Mô tả hình thang và giữa

ĐƯỜNG MÔ TẢ VÀ TRUNG BÌNH

Hãy nhìn vào bức tranh. Một hình thang ngoại tiếp trong đó vẽ chiều cao $BH$ và đoạn $HG$ vuông góc với cạnh $AB$. Có vẻ như không có gì đặc biệt về hình vẽ này, nhưng bức vẽ này có một đặc tính đáng kinh ngạc. Nó, cùng với nền trên $a$ và nền dưới $b$, đã chứa cả ba phương tiện của các phân đoạn này: trung bình nghệ thuật, trung bình hình học và trung bình điều hòa, cụ thể là:

$$AB = \frac{a+b}{2},$$

$$BH = \sqrt{ab},$$

$$BG = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Hãy cố gắng tự mình chứng minh những tuyên bố này.

Và bây giờ chỉ cần nhìn lướt qua bản vẽ là đủ để đảm bảo rằng những điều sau được thực hiện giữa các mức trung bình:

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Thật vậy, $AB$ và $BH$ được vẽ xiên và vuông góc với đường thẳng $AD$ từ điểm $B$, còn $BH$ và $BG$ xiên và vuông góc từ điểm $B$ đến đường thẳng $HG$.

A. Savin, V. Senderov