Đạn đạo bài toán trong không gian

2

đạn đạo
NHIỆM VỤ
TRONG KHÔNG GIAN

Hãy tưởng tượng rằng một con tàu vũ trụ cất cánh từ bề mặt Trái đất và tại thời điểm dừng lại (trong hệ thống vắng mặt liên quan đến khối tâm Trái đất), các vật thể giống hệt nhau được ném ra khỏi nó với cùng tốc độ $v_0$ theo các hướng khác nhau. Câu hỏi đặt ra: những vật thể này có thể rơi vào phần nào của không gian gần Trái đất?

Lời giải cái bài toán này và một số bài toán liên quan là chủ đề của bài viết này. Điều đặc biệt là phải cảnh báo người đọc rằng trong công thức như vậy bài toán đã được xem xét từ thế kỷ trước, cụ thể là trong bài báo của Giáo sư B.K. Mlodezevsky “Về đường bao của các quỹ đạo theo sự chấp nhận của Newton,” xuất bản năm 1886, và sau đó, với một kết luận đơn giản hơn, trong bài báo của thợ cơ khí nổi tiếng người Nga N.E. Zhukovsky “Nhận xét về bài báo của B.K. Mlodezevsky”, xuất bản cùng năm.

Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày cơ bản hơn nữa về những vấn đề này, đòi hỏi người đọc phải biết các tính chất đơn giản nhất của hình elip, cũng như hai định luật bảo toàn chuyển động dưới tác dụng của lực chấp nhận Newton và định luật thứ nhất của Kepler *).

*) Tất cả thông tin này có thể được tìm thấy, chẳng hạn như trong bài viết của Ya. A. Smorodinsky “Chuyển động của các hành tinh”, «Kvant» Số 1, 1971.

1. Sản xuất bài toán.
   Đề xuất ban đầu

Đối với lời giải bài toán chúng ta sẽ bỏ qua lực cản của bầu khí quyển Trái đất; Chúng tôi sẽ coi hệ thống báo cáo đã chọn liên quan đến Trái đất là quán tính, các vật thể là các điểm vật chất có khối lượng $m$ và Trái đất là một quả cầu đồng nhất có khối lượng $m_0$.

Như đã biết, một quả bóng như vậy tiếp nhận một điểm vật chất có lực hướng về tâm của nó và bằng $F = \gamma \frac{m_0 m}{r^2}$, trong đó $\gamma$ là hằng số hấp dẫn và $r$ là khoảng cách từ điểm vật chất đến tâm quả bóng.

Về mặt tích cực, bài toán mà chúng tôi coi là giảm xuống mức bài toán lý tưởng hóa, được nghiên cứu bởi Newoton:

Trong bất động *) ceptre O, khối lượng $m_0$ được tập trung và chúng ta tác dụng điểm vật chất có khối lượng $m$ bằng một lực $F = \gamma \frac{m_0 m}{r^2}$. Cần khảo sát khả năng chuyển động của điểm vật chất này dưới tác dụng của trọng lực; có hai định luật bảo toàn: cơ năng và góc động lượng.

Định luật bảo toàn cơ năng tổng quát nói rằng năng lượng

$$E = E_K + E_n = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{m_0 m}{r}$$

(1)

duy trì một giá trị không đổi, nghĩa là tại bất kỳ thời điểm nào $E = E_0$, trong đó $E_0$ là năng lượng ban đầu

$$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0 m}{r}$$

(2)

*) Nói một cách chính xác, do lực hút lẫn nhau nên cả điểm vật chất và Trái đất sẽ chuyển động tương đối so với khối tâm chung của chúng. Nhưng vì khối lượng $m$ không đáng kể so với khối lượng $m_0$ nên Trái đất có thể được coi là bất động.

**) Bạn có thể đọc về cách tính thế năng trong trường hấp dẫn, chẳng hạn như trong bài viết của N. M. Speransky “Thế năng của các vật thể trong trường hấp dẫn”, «Kvant» Số 6, 1972.

Một phần, nó tuân theo $-\gamma \frac{m_0 m}{r} < E_0$ hoặc $\gamma \frac{m_0 m}{r} > -E_0$.

Nếu $E_0 < 0$ thì $r$ vẫn bị giới hạn. Người ta biết rằng trong trường hợp này và chỉ trong trường hợp này, điểm vật chất mô tả một hình elip, và một trong các tiêu điểm của nó trùng với tâm $O$ (định luật thứ nhất của Kepler). Do đó, tốc độ ban đầu $v_0$, mà $E_0 < 0$, được gọi là elip. Nếu $E_0 = 0$, điểm di chuyển dọc theo một parabol và tốc độ ban đầu tương ứng được gọi là parabol. Nếu $E_0 > 0$, chuyển động của điểm tuân theo một hyperbol và tốc độ được gọi là hyperbol.

Định luật bảo toàn động lượng góc *) (động lượng góc) là các đại lượng $L = mv\rho = mvr \sin \alpha$ (3)

(Hình 1)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán cụ thể liên quan đến chuyển động của một điểm vật chất dọc theo quỹ đạo hình elip.

2. Sự độc lập của hình elip lớn với hướng của vận tốc ban đầu

Các đề xuất được trình bày cho phép, với sự trợ giúp của các tính toán đơn giản,

*) Như đã biết, định luật bảo toàn này liên quan đến định luật thứ hai của Kepler.

Cơm. 1.

4

tìm bán trục lớn của elip.
Trên thực tế, đối với những khoảnh khắc khi một điểm vật chất chạm vào một trong các đỉnh $M_1$ hoặc $M_2$ của hình elip, tức là đi qua điểm cực điểm hoặc điểm cận điểm, đẳng thức $E = E_0$ cho

$$\frac{v_1^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_1,2} = \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0},$$

(4)

và đẳng thức $L = L_0$ cho

$$mv_1,2r_1,2 = mv_0r_0 \sin \alpha_0.$$

(5)

Loại bỏ $v_{1,2}$ khỏi biểu thức (4) và (5), chúng ta thu được phương trình bậc hai cho $r_{1,2}$:

$$\left( \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0} \right) r_{1,2}^2 + \gamma m_0 r_{1,2} - \frac{v_0^2 r_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2} = 0.$$

(6)

Hai nghiệm của phương trình này, $r_1$ và $r_2$, cho các giá trị $r_{1,2}$ tại điểm cực đại và điểm cận điểm. Vì bán trục lớn của hình elip là $a = \frac{1}{2} (r_1 + r_2)$ nên theo định lý Vieta từ (6) ta tìm được

$$a = - \frac{\gamma m_0}{2 \left( \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0} \right)} = \frac{\gamma m_0 r_0}{2 \gamma m_0 - r_0 v_0^2}.$$

(7)

Do đó, đối với khối lượng cố định của tâm thu hút, bán trục lớn của quỹ đạo hình elip của điểm vật chất được xác định bởi vị trí ban đầu của nó ($r_0$) và giá trị của tốc độ ban đầu ($v_0$), và không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào vào hướng của tốc độ này.

3. Bắt từ vị trí ban đầu đến vị trí được chỉ định.
   hình elip an toàn

Hãy giải quyết bài toán sau đây.
Hướng nào của vận tốc ban đầu phải được báo cáo tại một giá trị nhất định $v_0$ để điểm vật chất di chuyển từ vị trí ban đầu $M_0$ đến vị trí đã cho $M$?

Điểm $M$ phải nằm trên một hình elip nên vận tốc ban đầu có nghĩa là tìm

Đây là hướng của tiếp tuyến với hình elip tại điểm $M_0$. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất quang học của hình elip, theo đó vận tốc ban đầu phải được định hướng (theo hướng này hay hướng khác) dọc theo đường phân giác của góc kề với góc ($r_0, r'$) (Hình 2), trong đó $r_0$ và $r'$ là các vectơ bán kính được vẽ từ tiêu điểm đến điểm $M_0$.

Một trong các tiêu điểm của hình elip đã biết (trùng với điểm $O$) và tiêu điểm còn lại cần được xác định. Rõ ràng khoảng cách $r'$ và $r'$ từ điểm $M_0$ và $M$ đến tiêu điểm này thỏa mãn điều kiện

$$r_0 + r' = 2 a,$$

$$r + r' = 2 a.$$

Nó theo sau đó

$$r' = 2 a - r_0$$ và $$r' = 2 a - r,$$

nghĩa là, $r_0$ và $r'$ được thỏa mãn bởi vị trí của điểm $M_0$ và $M$ và độ lớn của tốc độ ban đầu. Do đó, tiêu điểm mong muốn nằm ở giao điểm của hai đường tròn có tâm tại các điểm $M_0$ và $M$ và có bán kính bằng $r'$ và $r'$ tương ứng.

Nếu khoảng cách là $M_0 M > r' + r' = 4 a - r_0 - r$ thì bài toán không có lời giải, vì các vòng tròn không giao nhau.

Nếu $M_0 M < r' + r'$ thì các đường tròn trên sẽ có hai giao điểm $F_1$ và $F_2$ như Hình 2, và bài toán sẽ có hai lời giải.

6

com về sự tiếp tục của trục trái đất (Hình 4).

Với các giá trị $v_0$ đủ nhỏ, hình elip an toàn sẽ giao với bề mặt trái đất theo một đường song song nhất định. Từ Hình 4, rõ ràng là trục chính của các hình elip an toàn, bằng $4a - r_0 = M_0M + R$, tăng khi góc tăng $\varphi$. Tại $\varphi = 180^\circ$
$$4a - r_0 = r_0 + 2R,$$
nghĩa là, $a = \frac{1}{2}(r_0 + R)$.

Từ đẳng thức (7) tìm được giá trị tương ứng của vận tốc ban đầu

$$\hat{v}_0 = \sqrt{\frac{2\gamma m_0 R}{r_0 (r_0 + R)}},$$
hoặc, cho rằng $\gamma m_0 = gR^2$,

$$\hat{v}_0 = \sqrt{\frac{2gR^3}{r_0 (r_0 + R)}}.$$

Đây là tốc độ ban đầu thấp nhất cho phép bạn chạm tới bất kỳ điểm nào trên bề mặt trái đất. Cụ thể, nếu $r_0$ tiến đến $R$, thì $\hat{v}_0$ có ​​xu hướng $\sqrt{gR}$, tức là về vận tốc thoát đầu tiên, điều này hoàn toàn tự nhiên. Với mức tăng $r_0$, tốc độ giết chết $\hat{v}_0$, điều này cũng hoàn toàn tự nhiên. Với $v_0 > \hat{v}_0$, bạn có thể đi đến bất kỳ điểm nào trên Trái đất theo hai quỹ đạo khác nhau và với $v_0 = \hat{v}_0$, điều tương tự cũng xảy ra với tất cả các điểm trên bề mặt trái đất ngoại trừ Nam Cực.

Bài tập

1. Tại $v_0 = v_{\text{параб}} (E_0 = 0)$ khoảng cách từ tiêu điểm $O$ của quỹ đạo parabol đến đỉnh $A$ của nó là

$$h = r_0 \sin^2 \alpha_0 = \frac{1}{2} r_0 (1 - \cos 2\alpha_0)$$

cơm. 5).

Xác minh rằng công thức này suy ra trực tiếp từ tính chất “quang học” của parabol: một chùm tia phẳng hướng vào gương parabol song song với trục của nó, sau khi phản xạ từ gương, sẽ tập trung tại tiêu điểm của nó.

Gợi ý. Đối với lời giải, hãy sử dụng định nghĩa cổ điển của parabol: parabol là quỹ tích của các điểm cách đều một điểm cho trước,

$$a = \frac{Qq r_0}{mr_0 v_0^2 + 2Qq}.$$