[Giới thiệu về động cơ hơi nước của Senern và Newcomen]

Kvant 1973, số 12 tr. 1, 3, 4, 5, 6, 7 Thẻ QH7I

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

“Vào đầu thế kỷ 18, Severney và Newcomen người Anh đã chế tạo một máy bơm nước từ mỏ lanh đá. Nó được trình bày trong hình vẽ. Ở đầu b, hơi nước được tạo ra, đi qua ống e vào xi lanh d và nâng pít-tông lên; khi pít-tông lên tới đỉnh, đóng vòi e, mở h và qua ống tôi phun một dòng nước lạnh từ bể n vào xi-lanh, làm dập tắt hơi; tạo ra một khoảng trống bên trong xi-lanh - pít-tông giảm do áp suất khí quyển; nước do tia hơi nước tạo ra và phun ra khỏi bình chứa n được thoát ra qua ống m. Do đó, bằng cách mở và đóng các van e, h, m, bạn có thể làm cho pít-tông chuyển động lên xuống. Pít-tông có một thanh được nối bằng dây xích với một tay đòn, có một điểm tựa ở giữa và được gắn một thanh bơm để bơm nước ra khỏi mỏ lanh đá.

Mô tả này về một trong những động cơ hơi nước đầu tiên đã được đưa ra trong cuốn sách “Sổ tay Vật lý” do A. Malinny và K. Bureny biên soạn. Ấn bản thứ bảy của cuốn sách này dành cho các trường học thực sự và hypnasium được xuất bản vào năm 1883.

Nguyên lý hoạt động của động cơ nhiệt được mô tả trong số tạp chí này của chúng tôi trong một bài báo của Yu. I. Sokolovsky (xem trang 12).

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kioin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillia.
nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky.
phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. I. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
I. B. Mamulova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG

2 L. A. Kaluzhkin. Nhân kỷ niệm 100 năm lý thuyết tập hợp
Georg Cantor
9 D. B. Fuks, M. B. Fuks. Xấp xỉ xuyên tâm và
siêu việt
12 Yu. I. Sokolovsky. Máy nhiệt
21 O. A. Zhautykov. Trên ranh giới của các nghiệm của phương trình bậc ba
24 V. N. Berezin. Mắt nhìn thấy gì?

câu lạc bộ toán học
26 Yu. P. Lysov. Những con số nào lớn hơn?

Sách vấn đề «Kvant»
29 Bài toán M236—M240; F248—F252
31 Lời giải bài toán M179, M196—M199; F208—F210

Xưởng của người nộp đơn
39 Vâng. I. Grudenov. Tìm kiếm lời giải bài toán
45 A. N. Borzak, V. I. Davydov, P. T. Dybov, I. I. Naslu-
gọi. Truyền hình đang chuẩn bị vào đại học

Thông tin
46 L. Novikova, V. Streltsov. Đa giác của cấu trúc logic
49 I. G. Venetsky, Yu. Tôi. Sorkin. Olympic Toán MESI lần thứ IV
50 V. V. Aleksadrov. Dạy toán ở cấp độ dự bị
khoa telny của các trường cao đẳng
52 V. N. Berezin, M. L. Smolyansky. Thư của chúng tôi

«Kvant» cho học sinh nhỏ
54 Bài toán
55 V. M. Rosenthiler. Đồng hồ-lịch

Đáp số, gợi ý, lời giải
59 Xuất bản 1973
63 Bảng câu hỏi

Góc sưu tầm
(trang bìa thứ 3)
V. A. Leshkovtsev. Gói hàng đầu tiên tới sao Hỏa

Trộn (tr. 8, 20, 23, 28, 38)

Nhân kỷ niệm 100 năm lý thuyết tập hợp của Georg Cantor

Nếu muốn cây ra nhiều trái hơn bình thường, bạn không cần phải làm gì với cành của nó mà cần xới đất và lấp đất mới dưới gốc.

Francis thịt xông khói

Vào cuối thế kỷ 19, để giải tích toán học - lĩnh vực trung tâm của toán học thuần túy và ứng dụng - cần phải làm rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản như hàm số, phi lông, hội tụ. Để làm được điều này, cần phải xác định nghiêm ngặt thế nào là số thực và hơn nữa, thế nào là số tự nhiên.

Bộ câu hỏi này trước hết đã được giải quyết thành công bởi các nhà toán học người Đức K. Weierstrass (1815-1897), G. Cantor (1845-1918) và R. Dedekind (1831-1916). Công trình của họ đã lấp đầy nền tảng của phân tích hiện đại.

Cần lưu ý rằng tình hình chung phát triển vào thời điểm đó có lợi cho việc phát triển những ý tưởng mới, hiệu quả trong khoa học.

Vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, quá trình khoa học đã cải tổ những ý tưởng cũ trong mọi lĩnh vực kiến thức. Đồng thời, những ý tưởng mới được sinh ra bên ngoài những lời dạy cũ.

Giờ đây chúng ta - những người chứng kiến cuộc cách mạng khoa học công nghệ - không còn ngạc nhiên trước biểu hiện như vậy của

*) G. Kantor sinh ra ở St. Petersburg năm 1845. Ở Đức - bằng tuổi. Năm 1867, ông tốt nghiệp Đại học Berlin. Đóng góp chính của G. Cantor cho khoa học là việc tạo ra lý thuyết tập hợp.

Chết 1918

Lovech thiên tài, thích du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử hoặc máy tính. Chất lượng này xúc phạm chúng tôi. Và rất ít người tưởng tượng được những đóng góp to lớn của các nhà khoa học cho kho tàng khoa học thế giới.

Để theo dõi con đường phát triển của khoa học và công nghệ hiện đại và có thể thấy trước sự phát triển hơn nữa của chúng, chúng ta cần quay trở lại cội nguồn.

Những thành tựu cơ bản lớn nhất của khoa học, chẳng hạn như việc phát hiện ra thuyết tương đối hay sự xuất hiện của điều khiển học, có thể thực hiện được không chỉ do khối lượng kiến thức khoa học tăng lên mà còn nhờ việc xem xét lại một cách có phê phán những khái niệm cơ bản và hấp dẫn nhất.

Trong phân tích toán học, các định nghĩa cơ bản cũng trải qua quá trình khái quát hóa cực độ, “… các hàm có các thuộc tính và thuật toán sai lệch nhất đã được nghiên cứu… Điều này chỉ có nhà toán học mới có thể chuyển đổi hoặc suy biến phân tích toán học thành “các hàm lâm sàng và bệnh lý”, hoặc dòng chính xác của một hàm đã trở thành ngoại lệ hiếm nhất” (N. N. Luzin). Với những đòn đe dọa từ những lời chỉ trích về nền tảng của phân tích toán học, việc tái cấu trúc toàn bộ ngành khoa học toán học đã bắt đầu.

Kết quả của việc hoàn thiện hơn nữa nền tảng của phân tích vào cuối thế kỷ 19 là một chức năng mới đã xuất hiện

lĩnh vực tinh thần của toán học - lý thuyết tập hợp. Sự hình thành của nó diễn ra trong bầu không khí chỉ trích gay gắt, đặc biệt là từ L. Kronek*). Sự chỉ trích là do quan điểm táo bạo của Cantor, đi ngược lại truyền thống lâu đời. Nhưng điều này không thể ngăn cản việc áp dụng hiệu quả lý thuyết mới vào nhiều ngành toán học. Kể từ đầu thế kỷ 20, lý thuyết tập hợp đã trở thành nền tảng của tất cả các ngành toán học, và hiện nay các phương pháp và khái niệm của nó đang dần thâm nhập vào toán học phổ thông. Điểm khởi đầu của môn khoa học này không khó hơn điểm khởi đầu của đại số và hình học số học hoặc sơ cấp. Tuy nhiên, nếu chúng không được biết đến rộng rãi, thì điều này là do lý thuyết tập hợp xuất hiện tương đối gần đây - chỉ một vài năm trước. Người sáng lập nó là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất - Georg Cantor. Chúng ta thậm chí có thể đặt tên chính xác cho “ngày sinh” của môn khoa học này - ngày 7 tháng 12 năm 1873. Vào ngày này, Cantor đã chứng minh được tuyên bố không hề tầm thường đầu tiên về các tập hợp vô hạn - “meorem về tính phi thực của tập hợp số thực”. Vì vậy, con đường đã được mở ra cho việc xây dựng một ngành toán học lớn mới - học thuyết về tập hợp vô hạn. Chúng ta biết điều này xảy ra như thế nào qua thư từ của Kantor với Dedekind. Đối với chúng tôi, có vẻ như một câu chuyện về điều này với những đoạn trích từ những bức thư của Kantor chắc chắn sẽ được độc giả của chúng tôi quan tâm.

Đầu những năm 70, một giáo sư trẻ đã tròn 100 tuổi. Tại Đại học cổ Đức ở Halle, Georg Cantor đã nghĩ về sự tồn tại của các số tự nhiên mà chúng ta thu được khi đếm các vật thể trong một loại tập hợp hữu hạn nào đó, và liệu các tập hợp vô hạn, chẳng hạn như tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng hay tập hợp tất cả các số nguyên, có thể gán một số “số” có bản chất chưa được biết đến hay không. Sự quan tâm của Cantor đối với những câu hỏi như vậy nảy sinh dưới ảnh hưởng của người thầy của ông, Giáo sư Weierstrass. Chúng tôi đã nói rằng sự chú ý của các nhà toán học vĩ đại nhất tập trung vào các số thực. Điều này được giải thích bởi thực tế là, trong ước tính cuối cùng, chính định nghĩa không đủ chính xác về số thực là gì đã gây ra những khó khăn nảy sinh trong quá trình phân tích. Dần dần, các nhà toán học ở thời đại này chuyển sang các khái niệm ngày càng đơn giản hơn: từ số thực đến số hữu tỷ, số nguyên và cuối cùng là số tự nhiên.

Có thể giả định rằng không nên quy giản các số tự nhiên thành những khái niệm đơn giản hơn. Một số nhà toán học vẫn giữ quan điểm này. Nhưng có rất nhiều điều để nói về thực tế rằng khái niệm số tự nhiên không phải là đơn giản nhất: có những khái niệm đơn giản hơn, trực quan hơn. Một đứa trẻ không nắm vững khái niệm này ngay lập tức mà học nó dần dần. Qua phân tích ngôn ngữ, người ta biết rõ rằng các số tự nhiên phổ biến xuất hiện khá muộn. “Phát minh” của họ chỉ có tầm quan trọng tương đương với việc phát minh ra chữ viết. Trong thời gian cho phép (tương tự

Hiện tượng tương tự có thể được quan sát thấy ở một số bộ lạc ngay cả ngày nay) người ta chỉ điền các số “1”, “2”, đôi khi cũng là “3”, và sau đó đến “nhiều”, “bóng tối”.
Chưa hết, không biết đếm, người ta có thể trả lời câu hỏi trong hai tập hợp nào có phần tử lớn nhất. Tất nhiên, trong trường hợp này, nhiều yếu tố cụ thể có thể so sánh được: số lượng vật nuôi, quy mô quân đội, v.v. Phương pháp so sánh một tập hợp này được gọi là thiết lập sự tương ứng một-một. Đây là những gì nó sẽ bao gồm.

Giả sử chúng ta có hai tập hữu hạn $M_1$ và $M_2$ . Các phần tử của tập thứ nhất sẽ được biểu thị bằng chó và các phần tử của tập thứ hai sẽ được ký hiệu là mèo. Để so sánh các bộ này, hãy làm như sau: trích xuất một phần tử từ mỗi bộ và so sánh chúng với nhau, tạo thành các cặp (xem hình).

Nếu chó và mèo kết thúc cùng một lúc, thì chúng ta nói rằng có sự tương ứng một-một giữa các tập hợp $M_1$ và $M_2$ và rằng các tập hợp này chứa cùng số phần tử (chúng bằng nhau hoặc tương đương về mặt số lượng). Thật dễ dàng để tưởng tượng một tình huống khác: một số phần tử của bộ $M_1$ bị bỏ lại mà không có hướng dẫn. Khi đó chúng ta nên giả sử rằng tập hợp $M_1$ chứa nhiều phần tử hơn tập hợp $M_2$ . Rõ ràng là quy trình so sánh các tập hợp hữu hạn được mô tả không yêu cầu khái niệm “số tự nhiên”. Ngược lại, khái niệm tương ứng một-một có vẻ đơn giản hơn và dựa vào đó có thể định nghĩa khái niệm “số tự nhiên”.

Các nhà toán học và logic học trong nhiều thế kỷ qua (G. Fregg, B. Russell và những người khác) đã đề xuất thực hiện điều này trên cơ sở lý luận gần đúng sau đây.

Chúng ta hãy chia tất cả các tập hợp hữu hạn thành các lớp sao cho mỗi lớp chứa những tập hợp đó và chỉ những tập hợp tương đương với nhau, bất kể bản chất của các phần tử tạo thành tập hợp đã cho. Khi đó, tính chất chung đặc trưng cho tất cả các tập hợp hữu hạn từ bất kỳ lớp nào được định nghĩa là số phần tử trong các tập hợp của lớp này. Vì vậy, ví dụ, 5 là tính chất chung mà mọi tập hợp hữu hạn đều có, tương đương với tập các ngón tay trên bàn tay phải của tôi. Từ những điều trên, có thể thấy rõ cách so sánh các số được xác định theo cách này “theo kích thước”. Đặt $m_1$ và $m_2$ là hai số tự nhiên và $M_1$ và $M_2$ là hai tập hợp đặc trưng cho các số này. Nếu $M_1$ và $M_2$ không tương đương và có sự tương ứng một-một giữa $M_1$ và một phần nào đó của tập hợp $M_2$ , thì $m_1 < m_2$ . Vì vậy, chúng ta đã định nghĩa khái niệm “số tự nhiên” và các tính chất của các số này ( $n_1 = n_2; n_1 < n_2; n_1 > n_2$ ).

Nhưng với phương pháp so sánh này, không cần thiết phải giả định rằng các tập hợp $M_1$ và $M_2$ là hữu hạn. Vì vậy, Kantor gặp vấn đề

ý tưởng rằng theo cùng một cách tất cả các tập hợp vô hạn có thể được chia thành các lớp.

Tất cả các tập hợp thuộc cùng một lớp, nghĩa là có cùng lũy thừa, được gọi là lũy thừa như nhau.

Sau đó, tất cả các tập hợp trong một lớp tương ứng với một số nhất định, được gọi là số đếm hoặc số lượng bản số.

Từ đó có thể thấy rõ lũy thừa là sự khái quát hóa của khái niệm số tự nhiên.

Ví dụ đơn giản nhất về tập hợp vô hạn là tập hợp $N$ của tất cả các số tự nhiên. Pozny Cantor bắt đầu so sánh các tập hợp vô hạn khác nhau với tập hợp $N$ . Rõ ràng là đối với nhiều tập hợp vô hạn, việc thiết lập sự tương ứng một-một với tập hợp này là khá dễ dàng. Ví dụ: hãy xem xét $N_2$ , tập hợp tất cả các số chẵn dương. Mặc dù thực tế rằng $N_2$ là một phần của $N$ , nhưng sự tương ứng một-một có thể được thiết lập giữa $N_2$ và $N$ : số $2n$ , có trong bộ $N_2$ , có thể so sánh với số $n$ , có trong bộ $N_1$ . Rõ ràng là sự tương ứng như vậy sẽ là một-một. Lúc đầu, có vẻ nghịch lý khi có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa một tập hợp và phần của nó: xét cho cùng, đối với các tập hợp hữu hạn, tình huống như vậy là không thể. Nhưng cuộc tranh luận về vấn đề này đã nảy sinh khá nhanh chóng - người ta đã xác định rằng đối với một tập hợp vô hạn $A$ , người ta luôn có thể chỉ định một tập hợp con $B$ sao cho có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa $A$ và $B$ . Dedekind thậm chí còn đề xuất coi đây là định nghĩa của một tập hợp vô hạn.

Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là thực tế là có sự tương ứng một-một giữa tập hợp tất cả các số hữu tỷ dương và tập hợp $N$ . Tuy nhiên, việc chỉ định một sự tương ứng như vậy không quá khó khăn. Hãy thử tự mình làm điều đó *).

Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên: có vô số tập hợp mà sự tương ứng một-một với $N$ là không thể không?

Nếu không có những tập hợp như vậy thì mọi tập hợp vô hạn sẽ có lũy thừa như nhau, và khái niệm số đếm (đối với các tập hợp vô hạn) sẽ mất hết ý nghĩa—nó sẽ giống nhau đối với mọi tập hợp vô hạn.

Vào đầu những năm 1970, Cantor nghi ngờ rằng một tập hợp vô hạn, không bằng tập hợp $N$ các số tự nhiên, là tập hợp $R$ của tất cả các số thực (hoặc thậm chí là tập hợp tất cả các số thực của bất kỳ khoảng nào - ví dụ: tập hợp tất cả các số của khoảng [0, 1]). Nhưng làm thế nào điều này có thể được chứng minh? Thật vậy, trong tất cả các trường hợp được xem xét ở trên, chứng minh trạng thái trong việc tìm một số toán tử của ánh xạ một-một được xác định rõ ràng. Trong trường hợp này, cần phải chứng minh rằng việc xây dựng một bản đồ như vậy là không thể. Các phát biểu thuộc loại này được gọi là “định lý bất khả thi” và chứng minh của chúng thường yêu cầu bình phương đường tròn và chia ba một góc, hoặc chứng minh sự bất khả thi của lời giải phương trình đại số cấp lớn hơn bốn bằng cách sử dụng các phép toán cộng, nhân, trừ, chia và lấy nghiệm của nhiều lũy thừa khác nhau). Công trình của Cantor về việc chứng minh số lượng bất đẳng thức của tập hợp số thực và tập hợp số tự nhiên $N$ được trích ra một cách chi tiết từ thư từ của ông với Dedekind. Dưới đây là một số đoạn trích từ thư từ này:

*) Nếu chưa thành công, hãy đọc bài “Số nào lớn hơn?” (trang 26). gợi ý được đưa ra trong đó sẽ giúp bạn đối phó với nhiệm vụ này.

“Halle, ngày 29 tháng 11 năm 1873
… Hãy để tôi gửi cho bạn một câu hỏi mà tôi quan tâm về mặt lý thuyết, nhưng tôi không thể tìm thấy đáp số. Có lẽ bạn có thể làm được điều này và sẽ thật tử tế khi viết thư cho tôi về nó. Chúng ta đang nói về những điều sau đây.

Hãy xem xét tập hợp tất cả các đối tượng số nguyên dương và biểu thị nó bằng $(n)$ . Ngoài ra, hãy xem xét tập hợp tất cả các số thực dương và biểu thị nó bằng $(x)$ . Câu hỏi chỉ đơn giản là liệu có thể đặt sự tương ứng $(n)$ và $(x)$ sao cho mỗi cá thể của một quần thể sẽ được trả lời bởi một và chỉ một cá thể của quần thể kia hay không.

Thoạt nhìn, có vẻ như không - điều này là không thể, vì $(n)$ bao gồm các phần riêng biệt và $(x)$ tạo thành một thể liên tục. Nhưng lập luận như vậy chẳng mang lại kết quả gì, và cho dù tôi có khuynh hướng tin rằng $(n)$ và $(x)$ không cho phép sự tương ứng một-một, thì tôi cũng không thể tìm ra lý do cho điều này, và đó chính xác là điều tôi cần. Có lẽ lý do khá đơn giản.

Chẳng phải thoạt nhìn bạn có xu hướng cho rằng $(n)$ không thừa nhận sự tương ứng một-một với tập hợp $(p/q)$ của tất cả các số hữu tỷ dương và tuy nhiên nó không hề khó để chứng minh…》(điều này là như vậy. - L.K.).

Vào ngày 29 tháng 11 năm 1873, trong nhật ký của Dedekind, nơi ông ghi lại nội dung những bức thư ông nhận được về các chủ đề khoa học và suy nghĩ của ông về chúng, có đoạn sau: “… Tôi trả lời ngay với ông rằng tôi không thể giải được câu hỏi đầu tiên của ông, nhưng đồng thời tôi đã trình bày và chứng minh hoàn toàn định lý rằng ngay cả tổng của tất cả các số đại số cũng có thể so sánh theo cách đã chỉ ra với tổng $(n)$ số tự nhiên…”

Và đây là bức thư đề ngày 2 tháng 12.

“… Hôm nay tôi rất vui khi nhận được đáp số của bạn trong tin nhắn cuối cùng của tôi. Tôi đặt câu hỏi cho bạn vì trong nhiều năm nay tôi đã nghi ngờ liệu những khó khăn nảy sinh trước mắt tôi có phải là những khó khăn thuần túy chủ quan hay chúng có liên quan đến bản chất của vấn đề. Vì bạn viết cho tôi rằng bạn không thể trả lời được nên tôi có thể cho rằng điều sau là đúng…”

Và cuối cùng là một lá thư đề ngày 7 tháng 12 năm 1873.

“… Trong những ngày gần đây, tôi đã có thời gian suy nghĩ sâu sắc hơn về giả thuyết đã được bày tỏ rất nhiều; Chỉ hôm nay, đối với tôi, dường như tôi mới có thể kết thúc vấn đề. Nếu tôi nhầm, thì chắc chắn, tôi sẽ không gặp một nhà phê bình nào khoan dung hơn bạn. Tôi dám đưa ra phán quyết của bạn những gì tôi đã viết ra giấy với tất cả những khiếm khuyết trong suy nghĩ đầu tiên của tôi…”

Tiếp theo là chứng minh tập hợp số thực trong khoảng [0, 1] là số lẻ. Nó dài và phức tạp - hiếm khi là bằng chứng đầu tiên đơn giản nhất cho bất kỳ khẳng định nào. Chúng tôi sẽ không trình bày nó ở đây. Vào ngày 9 tháng 12, Cantor sẽ đề xuất một bằng chứng đơn giản hơn, và đến lượt Dedekind sẽ tìm ra những cách đơn giản hóa hơn nữa.

Một bằng chứng nhanh chóng xuất hiện, được gọi là phương pháp đường chéo Cantor, hiện đang được sử dụng. Hãy để chúng tôi trình bày bằng chứng này.

Khi đó, mọi số thực $\rho$ , $0 \leqslant \rho \leqslant 1$ , có thể được viết dưới dạng phân số thập phân vô hạn có dạng $0, a_1, a_2, \dots$ , trong đó $a_i, i = 1, 2, \dots$ , là bất kỳ số nào - các dấu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 hoặc 9. Việc biểu diễn tất cả các số trong dạng này là rõ ràng, chỉ loại trừ trường hợp được trình bày ở đây khi trong ký hiệu số, bắt đầu từ một số $k$ , tất cả $a_i$ đều bằng 0. Những số như vậy cũng có thể được viết theo cách khác: bạn cần thay thế tất cả $a_i$ , bắt đầu từ cùng một chữ số $k$ , bằng các chữ số 9 và giảm chữ số trước đi 1 - vì vậy, ví dụ: số 0,3500… bạn có thể