kính vạn hoa

Kvant 1972, số 8 tr. 41-48 Thẻ RXCN

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Kính vạn hoa

A. N. Vilenkin

Chắc hẳn thời thơ ấu, mỗi người trong số các bạn đã tháo rời ít nhất một chiếc kính vạn hoa và các bạn biết nó hoạt động như thế nào. Tuy nhiên, hãy để chúng tôi nhắc bạn rằng khi bạn tháo nó ra, những mảnh thủy tinh màu sẽ rơi ra khỏi nó và bên trong có ba dải gương (hoặc kính), nằm ở một góc 60° với nhau, sao cho tạo thành một hình tam giác đều.

Tại sao kính vạn hoa được thiết kế theo cách này và nó có thể được chế tạo theo cách nào khác, chúng tôi sẽ cho bạn biết trong bài viết này. Các nhiệm vụ có trong văn bản (kết quả của chúng được sử dụng trong tính toán) sẽ cho phép bạn không chỉ đọc bài viết một cách thụ động mà còn có thể độc lập “nhúng tay” vào việc xây dựng lý thuyết. Tuy nhiên, tất cả các vấn đề trong bài đều bắt đầu bằng từ “Chứng minh rằng…” nên trong lần đọc đầu tiên có thể thay bằng từ “Nó đã được chứng minh rằng…”, sau đó quay lại và tiếp tục chứng minh. Ở cuối con số có gợi ý cho tất cả các vấn đề.

thiết bị kính vạn hoa

Để làm kính vạn hoa, bạn sẽ cần một ít kính (tốt hơn là nên lấy

Cơm. 1. Mở kính vạn hoa.

Cơm. 2. Kính vạn hoa tự chế.

dải kính, không phải gương, sau này chúng tôi sẽ giải thích lý do tại sao), một tờ giấy dày, một ít keo dán và hai tấm bìa cứng nhỏ. Kính vạn hoa được bán trong các cửa hàng được chế tạo theo cách mà không thể thay đổi góc giữa các gương. Chúng tôi sẽ làm một chiếc kính vạn hoa tự chế, cái này được điều chỉnh cho các thí nghiệm.

Dán các dải kính vào một tờ giấy, chừa những khoảng trống nhỏ giữa các dải (để bạn có thể uốn tờ giấy thành hình). Nó rất tốt nếu tấm vải mờ đục - sẽ không có ánh sáng dư thừa chiếu vào.

Bạn đã có được sự phát triển của chữ ký (Hình 1). Cuộn tấm bìa cứng ra khỏi nó và để ngăn nó bị bung ra, hãy cắt các lỗ trên tấm bìa cứng theo hình dạng của mặt cắt vuông góc của tấm bìa cứng và đặt tấm bìa cứng lên trên tấm bìa cứng (Hình 2); Bằng cách thay đổi bìa cứng, chúng ta sẽ thay đổi hình thức nhận biết. Kính vạn hoa đã sẵn sàng! Bây giờ đặt nó vào một cái

Một số hình ở cuối kính vạn hoa (thường trong kính vạn hoa, những mảnh kính màu được rắc vào nơi này) và nhìn vào đầu kia. Bạn sẽ nhìn thấy một bức tranh, bấm vào hình vẽ ở trang đầu tiên của trang bìa. Làm thế nào một hình ảnh như vậy xuất hiện?

Đường đi của tia trong kính vạn hoa

Ngay trước mặt bạn, bạn sẽ thấy bức tượng nhỏ được đặt gần chiếc kính vạn hoa khác. Gần đó bạn sẽ gặp lại cô ấy, chỉ được phản chiếu. Điều này cũng dễ hiểu thôi, vì bên cạnh anh ta có một tấm gương - nên gương phản chiếu xuất hiện. Vai trò của một tấm gương được thực hiện bởi một dải kính.

Nhân tiện, Hình 3 giải thích dải gương là gì. Nó có hai bề mặt phản chiếu: mặt trước được đánh bóng và mặt sau được phủ bằng hỗn hống. Để xác minh điều này, hãy đặt một cây bút chì đã gọt nhọn vào gương. Bạn sẽ thấy hai hoặc thậm chí ba phản xạ. Thực tế là người ta nghe thấy chùm tia rơi vào kính. Một phần của nó được phản xạ từ bề mặt phía trước và tạo ra tia phản xạ đầu tiên, phần thứ hai đi vào kính. Phần này được phản chiếu ở mặt sau (gần như hoàn toàn ở vỏ gương và một chút ở vỏ kính) và đi ra mặt trước. Qua đó, một phần của tia sáng đi ra và cho tia phản xạ thứ hai, phần còn lại của từ được phản xạ (bên trong gương) và bắt đầu một hành trình mới, kết thúc bằng sự xuất hiện của tia phản xạ thứ ba. Những tia này yếu đi khi số lượng của chúng tăng lên, do đó tia phản xạ thứ ba không còn được chú ý nữa.

Nếu bạn đặt một tấm gương vào kính vạn hoa, chùm tia phản xạ thứ hai sẽ xuất hiện, điều này cũng sẽ gây ra sự biến dạng đến mức không thể tạo ra được gì, đặc biệt là với nhiều phản xạ trong gương. Rốt cuộc, tia thứ nhất và tia thứ hai trộn lẫn với nhau và tạo ra sự thay đổi trong ảnh. Khi phản ánh

Cơm. 3. Khi phản chiếu trong gương thường, có thể nhìn thấy ba cây bút chì.

tia thứ hai không xuất hiện trong kính - nó bị bề mặt phía sau hấp thụ. Một chiếc gương lớn với bề mặt phản chiếu phía trước sẽ phù hợp với chúng ta - cũng có những chiếc gương trong kính thiên văn phản xạ.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng sự phản xạ của tia sáng từ gương sẽ xảy ra theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”, tức là tia phản xạ, tia tới và đường vuông góc với mặt phẳng gương tại điểm tới nằm trong cùng một mặt phẳng (Hình 4) và $\alpha = \beta$ .

Chúng ta hãy thử tìm cách tạo ra những hình ảnh cần thu được trong kính vạn hoa. Giả sử rằng có một hình ảnh phẳng phía trước kính vạn hoa (chúng tôi sẽ loại trừ hình ảnh ba chiều để đơn giản),

Cơm. 4. “Góc tới bằng góc phản xạ.”

hơn nữa, mặt phẳng của hình này là mặt cắt vuông góc của biển báo; Hãy gọi nó là một mặt phẳng hình ảnh.

Lăng kính khắc một đa giác lồi trong mặt phẳng ảnh; nó sẽ đóng một vai trò quan trọng trong tất cả các cuộc thảo luận tiếp theo - hãy gọi nó là đa giác cơ bản. Vì vậy, có một mặt phẳng hình ảnh $K$ và trong đó có một đa giác cơ bản $M$ ; Làm thế nào để mô tả hình học sự phản xạ trong các mặt?

Hãy bắt đầu với một phản ánh duy nhất. Nếu chúng ta nhìn vào kính vạn hoa từ điểm $T$ (Hình 5a) và tia phát ra từ điểm $A$ bị phản xạ từ gương l tại điểm $O$ và sau đó đập vào mắt chúng ta, thì đối với chúng ta, có vẻ như điểm $A$ nằm phía sau gương trên đoạn thẳng $TO$ và nếu chúng ta biểu thị hình ảnh này bằng $A_1$ điểm $A$ , rồi $OA_1=OA$ , vì mắt chúng ta phải ước tính khoảng cách đến vật thể. Một lý luận hình học đơn giản cho thấy điểm $A_1$ nằm trong cùng một hình ảnh của mặt phẳng $K$ và thu được dưới dạng phản xạ hình học của điểm $A$ trong cạnh $R$ ; Hãy tự mình thực hiện lý luận này.

Nhiệm vụ 1. Lấy điểm $A_1$ , điểm này thu được dưới dạng phản xạ hình học của điểm $A$ trong cạnh $R$ (xem Hình 5a), $AP \perp R$ , $AP=PA_1$ . Chứng minh rằng điểm $A_1$ thỏa mãn khái niệm vật lý “sự phản chiếu của điểm $A$ trong gương l”. Điều này có nghĩa như sau. Đối với bất kỳ điểm quan sát nào $T$ chúng ta vẽ một đường thẳng $TA_1$ . Để nó cắt mặt phẳng l tại điểm $O$ . Hãy nối các điểm $O$ và $A$ . Cần chứng minh rằng: $TOS=POA$ (khoảng cách bằng 0 độ phản xạ); $OA=OA_1$ (thùy $A_1$ có cùng khoảng cách với $T$ như $A$ “có tính đến gương”).

Tuyên bố bài toán 1 có giá trị đối với bất kỳ điểm nào của đa giác cơ bản, do đó, với một phản xạ duy nhất trong gương, ảnh $M'$ của toàn bộ đa giác cơ bản $M$ nằm trong mặt phẳng ảnh $K$ và thu được một phản xạ

Cơm. 6. Hình học phản xạ kép trong gương (chiếu lên ảnh phẳng).

đa giác cơ bản), sau đó được phản chiếu trong gương $R_2$ và chỉ sau đó nó chạm vào điểm $T$ - trong mắt chúng ta. Đối với chúng ta, dường như tia sáng đến từ điểm $A_2$ - ảnh của điểm $A$ . Điểm $A_2$ hóa ra như thế này. Vì tia đầu tiên được phản xạ ở cạnh $R_1$ nên chúng ta phản xạ điểm $A$ ở cạnh $R_1$ , nên chúng ta nhận được điểm $A_1$ (Hình 6). Sau đó, tia sáng, bây giờ đến như thể từ điểm $A_1$ , được phản xạ ở cạnh $R_2$ - chúng ta cũng hãy phản chiếu điểm $A_1$ ở cạnh $R_2$ , chúng ta có điểm $A_2$ - hình ảnh của điểm $A$ với sự phản chiếu ở các cạnh $R_1$ và $R_2$ .

Nhưng bạn có thể nghĩ khác. Phía sau cạnh $R_2$ chúng ta thấy hình ảnh của một đa giác cơ bản - đa giác $M'$ , trong đó có một điểm $A'$ - hình ảnh của điểm $A$ ở cạnh $R_2$ . $M'$ có cạnh $R_1'$ - ảnh của gương (cạnh) $R_1$ trong gương $R_2$ . Và bây giờ hóa ra hình ảnh $R_1'$ này của gương $R_1$ có thể được coi là một tấm gương thật và bằng cách phản chiếu điểm $A'$ trong $R_1'$ , người ta có thể thu được hình ảnh tương tự $A_2$ . Để thấy điều này, hãy lưu ý rằng Hình 6 đối xứng khoảng $R_2$ .

Vì vậy, đa giác $M'$ hóa ra bằng đa giác cơ bản $M$ và cạnh $R_1'$ là một tấm gương chính thức. Bằng cách phản chiếu $M'$ ở cạnh $R_1'$ , chúng ta thu được một đa giác $M''$ tương ứng với sự phản chiếu trong gương $R_1$ và $R_2$ . Không khó hiểu khi chúng ta có thể tạo ra sự phản chiếu ở các cạnh của đa giác $M''$ và do đó thu được hình ảnh tiếp theo của đa giác cơ bản $M$ .

Bây giờ chúng ta có thể lo lắng không chỉ về không gian, mà còn về gương và mô tả hình ảnh trong một bức tranh của một mặt phẳng hình học thuần túy.

Hình học bằng hình ảnh phẳng

Có một đa giác (cơ bản) $M$ với các cạnh $R_1$ , $R_2$ , … Một hình ảnh được đặt bên trong đa giác (chúng ta coi đa giác là một hình phẳng). Trong các cạnh $R_k$ , các phản chiếu của đa giác $M$ được tạo ra (Hình 7), dẫn đến các đa giác có các cạnh $R_1'$ , $R_2'$ , … Các phản xạ cũng được thực hiện ở các cạnh này và thu được các đa giác mới. Bằng cách di chuyển theo cách này, chúng ta sẽ lát toàn bộ mặt phẳng hình ảnh.

Chúng ta hãy lưu ý một trường hợp. “Đi dọc theo máy bay, chúng ta có thể đến một nơi mà chúng ta đã được thăng cấp một lần. Nó đã có hình ảnh của điểm $A$ của đa giác cơ bản, và bây giờ

Chúng tôi đến đó cùng một hình ảnh xuất hiện, về một điểm khác $B$ của đa giác cơ bản.

Ví dụ, trong Hình 7, đa giác cơ bản được hiển thị bằng màu đen, một chuỗi phản xạ được hiển thị bằng màu đỏ và một chuỗi phản xạ khác được hiển thị bằng màu xanh lam. Tại điểm $X$ chúng trùng nhau. Câu hỏi đặt ra: chúng ta nên nhìn thấy hai hình ảnh hay một hình ảnh tại điểm $X$ , và nếu là một thì đó là hình ảnh nào?

Trước tiên, chúng ta hãy xem câu hỏi sau: từ những điểm nào trong không gian (bên trong kính vạn hoa) có thể nhìn thấy hình ảnh $A_1$ , nhưng từ những điểm khác - thì không. Nhưng điểm $A_1$ là một điểm trên mặt phẳng hình ảnh, nhìn thấy gì trong đó từ các vị trí khác? Rõ ràng là ảnh của một điểm nào đó của đa giác cơ bản nhưng được phản chiếu trong một gương khác.

Ví dụ, hãy lấy hai chiếc gương được đặt ở một góc $150^\circ$ . Chúng ta hãy xem hình chiếu của chúng lên mặt phẳng hình ảnh (Hình 9). Từ vị trí $T_1$ tại điểm $X$ ta thấy ảnh của điểm $A$ (phản chiếu ở cạnh $R_1$ ). Nhưng từ vị trí $T_2$ tại cùng một điểm $X$

Cơm. 8. Vùng hiển thị hình ảnh $A_1$ .

Cơm. 9. Từ các vị trí khác nhau tại điểm $X$ nhìn thấy được hình ảnh của các điểm khác nhau: từ vị trí $T_1$ - ảnh của điểm $A$ , từ vị trí $T_2$ - ảnh của điểm $B$ .

Chúng ta thấy ảnh của điểm $B$ (phản chiếu ở cạnh $R_2$ ), vì đường thẳng nối các điểm $T_2$ và $X$ cắt cạnh $R_2$ .

Rõ ràng là đối với nhiều phản xạ, chúng ta cũng cần kết nối điểm quan sát $T_2$ bằng một đường thẳng đến điểm $X$ mà chúng ta đang nhìn và lấy chuỗi phản xạ của đa giác cơ bản bao phủ đoạn $TX$ . Điểm $A$ của đa giác cơ bản, sẽ nằm trong $X$ , sẽ được mô tả trong đó và sự phản chiếu phải được thực hiện ở các cạnh giao nhau bởi đường thẳng $TX$ . Đối với một điểm quan sát khác, có thể thu được một chuỗi phản xạ khác và một hình ảnh khác.

Điều này có thể dẫn đến điều gì? Đây là những gì. Nếu chúng ta nhớ rằng chúng ta nhìn vào kính vạn hoa không phải từ một điểm mà từ toàn bộ một vùng (đồng tử của mắt, thấu kính của máy ảnh), thì chúng ta có thể nhìn thấy tại một điểm hình ảnh của hai điểm khác nhau của đa giác cơ bản. Hình 10a thể hiện một bức ảnh trong kính vạn hoa. Thấu kính mở hoàn toàn và có thể nhìn thấy các hình ảnh chồng chéo ở một số điểm. Nhưng nếu bạn mở ống kính (giảm lỗ lấy sáng gần như một “điểm”) thì tại mỗi điểm sẽ chỉ còn lại một hình ảnh

(Hình 106). Trong trường hợp này, chúng ta “nhìn” như thể từ một điểm.

Vì vậy, chúng ta đã khám phá cách thu được một hình ảnh trong mặt phẳng hình ảnh, nhưng hóa ra nó cũng phụ thuộc vào điểm mà chúng ta nhìn vào nó. Vì vậy, hãy làm điều này.

Chúng ta gọi kính vạn hoa là “quy tắc vật lý” nếu hình ảnh trong mặt phẳng hình ảnh của nó không phụ thuộc vào điểm quan sát và “quy tắc toán học” nếu đối với bất kỳ điểm X nào, mặt phẳng hình ảnh có các chuỗi phản xạ hình học khác nhau dẫn đến điểm X cho trong đó hình ảnh của cùng một điểm của đa giác hàm.

Cơm. 10a. Các đối tượng hoàn toàn mở. Ở một số nơi, hình ảnh chồng lên nhau.

Cơm. 106. Đối tượng có khẩu độ, chồng lên nhau.

Chúng ta hãy lưu ý sự khác biệt giữa các khái niệm toán học và vật lý về tính đúng đắn của kính vạn hoa. Về mặt hình học, chúng ta có thể đưa hình ảnh tới điểm X bằng bất kỳ chuỗi phản xạ nào. Nhưng không phải mọi hình ảnh đều có thể được nhìn thấy từ ít nhất một điểm bên trong kính vạn hoa. Tuy nhiên, từ các ví dụ chúng tôi đã đưa ra trong Hình 7, hình ảnh được phân phối dọc theo đường dẫn màu xanh lam được hiển thị tại điểm X, nhưng không nhìn thấy được dọc theo đường dẫn màu đỏ. Đây là một ví dụ khác.

Bài 2. Chứng minh rằng trong kính vạn hoa có tiết diện vuông góc là tam giác đều có cạnh $R_1, R_2, R_3$ là không thể. tạo chuỗi phản xạ của tia gieo: $R_1, R_2, R_1, R_3, R_2, R_3$ .

Có thể xảy ra trường hợp kính vạn hoa toán học không chính xác, tức là có một điểm X và hai chuỗi phản xạ tạo ra các hình ảnh khác nhau trong X, nhưng một trong những hình ảnh này có thể nhìn thấy được từ bất kỳ điểm nào và hình ảnh thứ hai (hoặc tất cả các hình ảnh khác) không bao giờ được nhìn thấy, tức là kính vạn hoa vật lý sẽ đúng?

Hóa ra đây không phải là trường hợp. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu cùng một hình ảnh đến điểm X thông qua hình học (phản xạ) qua các tuyến đường khác nhau, thì nó sẽ được nhìn thấy từ bất kỳ điểm nào. Nhưng đồng thời, nếu từ bất kỳ điểm quan sát nào $T$ nhìn thấy cùng một hình ảnh tại điểm X, thì thu được chính xác một hình ảnh về mặt hình học tại điểm X. Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành chứng minh khẳng định cuối cùng và tìm tất cả các kính vạn hoa đúng.

Kính vạn hoa đúng cách

Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào những chiếc kính vạn hoa đơn giản nhất. Đúng, các phần của chúng là đa giác “vô hạn” (không giới hạn), nhưng điều này sẽ không làm bạn bối rối.

Một gương phẳng vô hạn là một kính vạn hoa đều về mặt toán học (trong hình ảnh của một mặt phẳng

xương có chính xác một đường thẳng “phản chiếu”) - điều này diễn ra từ bài toán 1.

Bây giờ hãy để hai gương $R_1$ và $R_2$ tạo thành một góc $\alpha$ giữa chúng. Hãy nhớ lại rằng chúng ta biểu thị các cạnh của đa giác thu được trong phần vuông góc của góc nhị diện này bằng các chữ cái giống nhau $R_1$ và $R_2$ .

Bài tập 3. Chứng minh rằng phản xạ đầu tiên ở cạnh $R_1$ rồi đến cạnh $R_2$ (như Hình 6) tương đương với phép quay quanh điểm $O$ theo góc $2\alpha$ theo hướng từ cạnh $R_1$ đến cạnh $R_2$ .

Nói cách khác, thay vì phản chiếu hình ảnh hai lần so với các đường thẳng, bạn chỉ cần xoay hình ảnh quanh điểm $O$ một góc $2\alpha$ .

Bài tập 4. Chứng minh rằng hai gương đặt nghiêng một góc $120^\circ$ không tạo thành một kính vạn hoa đều về mặt toán học.

Bài tập 5. Chứng minh hai gương đặt nghiêng một góc $\alpha = \frac{180^\circ}{n}$ và $n$ là số tự nhiên.

Nhiệm vụ 6. Chứng minh rằng nếu một chiếc vạn hoa đúng về mặt toán học thì các phần tử ở các đỉnh của nó là tập hàm của nó và những phần tử nào ở các đỉnh của nó thì tất cả các phần tử này đều có dạng $\frac{180^\circ}{n}$ (n là một số tự nhiên tương ứng; đối với các đỉnh khác nhau thì $n$ có thể khác nhau).

Sự khác biệt giữa nhiệm vụ 5 và 6 không lớn: trong nhiệm vụ 5, các gương là không giới hạn, nhưng trong nhiệm vụ 6, chúng có kích thước hữu hạn. Cả bài toán đều được giải quyết qua thư theo cách giống nhau. Nhưng bài toán 6 đưa ra một điều kiện cần thiết cho tính đúng đắn về mặt toán học của vạn hoa: các góc tại các đỉnh của đa giác hàm của nó phải có dạng xác định.

Khi chúng ta có một điều kiện mà mọi kính vạn hoa thông thường về mặt toán học phải thỏa mãn, chúng ta có thể cố gắng tìm tất cả các kính vạn hoa thỏa mãn điều kiện này. Trong mọi trường hợp, trong số đó sẽ có tất cả các kính vạn hoa nguyên bản, đây là bản chất quan trọng trong các khái niệm của chúng tôi.

Nhiệm vụ 7. Tìm tất cả các kính vạn hoa thỏa mãn điều kiện đúng cần thiết (bài toán 6). Điều này có nghĩa như sau: chúng ta cần tìm xem có bao nhiêu cạnh của đa giác hàm và những đường thẳng nào ở các đỉnh của nó, tất cả những đường thẳng này đều có dạng $\frac{180^\circ}{n}$ . Kiểm tra xem tất cả kính vạn hoa nhận được có chính xác về mặt toán học hay không, nghĩa là các điều kiện cần thiết cho tính chính xác về mặt toán học của kính vạn hoa, được hình thành trong bài toán 6, là đủ.

Bây giờ chúng ta quay trở lại sự tương đương về tính đều đặn vật lý và toán học của kính vạn hoa. Chúng ta hãy làm một kính vạn hoa đều đặn nếu mỗi gương trong số hai gương của nó (chúng ta coi chúng là vô hạn) tạo thành một góc là kính vạn hoa thông thường. Chúng ta sẽ chứng minh sự tương đương theo sơ đồ sau, trong đó các mũi tên chỉ ra rằng một mệnh đề bao hàm một mệnh đề khác.

sơ đồ chứng minh

Độ chính xác về mặt toán học ở các góc
1
Tính đúng đắn về mặt toán học nói chung
2
Độ chính xác vật lý ở các góc
3
Độ chính xác vật lý nói chung

Từ sơ đồ này, có thể suy ra rằng bản thân mọi quy luật của kính vạn hoa đều là những quy luật khác. Điều này có nghĩa là sau khi tìm thấy tất cả các kính vạn hoa đúng về mặt toán học ở các góc, do đó chúng tôi đã tìm thấy tất cả các kính vạn hoa chính xác (từ bất kỳ quan điểm nào).

Hãy để chúng tôi chứng minh tính đúng đắn của sơ đồ.

Chuyển đổi 1. Nó được hiển thị cho bạn dưới dạng bài toán 7.

Chuyển đổi 2. Tính hiển nhiên của nó đã được thảo luận ở trên.

Chuyển tiếp 3. Điều đó gần như hiển nhiên. Bạn chỉ cần lưu ý rằng đa giác cơ bản cho hai gương là không giới hạn, nhưng đối với kính vạn hoa ban đầu thì nó có thể bị giới hạn. Hãy chứng minh điều đó bằng phản chứng. Để kính vạn hoa không đều về mặt vật lý ở ít nhất một góc, nghĩa là nó sẽ tìm thấy các điểm $T_1$ và $T_2$ (điểm quan sát) và $X$ (trong mặt phẳng hình ảnh) cũng như do chỉ có phản xạ ở góc này từ các điểm $T_1$ và $T_2$ tại điểm $X$ nên có thể nhìn thấy các hình ảnh khác nhau. Tương tự, bằng cách thu nhỏ toàn bộ hình ảnh về đỉnh của góc, chúng ta có thể dịch các điểm $T_1$ và $T_2$ bên trong đa giác cơ bản. Tại điểm mới $X'$ , các hình ảnh khác nhau sẽ vẫn hiển thị từ các điểm $T'_1$ và $T'_2$ . Điều này chứng tỏ sự chuyển tiếp 3.

Chuyển đổi 4. Anh ta cũng chứng minh bằng phản chứng, đây sẽ là một bài toán khác.

Cơm. 11.
48

Cơm. 12.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu một kính vạn hoa làm bằng hai gương là không đều về mặt toán học thì nó sẽ tìm được các điểm $T_1$ , $T_2$ và $X$ và từ điểm $T_1$ và $T_2$ tại điểm $X$ nhìn thấy được ảnh của các điểm khác nhau của đa giác cơ bản.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra cách hoạt động của kính vạn hoa. Hình ảnh của một số trong số chúng được hiển thị trong Hình 11-14.

Hãy thử xác định xem những chiếc kính vạn hoa này có đúng không. Trong nhiều hình ảnh này, có thể xác định được việc chụp được thực hiện từ thời điểm nào. Các tia sáng không thể bị phản xạ ở đỉnh của góc (cạnh của kính vạn hoa), do đó một đường phân chia phát ra từ mỗi đỉnh - một sự thay đổi thứ tự phản xạ. Ở một bên của đường này, tia được thêm vào mắt bởi một chuỗi phản xạ, mặt khác - bởi một chuỗi phản xạ khác. Nếu chúng ta tiếp tục những đường này bên trong đa giác cơ bản,

Cơm. 14.

thì tất cả chúng sẽ giao nhau tại một điểm, trên đó có một khảo sát. Trong kính vạn hoa thông thường, các hình ảnh hợp nhất dọc theo những đường này; trong kính vạn hoa không chính xác, một “đường gấp khúc” xuất hiện dọc theo những đường này.

Bài tập

Liệu một cặp gương song song có tạo thành một “kính vạn hoa thông thường” hay không (mặc dù nó không vừa với kính vạn hoa cụ thể của chúng ta, nhưng chúng ta có thể kiểm tra xem hệ thống quang học này có thỏa mãn tính đều đặn cụ thể nêu trên không)?
Số ảnh tối đa của một điểm có thể nhìn thấy trong hai gương đặt nghiêng nhau một góc $\alpha$ là bao nhiêu, nếu $\frac{180^\circ}{\alpha} = r$ và a) $r$ là số nguyên; b) $r$ không phải là số nguyên?
Hai tấm gương lại tạo thành một góc $\alpha$ . Số điểm tối đa của “góc kép” (góc) chức năng là bao nhiêu, hình ảnh của nó có thể được nhìn thấy tại một điểm cố định nào đó $A$ bằng hình ảnh mặt phẳng của kính vạn hoa như vậy, làm thay đổi điểm quan sát? Hình ảnh của bao nhiêu điểm của đa giác hàm được xếp chồng lên điểm $A$ theo quan điểm hình học? Xét ba trường hợp: $\alpha = \frac{180^\circ}{r}$ và a) $r$ - vô tỷ; b) $r = \frac{p}{q}$ (phân số tối giản), $q \neq 1$ ; b) $r$ là một số tự nhiên.
Điều gì có thể nhìn thấy được trong một “kính vạn hoa hình trụ” nếu mắt đặt trên trục của hình trụ?
Hai gương phẳng đặt hợp nhau một góc $40^\circ$ . Số lượng phản xạ tối đa của chùm ánh sáng có thể có trong hệ thống quang học này là bao nhiêu?
Trong bài toán 7 có lời giải $n_1 = \infty$ , $n_2 = 2$ , $n_3 = 2\left(\frac{180^\circ}{\infty}\right)$ chúng ta coi bằng 0). lời giải này tương ứng với “kính vạn hoa” nào (ý nghĩa vật lý của lời giải này là gì)?