của các phân tử nước với nhau. Điều này có nghĩa là bạn có thể tháo hoàn toàn lớp vỏ ra, lực ma sát sẽ không thay đổi. Hóa ra cơ thể phải chảy với tốc độ bằng tốc độ dòng điện.

Chuyện gì đang thực sự xảy ra vậy?

Trước tiên chúng ta hãy hiểu “tốc độ dòng chảy” nghĩa là gì. Do ma sát, tốc độ dòng chảy của sông thay đổi tại các điểm khác nhau trên sông. Nó tăng dần từ ngày lên mặt nước và từ bờ tới giữa sông. Vì vậy, tốc độ dòng chảy ở nơi có thú bông dọc theo thân sông cũng khác nhau. Nước trong vỏ này khác với nước xung quanh vì tốc độ của nước trong vỏ là như nhau ở mọi điểm.

Giả sử rằng tốc độ của cơ thể bằng tốc độ của dòng chảy ở rìa của cơ thể, gần bờ. Khi đó tốc độ dòng nước đi qua cơ thể ở những điểm khác lớn hơn tốc độ của cơ thể. Bởi vì điều này, nước sẽ mang theo cơ thể, tăng tốc độ của nó. Mặt khác, khi tốc độ của vật tăng lên thì vật sẽ chậm lại do tốc độ của điểm nằm sát bờ của nó lớn hơn tốc độ của dòng điện và lực ma sát được chuyển thành chuyển động của vật. Kết quả là cơ thể phải chảy với tốc độ lớn hơn mức tối thiểu nhưng nhỏ hơn mức tối đa của tốc độ dòng chảy khắp cơ thể.

F96

Hai quả bóng giống hệt nhau được nối với nhau bằng một sợi chỉ. Tìm độ cao tăng của hệ thống này nếu một trong các quả bóng được ném lên trên với tốc độ $v$ .

Động lượng của toàn bộ hệ là $mv$ và khối lượng của nó là $2m$ . Vì vậy, tại thời điểm ban đầu

tốc độ khối tâm của hệ là $\frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}$ .

Hãy viết định luật bảo toàn năng lượng cho toàn hệ. Trong trường hợp này, chúng ta có thể coi chuyển động không phải của từng quả bóng mà là chuyển động của khối tâm của hệ, coi như toàn bộ khối lượng của hệ tập trung vào nó. Nếu độ cao cực đại mà khối tâm của hệ dâng lên là $h$ thì

$2mgh = \frac{2m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2}.$

Từ đây

$h = \frac{v^2}{8g}.$

Chúng tôi đã nhận được rất nhiều lời giải cho bài toán này, nhưng hầu hết các chữ cái đều có cùng một lỗi. Các tác giả của lời giải tin rằng tại thời điểm khối tâm của hệ đạt đến độ cao cực đại của chùm tia phụ, các quả bóng đứng yên và động năng của chúng bằng không. Tuy nhiên, điều này không đúng. Các quả bóng đang chuyển động và động năng của chúng lúc này bằng

$\frac{mv^2}{2} - 2m\cdot gh = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv^2}{4} = \frac{mv^2}{4}.$

F97

Một vòng dây cách điện được uốn cong theo dạng đo bos khi nó có bán kính $r_1=1$ cm và $r_2=3$ cm. Vòng quay nằm trong từ trường có cảm ứng $B=10^4$ ec, vuông góc với mặt phẳng vòng quay. Lớp cách điện của dây được thiết kế cho điện áp 10 V. Sự cố cách điện có xảy ra nếu từ trường bị tắt đột ngột không? Thời gian tắt hiện trường $\Delta t=10^{-3}$ giây.

Cuộn dây có thể được uốn cong theo nhiều cách khác nhau và các dây có thể giao nhau hoặc không giao nhau. Chúng ta sẽ xem xét cả hai trường hợp.

Hãy ký hiệu là $E_1$ và $E_2$ e. d.s. cảm ứng sinh ra trong mạch I và II (Hình 16), và thông qua $R_1$ và $R_2$ - điện trở của các mạch này.

Nếu mạch nối dây (Hình 16, a) rồi bỏ mạch, dễ dàng nhận thấy e. d.s. $E_1$ và $E_2$ được định hướng theo các hướng khác nhau. Do đó cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn bằng

$I = \frac{E_1 - E_2}{R_1 + R_2}.$

Hiệu điện thế giữa các điểm $A'$ và $A''$ rõ ràng bằng hiệu $E_1$ và pa-

Cơm. 16.

chênh lệch điện áp ở mạch II (hoặc chênh lệch giữa $E_2$ và độ sụt điện áp ở mạch I; trong cả hai trường hợp, chúng ta sẽ nhận được kết quả như nhau)

$U = E_1 - IR_1 = E_1 - \frac{E_1 - E_2}{R_1 + R_2} R_1 = \frac{E_1R_2 + E_2R_1}{R_1 + R_2}.$

Nhưng

$E_1 = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{S\Delta B}{\Delta t} = \pi r_1^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t};$

tương tự,

$E_2 = \pi r_2^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.$

Điện trở của mạch bằng nhau

$R_1 = \rho \cdot 2\pi r_1,$

$R_2 = \rho \cdot 2\pi r_2.$

Từ đây chúng tôi nhận được:

$U = \pi r_1r_2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.$

Nếu mạch điện không giao nhau (Hình 16, b), thì ví dụ: d.s. $E_1$ và $E_2$ cùng hướng. Trong trường hợp này

$I = \frac{E_1 + E_2}{R_1 + R_2}$

Và

$U = E_1 - IR_1 = \pi r_1r_2 \frac{r_1 - r_2}{r_1 + r_2} \frac{\Delta B}{\Delta t}.$

Trong trường hợp thứ hai, hiệu điện thế giữa các điểm $A'$ và $A''$ của hệ thống dây điện nhỏ hơn $\frac{r_1 - r_2}{r_1 + r_2}$ lần so với trường hợp đầu tiên.

Thay các giá trị số của đại lượng vào công thức (1), ta thấy rằng $U=1\varepsilon$ . Bạn-

Sự khác biệt tiềm năng về mặt số lượng theo công thức (2) thậm chí còn nhỏ hơn. Điều này có nghĩa là lớp cách nhiệt sẽ không bị xuyên thủng.

F98

Hiệu điện thế lớn nhất có thể đạt được với một nguồn có lực điện động tùy ý sử dụng là bao nhiêu? c.E và n tụ điện giống hệt nhau có điện dung C?

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp đơn giản hơn với n=2.

Bằng cách sạc cả hai tụ điện từ nguồn đến hiệu điện thế E và nối nguồn và cả hai tụ điện nối tiếp với nhau, có thể thu được hiệu điện thế là 3E. Tuy nhiên, đây không phải là sự khác biệt tiềm năng tối đa. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng có hai tụ điện và một nguồn, bạn có thể đạt được hiệu điện thế gần bằng 4E tùy thích.

Chúng ta nối nguồn nối tiếp với một trong các tụ điện và nối tụ điện thứ hai với cặp này: nối “-” của tụ điện với “-” của nguồn và nối “+” của tụ điện với “+” của tụ điện thứ hai (Hình 17). Trong trường hợp này, điện tích trên tụ điện được phân phối lại. Biểu thị điện tích trên các thiết bị ngưng tụ sau khi phân phối lại qua q₁ và q₂ và điện áp rơi trên các thiết bị ngưng tụ qua u₁ và u₂, chúng ta có thể viết

$E + u_1 = u_2.$ (1)

Tổng điện tích của các bản bên phải của tụ điện là 2CE. Điện tích này được phân phối lại giữa các bản nhưng không thể thay đổi. Đó là lý do tại sao

$q_1 + q_2 = 2CE.$ (2)

Giải các phương trình (1) và (2) cùng nhau, ta tìm được

$u_2 = \frac{3}{2} E.$

Hãy sạc tụ điện 1 một lần nữa đến hiệu điện thế E và nối cùng một mạch. Bây giờ u₂ trở thành bằng $\frac{4}{7} E$ .

Bằng cách lặp lại thao tác này nhiều lần, bạn có thể sạc tụ điện 2 đến hiệu điện thế tùy ý gần bằng 2E. Bây giờ nối nguồn và cả hai tụ nối tiếp, chúng ta có được sự khác biệt

Cơm. 17.
52

thế năng càng gần 4E càng tốt.

Vì vậy, rõ ràng là có cơ hội mua được pin với e.m. dùng hai tụ điện. p.4E, tụ điện thứ ba có thể được tích điện đến hiệu điện thế là 4E, và sau đó, bằng cách nối các tụ điện và nguồn nối tiếp, có thể thu được hiệu điện thế là 8E. Cho đến hiệu điện thế này là 2E, lần thứ ba cho đến hiệu điện thế 4E, v.v. Tụ điện thứ n có thể được tích điện đến hiệu điện thế là 2^{n-1}E. Sau đó, nối tất cả các tụ điện và nguồn nối tiếp, bạn có thể thu được hiệu điện thế

$E + (E + 2E + 4E + \dots + 2^{n-1}E) = 2^n E.$

F99

Hình 18a thể hiện sơ đồ V-T của hai quá trình tuần hoàn. Trong trường hợp nào khí thực hiện công nhiều hơn: trong quá trình 1-2-3-1 hay trong quá trình 1-3-4-1?

Chúng ta hãy vẽ lại sơ đồ của các quá trình được hiển thị trong hình ở tọa độ P→V.

Điểm 1 và 3 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt và điểm 1 tương ứng với thể tích nhỏ hơn điểm 3. Do đó, khi vẽ đường đẳng nhiệt, chúng ta chọn hai điểm trên đó - điểm 1 và 3, như trong Hình 18, 6. Bây giờ, việc xây dựng sơ đồ chu trình không khó. Dòng 1-2 là một isobar và âm lượng tại điểm 2 lớn hơn âm lượng tại điểm 1. Dòng 2-3 là một isochore. Trên sơ đồ P-V nó phải thẳng đứng. Sơ đồ của quá trình thứ hai được xây dựng theo cách tương tự.

Chúng ta biết rằng công mà khí thực hiện trong một chu trình bằng diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị chu trình. Nhưng từ hình vẽ có thể thấy rõ diện tích của quy trình “đỏ” lớn hơn diện tích của quy trình “xám”. Điều này có nghĩa là khí thực hiện nhiều công hơn trong quá trình 1-2-3-1.