Bài toán M236—M240; F248—F252

29

Bài toán

M236—M240; F248—F252

M236. a) Có 51 số có hai chữ số. Chứng minh rằng từ các số này có thể chọn được ít nhất 6 số sao cho không có hai số nào trong số đã chọn có chữ số nào giống nhau.

6. Cho các số tự nhiên $k$ và $n$, $1 < k < n$. Với mọi $m$ nhỏ nhất, mệnh đề sau đây đúng: với mọi cách sắp xếp $m$ quân xe trên một bàn cờ có kích thước $n \times n$, người ta có thể chọn $k$ quân xe từ $m$ sao cho không có hai quân xe nào được chọn là nhau không?

A. Yu. Soifer và S. G. Slobodnik

M237. Các góc của một tam giác nhọn là $\alpha$, $\beta$ và $\gamma$. Phải đặt khối lượng nào ở các đỉnh của nó để trọng tâm của ba khối lượng đó rơi xuống?

a) tại điểm giao nhau của các đường cao?

6. vào tâm đường tròn ngoại tiếp?

Các cạnh của tam giác là $a$, $b$ và $c$. Phải đặt khối lượng bao nhiêu ở các đỉnh của nó để trọng tâm rơi

b) Tại giao điểm của các đoạn nối các đỉnh và tiếp điểm của các cạnh đối diện với đường tròn nội tiếp?

d) đến tâm đường tròn ngoại tiếp?

B. D. Ginzbure

M238 * Chứng minh tổng $C_n^1 + C_n^3 \cdot 1973 + C_n^5 \cdot (1973)^2 + C_n^7 (1973)^3 + \ldots$ chia hết cho $2^{n-1}$.

(Ở đây $C_n^k$ là các hệ số của đa thức)

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$.

F. G. Shleifer

30

M239. Trên mặt phẳng có hai điểm A và B. Giả sử C là một điểm cách đều A và B. Chúng ta hãy xây dựng một chuỗi các điểm $C_1 = C, C_2, C_3, \dots, C_n, C_{n+1}$, trong đó $C_{n+1}$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AC_nB$. Tại vị trí nào của điểm C
a) điểm $C_n$ sẽ rơi ở giữa đoạn AB (trong trường hợp này $C_{n+1}$ và các số hạng tiếp theo của dãy không được xác định)?
b) điểm $C_n$ có trùng với C không?
N. Chernov, học sinh lớp 10 (Krivoi Rohe)

M240. Cho $x$, các giá trị của $x^8$ có ​​thể được tìm thấy trong ba phép tính số học: $x^2 = x \cdot x, x^4 = x^2 \cdot x^2, x^8 = x^4 \cdot x^4$ và $x^{15}$ trong năm phép tính: ba phép tính đầu tiên giống nhau, sau đó là $x^8 \cdot x^8 = x^{16}$ và $x^{16} : x = x^{15}$. Chứng minh rằng
a) $x^{1000}$ có thể được tìm thấy trong 12 phép tính (nhân và chia);
b)* đối với mọi giá trị $n$ tự nhiên $x^n$ có thể được tìm thấy trong hơn $\frac{3}{2} \log_2 n + 1$ bước.

E. G. Belaza

F248. Một vòng nặng mỏng có bán kính $R$ với kim đan rất nhẹ có thể xoay tự do quanh trục nằm ngang. Một quả bóng nhỏ được gắn vào vòng, khối lượng của nó bằng khối lượng của vòng. Tìm chu kì dao động nhỏ của một cái vòng có một quả bóng. Để làm điều này, bạn có thể cố gắng tìm ra sự tương đồng trong chuyển động của một cái vòng với một quả bóng và một ma trận toán học.

F249. Một thanh không trọng lượng, ở hai đầu có gắn các quả cầu có khối lượng $m$ và $M$, nằm ở giữa trên một giá đỡ cứng, xung quanh nó có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng.
Tại thời điểm ban đầu thanh nằm ngang và vận tốc của nó bằng không. Lúc này anh ta đang ấn vào giá đỡ bằng lực nào?

F250. Các điện tích giống nhau $q$ nằm ở khoảng cách $a$ và $b$ tính từ điện tích
quả cầu đất có bán kính nhỏ $r$ (Hình 1). Khoảng cách đến bề mặt trái đất và các vật thể mượn khác lớn hơn nhiều so với $a$ và $b$. Tìm lực do các điện tích tác dụng lên quả cầu.

Cơm. 1.

F251. Hình ảnh viên đạn đang bay (Hình 2) cho thấy sóng âm bị kích thích khi viên đạn di chuyển. (Bức ảnh này có được do thực tế là các khu vực có mật độ không khí khác nhau sẽ khúc xạ các tia sáng khác nhau.) Sử dụng thước đo, xác định tốc độ gần đúng của viên đạn. Tốc độ truyền âm trong không khí là 340 m/s.

Cơm. 2.

F252. Một sợi dây được quấn quanh một trụ hình trụ. Một đầu của sợi dây được kéo với một lực $F$. Để tránh dây trượt dọc bàn, khi chỉ quấn một vòng dây vào cột thì đầu thứ hai của dây phải được giữ với lực $f$. Đầu sợi dây này phải được giữ với lực bằng bao nhiêu nếu $n$ vòng dây của nó được quấn quanh cột? Lực $f$ sẽ thay đổi như thế nào nếu chúng ta lấy một cây cột có bán kính gấp đôi bán kính của nó? (Lực $f$ không phụ thuộc vào độ dày của dây.)