Kỳ thi toán ở các trường CHDC Đức

Kvant 1973, số 5 tr. 52-54 Thẻ YM39

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Chương trình giảng dạy và chương trình học ở mỗi quốc gia đều khác nhau. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nói về những đặc điểm của giáo dục ở các trường 10 năm và 12 năm ở CHDC Đức, về môn toán ở các trường này và về mức độ yêu cầu của các kỳ thi.

Hệ thống Giáo dục Xã hội Chủ nghĩa Thống nhất đang được triển khai thành công tại Cộng hòa Dân chủ Đức, luật được Phòng Nhân dân Cộng hòa thông qua năm 1965. Cùng với tất cả các chương trình giáo dục 10 năm, đào tạo ở các trường trung học mở rộng (12 năm), cũng như các cơ sở giáo dục trung học chuyên nghiệp và đại học, hệ thống này cũng cung cấp giáo dục kỹ thuật và dạy nghề rộng rãi.

Không có trường học nào “ngõ cụt” trong hệ thống này. Hiến pháp CHDC Đức (Điều 26) quy định rằng “nhà nước phải đảm bảo khả năng chuyển tiếp lên cấp độ giáo dục cao hơn tiếp theo… phù hợp với nguyên tắc thành công và nhu cầu xã hội”.

Lớp đầu tiên của các em TIỂU HỌC tròn 6 tuổi tính đến ngày 30 tháng 5 năm nay, tức là sớm hơn gần một năm so với các trường học của chúng ta. Nhưng khóa học toán ở các trường học của CHDC Đức khác biệt đáng kể so với khóa học ở các lớp tương ứng ở trường học Liên Xô. Ví dụ, chương trình toán lớp 5 của trường CHDC Đức gần như hoàn toàn trùng khớp với chương trình lớp 4 của chúng tôi.

Ở tầng lớp nông thôn, họ dành nhiều thời gian để tính toán tỷ lệ phần trăm và lập tỷ lệ bằng thước trượt; Trong cùng một lớp, việc trích xuất căn bậc hai và các phần tử của hình học mô tả được nghiên cứu. Lời giải phương trình bậc hai được thảo luận lần đầu ở lớp chín và khái niệm hàm lượng giác ở lớp mười. Nhìn chung, trường học 10 năm ở CHDC Đức chỉ đào tạo toán nhiều hơn một chút so với trường học 8 năm của chúng tôi. Hầu hết sinh viên tốt nghiệp 10 năm đều biết cách áp dụng kiến thức đã học: tính toán nhanh và chính xác theo thước trượt, tự tin sử dụng bảng và sách tham khảo. Nhưng lời giải văn bản đơn giản nhất bài toán đôi khi lại gây ra cho họ những khó khăn không thể vượt qua. Và một số phần quen thuộc với chúng ta hoàn toàn không được học trong một trường học mười năm: không có giới hạn, không xem xét lập trình viên, các phương trình lượng giác gần như không được giải - điều này được công nhận là tùy chọn cho chương trình giáo dục phổ thông mười năm và được chuyển sang một trường học mở rộng mười hai năm.

Ở trường mở rộng, 300 bài học được phân bổ cho việc học toán (5 bài học mỗi tuần ở lớp XI và XII). Ngoài các phần truyền thống, các chỉ dẫn toán học, lý thuyết giới hạn, đại số vectơ và hình học giải tích, cũng như các nguyên tắc cơ bản của phép tính vi phân và tích phân cũng được nghiên cứu - trong phạm vi năm đầu tiên của một số trường đại học của chúng tôi.

Hệ thống chấm điểm được áp dụng ở trường CHDC Đức rất thú vị. Đối với lời giải mỗi bài toán bắt đầu có vài điểm; nếu bài toán không được giải quyết hoàn toàn hoặc có sai sót thì số điểm sẽ bị giảm hoặc không được thưởng. Kèm theo nội dung bài viết môn toán lớp 10 (xem bên dưới) (chỉ dành cho giáo viên!) là hướng dẫn đánh giá. Nó nói rằng bài toán Số 1 có giá trị 6 điểm, mỗi điểm một điểm cho việc soạn phương trình thứ nhất, soạn phương trình thứ hai, loại bỏ một ẩn số, tìm số thứ nhất, tìm số thứ hai và kiểm tra.

bài toán còn lại được “coi trọng” theo cách tương tự; Tất cả các tác phẩm sẽ được đánh giá 40 điểm. Các hướng dẫn dưới đây mô tả trường học:

39 và 40 điểm - điểm “1” - “rất tốt”;

từ 32 đến 38 điểm – điểm “2” – khá;

từ 24 đến 31 điểm - điểm “3” - “đạt”;

từ 14 đến 23 điểm – chấm “4” – “đủ”;

từ 0 đến 13 điểm – đánh dấu “5” – “không đủ”.

Tác phẩm viết mỗi năm được đánh giá theo cách tương tự; đối với điểm đáp số vấn đáp hiếm khi được đưa ra (ngoài ra còn có các môn vật lý, hóa học, sinh học, lịch sử). Theo quy định, điểm “3” được chấm cho 60% và điểm “4” cho 33% hoàn thành bài toán. Điểm này cho phép bạn chuyển từ lớp này sang lớp khác, nhưng tuyệt đối loại trừ khả năng vào được trường 12 năm, đặc biệt là đại học.

Sau khi hoàn thành lớp 8, mỗi học sinh sẽ nhận được giấy giới thiệu học thêm.

Đồng thời, 15-20% học sinh giỏi nhất được đề xuất vào trường 12 năm, nếu hoàn thành chương trình này sẽ có quyền vào đại học (không cần thi, nhưng theo đề nghị của trường), 10-15% học sinh yếu nhất được đề xuất vào các trường dạy nghề 3 năm, nơi cung cấp chương trình giáo dục chuyên ngành và tổng quát 10 năm. Số còn lại tiếp tục học ở lớp XI và X.

Phần lớn học sinh tốt nghiệp 10 năm vào học chương trình chuyên nghiệp 2 năm

các trường cuối cùng chuẩn bị việc làm có tay nghề; Nhiều trường trong số này còn có các khoa đào tạo 3 năm, không chỉ cung cấp bằng cấp nghề nghiệp mà còn cung cấp chương trình giáo dục trung học hoàn chỉnh, tương đương với chương trình học 12 năm.

Những sinh viên tốt nghiệp xuất sắc nhất của các trường dạy nghề hoặc công nghiệp có thể được nhận vào các “trường kỹ thuật” ba năm - giống như các trường kỹ thuật của chúng tôi. Họ chuẩn bị những bằng cấp chuyên môn hơn – kỹ thuật viên, nhà kinh tế, cơ khí, thợ xây dựng (trái ngược với “kỹ sư có bằng tốt nghiệp” – sinh viên tốt nghiệp đại học).

Dưới đây là bài toán, được đưa ra vào năm 1972 trong các kỳ thi viết môn toán cho một khóa học kéo dài 10 năm (ở các trường đại chúng, buổi tối và dạy nghề - cùng một lựa chọn). Chúng tôi khuyến khích học sinh lớp 9 làm bài này *).

Sau đây là một trong những lựa chọn thi cho bài thi của một khóa học mười năm. Nó có thể được thực hiện bởi những học sinh lớp 10 đã quen thuộc với các yếu tố của phép tính vi phân và tích phân và tất nhiên là bởi học sinh các trường vật lý và toán học.

Để hoàn thành mỗi nhiệm vụ này, bài thi sẽ kéo dài 4 bài (180 phút).

Đề thi cuối kỳ môn toán (lớp 10)

Bài toán là bắt buộc lời giải

Tổng của hai số là 4. Nếu nhân ba số thứ nhất và giảm gấp đôi số thứ hai thì được 52. Hãy tính các số này. Hãy kiểm tra.
Nhà bếp của nhà máy điện chuẩn bị 600 suất ăn mỗi ngày với món ăn kèm khoai tây. Mỗi khẩu phần cần 250 g khoai tây.

a) Cần bảo quản bao nhiêu tấn khoai tây trong 30 ngày?

Theo quyết định của Đại hội SEPP lần thứ VIII, để phục vụ tốt hơn cho người lao động làm ca đêm, cần chuẩn bị thêm 150 suất ăn mỗi ngày. Khoai tây được lưu trữ sẽ kéo dài bao nhiêu ngày?

Vào ngày 17 tháng 11 năm 1970, trạm quốc tế Liên Xô “Luna-17” đã đưa phương tiện tự hành đầu tiên “Lunokhod-1” lên Mặt trăng. Từ điểm đầu tiên của câu A, Lunokhod đi một đoạn dài 82 m đến điểm B, sau đó rẽ một góc 91,2° ngược chiều kim đồng hồ và đi qua một đoạn mới dài 96 m đến điểm C. Tính (dùng thước trượt) khoảng cách từ điểm A đến điểm cuối cùng C.

*) Bài toán Chúng tôi không công bố số 5 từ tác phẩm này. Đối với cô ấy lời giải bạn cần thông tin từ khóa học hình học mô tả, thông tin này không có ở các trường của chúng tôi.

Hai hàm được cho bởi phương trình của chúng:

$y_1 = f_1(x) = 2x + 1;$
$y_2 = f_2(x) = x^2 + 2x - 3.$

a) Xây dựng đồ thị hàm số thứ nhất thẳng hàng trong hệ tọa độ mới.

b) Tính nghiệm của hàm này *).

b) Đồ thị của hàm số thứ hai là parabol. Tính tọa độ đỉnh của nó và vẽ đồ thị hàm số này trên cùng một bản vẽ.

d) Tính nghiệm của hàm số thứ hai.

d) Đồ thị dữ liệu hàm số giao nhau tại các điểm P1 và P2. Tìm tọa độ giao điểm.

a) Tính 12,5% của 528 ha.

Tìm tất cả các góc x trong khoảng 0° ≤ x ≤ 360° sao cho sin x = 0,6600.

b) Tích của hai số khác nhau ở số thứ ba là x. Biểu diễn sự tương ứng này ở dạng đẳng thức bằng cách sử dụng ký hiệu chữ cái.

d) Biến đổi công thức tính thể tích hình nón $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$ bằng cách cho r tương đối bằng nhau.

Bài toán tùy chọn

Giải một trong bài toán 7.1, 7.2, 7.3.

7.1. Chứng minh các khẳng định sau:

a) Tổng gót của các số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5.

Nếu ít hơn những số này là số chẵn thì tổng đó được chia cho 2.

7.2. Từ một tấm hình nguyên thủy, kích thước 50x20 cm, bạn cần làm một chiếc hộp mở có hình dạng song song nguyên thủy. Để làm điều này, các hình vuông được cắt ra từ cạnh x ở bốn góc của tờ giấy (Hình 1). Cạnh sơn ở các cạnh a và b chính là đáy (đáy) của hộp.

a) Tính diện tích ngày tại x = 1,5.

Tìm x biết diện tích là 400 cm2. Tính a và b cho trường hợp này.

*) To là giá trị của x mà tại đó hàm số trở thành 0.

7.3. Cho một bất đẳng thức tuyến tính
$\frac{8(2x+1)}{5} < 3x+2.$
a) Giải bất đẳng thức trong miền số thực.
b) Xác định tập hợp (liệt kê các phần tử của tập hợp):

đặt $M_1$ lời giải bất đẳng thức trong miền số tự nhiên;
đặt $M_2$ lời giải bất đẳng thức trong miền số nguyên tuân theo $-4 < x < 1$ ;
tập hợp $M$ của tất cả các phần tử có trong cả tập hợp $M_1$ và tập hợp $M_2$ .

Kỳ thi tuyển sinh viết môn toán

Nhiệm vụ bắt buộc lời giải

Cho một tứ giác có các đỉnh $A(1; 2), B(9; 8), C(6; 12), K(2; 9)$ .
a) Vẽ tứ giác này trong hệ tọa độ chữ nhật.
b) Viết phương trình đường thẳng $AB$ và $KC$ và chứng minh rằng $AB$ song song với $KC$ .
b) Tính góc $BAK$ .
g) Tìm hoành độ của điểm $P$ trên trục $Ox$ sao cho $BPA = 90^\circ$ .
Đã cho phương trình hình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ .
a) Vẽ một hình elip bằng cách sử dụng các điểm tại $a = 5$ và $b = 4$ (tìm ít nhất ba điểm trong mỗi hình vuông).
b) Tìm thể tích $V_x$ và $V_y$ của các hình elip thu được bằng cách xoay hình elip đã cho quanh trục $Ox$ và $Oy$ ; áp dụng phép tính tích phân.
b) Chứng minh rằng tỉ số của các thể tích này là $V_x: V_y = b: a$ .
Trong lý thuyết điều chỉnh tự động gặp phải hàm $y = f(t) = -t^3 + 9t^2$ . Khám phá hàm này trên khoảng $0 \leq t \leq 6$ .
a) Tìm trong khoảng này hoành độ $t_0$ các điểm uốn của đồ thị hàm số; Đồng thời tính tọa độ $y_0$ của điểm uốn.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm uốn.

Hình 2.

b) Tính tọa độ giao điểm của tiếp tuyến này với trục $t$ .
g) Chứng minh rằng mọi hàm số xác định bởi phương trình dạng $y = f(x) = Ax^3 + Bx^2 (A \neq 0, B \neq 0)$ đều có giá trị cực trị tại $x = 0$ .
4. Từ tấm sắt thu được có bán kính $4\Delta m$ , cần phải cắt một hình thang cân có diện tích lớn nhất (Hình 2).
a) Biểu thị diện tích hình thang dưới dạng hàm của biến $x$ .
6) Xác định giá trị $x$ khi diện tích đạt giá trị lớn nhất (không sử dụng đạo hàm bậc hai để tìm cực trị).

Nhiệm vụ bạn chọn
Giải một trong bài toán 5.1, 5.2, 5.3.
5.1. Phương trình của hyperbol $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ đã cho.
a) Tìm tọa độ của tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ và các đỉnh $A_1$ và $A_2$ .
b) Kiểm tra xem các điểm $P_1(5; 9/4)$ và $P_2(5; -9/4)$ có nằm trên hyperbol không.
b) Xây dựng một hyperbol (sơ đồ).
g) Đường thẳng $m$ đi qua các điểm $A_1$ và $P_1$ , đường thẳng $n$ đi qua các điểm $A_2$ và $P_2$ . Tìm phương trình của các đường thẳng này và tính tọa độ giao điểm của chúng $K$ .
d) Kiểm tra xem điểm $K$ có nằm trên hình elip có tâm và nửa điểm $a$ và $b$ giống với các điểm của hyperbol đã cho hay không.
5.2. Đáy của các đường thẳng $SABC$ là tam giác vuông $ABC$ có các hình vuông $AC = 4$ cm và $BC = 6$ cm; cạnh $SC$ vuông góc với mặt phẳng đáy và bằng $8$ cm.
a) Chọn hệ tọa độ và xác định tọa độ các đỉnh của các đường thẳng trong đó.
b) Tính tọa độ trung điểm của các cạnh $AB, AC$ và $SC$ – điểm $M_1, M_2$ và $M_3$ .
b) Viết phương trình đường thẳng $M_1M_3$ trong hệ tọa độ đã chọn; tính góc tạo bởi đường thẳng này với cạnh $SC$ (sử dụng thước trượt).
g) Viết phương trình mặt phẳng xác định bởi đường thẳng $M_1M_3$ và điểm $M_2$ .
5.3. Cho hàm $y = e^{-0.5x}$ trong khoảng $-4 \leq x \leq 4$ .
a) Xây dựng đồ thị của hàm số này bằng cách xác định tọa độ của ít nhất ba điểm.
b) Tại giao điểm của đường cong với trục $Oy$ , dựng một tiếp tuyến và viết phương trình của nó.
b) Chọn một điểm $P(x_1; y_1)$ trên đồ thị của hàm số này, hoành độ của nó là $x_1 > 0$ và vẽ một đường thẳng đứng đi qua điểm này. Đường thẳng dựng sẵn và đồ thị của một hàm số và các trục tọa độ đã cho xác định một hình thang phi tuyến cong nhất định; Hãy biểu thị diện tích của nó bằng $S$ . Chứng minh rằng $S = 2(1 - y_1)$ .

A. Y. Halamizer