khối đa diện đều

26

Các khối đa diện đều - tứ diện, bát diện, lục giác (khối lập phương), khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt - thường được gọi là khối Platonic *).

Chất rắn Platon được thảo luận trong sách giáo khoa ở trường, kể cả trong sách giáo khoa “Hình học” của A.P. Kiselev, phần hai.

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa về một khối đa diện đều trong sách giáo khoa này: “Một khối đa diện được gọi là đều nếu tất cả các mặt của nó là các đa giác đều bằng nhau và tất cả các góc đa diện đều bằng nhau”. Từ định nghĩa này, suy ra rằng trong các khối đa diện đều mọi góc phẳng, mọi góc nhị diện và mọi cạnh đều bằng nhau. Sách giáo khoa chứng minh rằng không thể có khối đa diện đều nào khác ngoại trừ các khối Platonic (xem trang 4 của bìa).

Bằng chứng được đưa ra đầy đủ. Tuy nhiên, không phải có năm khối đa diện đều mà là chín khối. Bạn nhìn thấy chúng trên trang bìa tạp chí của chúng tôi. Thực tế là bốn khối đa diện còn lại (chúng ta sẽ gọi thêm là hình ngôi sao) có các mặt giao nhau với các đa giác đều và đối với hai trong số chúng, mỗi mặt là một đa giác tự giao nhau. Các đa giác và khối đa diện như vậy bị loại khỏi việc xem xét trong khóa học của A.P. Kiselev, mặc dù định nghĩa trên về khối đa diện đều, cũng như hệ quả tất yếu của nó, vẫn có hiệu lực.

Bây giờ một nguồn nhỏ. Khối đa diện hai sao được xây dựng bởi Johannes Kepler (1571–1630). Chỉ nhiều năm sau, nhà hình học người Pháp Louis Poinsot (1777-1859) đã chỉ ra sự tồn tại của hai khối đa diện hình sao đều.

*) Nhà triết học Hy Lạp cổ đại Plato (427-347 TCN), người đã đề cập đến các khối đa diện đều trong một trong những tác phẩm của mình, thực ra không phải là người phát hiện ra chúng. Khối tứ diện, lục giác và khối mười hai mặt đã được biết đến từ rất lâu trước Plato. Ví dụ, trong quá trình khai quật, người ta đã tìm thấy một mô hình khối mười hai mặt, từng là đồ chơi của trẻ em cách đây hơn 2.500 năm.

27

cov. (Tất cả các khối đa diện bốn sao đều được trình bày ở trang 2 của trang bìa.) Poinsot không thể chứng minh rằng không có khối đa diện đều nào khác.

Một năm sau (1811), nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy (1789-1857) đã làm được điều này. Ông đã lợi dụng thực tế là, theo định nghĩa của một khối đa diện đều, nó có thể được xếp chồng lên chính nó sao cho một mặt tùy ý của nó trùng với một mặt đã chọn trước đó. Từ đó suy ra rằng tất cả các mặt của khối đa diện sao đều cách đều nhau từ một điểm nhất định - tâm của hình cầu nội tiếp trong khối đa diện.

Các mặt phẳng của các mặt của một khối đa diện sao, giao nhau, cũng tạo thành một khối đa diện lồi đều, tức là một khối Platonic được mô tả xung quanh cùng một hình cầu. Ksshi gọi khối Platonic này là lõi của khối đa diện hình sao này. Do đó, có thể thu được một khối đa diện sao bằng cách tiếp tục các mặt phẳng của một trong các khối Platonic.

Bất kỳ chất rắn Platonic nào có thể đóng vai trò là lõi của một khối đa diện hình sao thông thường không? Để hiểu điều này, chúng ta hãy chuyển sang các góc đa diện của một khối đa diện hình sao. Các góc phẳng của một góc đa diện như vậy bằng nhau và nhờ tỷ lệ tương ứng với hai góc cạnh nên chúng có thể kết hợp với nhau bằng cách quay góc đa diện quanh trục đi qua đỉnh của nó. Đồng thời, để các góc phẳng thẳng hàng và khớp với các cạnh của lõi, hãy xoay nó cùng với khối đa diện sao.

Hình 1, 2 và 3 làm nổi bật các mặt của hạt nhân - khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt, chúng tạo ra lẫn nhau trong quá trình quay như vậy và hiển thị các góc đa diện mà sự tiếp tục của các mặt dẫn tới.

Hình 4 xét trường hợp khi sự tiếp tục của các cạnh của một khối đa diện đều, một khối bát diện, dẫn đến sự hình thành không phải một mà là hai khối đa diện đều - các khối tứ diện giao nhau.

Hãy tự chứng minh rằng không có phép quay nào khác của các khối Platonic và sự kéo dài tương ứng của các mặt của chúng dẫn đến sự hình thành các khối đa diện đều mới.

V. N. Berezin