Có bao nhiêu hình tam giác?

8

viết nó dưới dạng 0,34999… Không có khả năng nào khác để biểu diễn các số khác nhau dưới dạng phân số thập phân vô hạn. Chúng ta hãy đồng ý (theo định nghĩa) rằng nếu có thể có hai mục của một số, thì chúng ta sẽ chọn mục có số chín.

Bây giờ giả sử rằng chúng ta đã thành công trong việc thiết lập sự tương ứng một-một giữa tất cả các số thực nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và tất cả các số tự nhiên, để chúng ta có thể viết tất cả các số thực này thành một dãy vô hạn

$$1 \leftrightarrow 0, a_1^1 a_2^1 a_3^1 \dots$$
$$2 \leftrightarrow 0, a_1^2 a_2^2 a_3^2 \dots$$
$$\dots$$
$$p \leftrightarrow 0, a_1^p a_2^p a_3^p \dots$$

Hãy chứng minh rằng một dãy như vậy không thể chứa tất cả các số thực. Để làm điều này, chúng ta xây dựng một số $b = 0, b_1, b_2, \dots$ sao cho $b_i \neq a_i^i$ cho tất cả $i$. Chúng tôi xác định số này như thế này:

$$b_i = 5, \text{ если } a_i^i \neq 5,$$
$$b_i = 9, \text{ если } a_i^i = 5.$$

Số $b$ không thể xuất hiện theo thứ tự được viết ở trên. Rốt cuộc, nếu không thì nó phải được viết ra một số vị trí (ví dụ: $n$-th). Nhưng số $b$ khác với số thứ $n$ ở cấu tạo của nó ở chữ số thứ $n$. Vì vậy, giao điểm được cho là của tất cả các số thực là không thể, và do đó tập hợp $N$ và tập hợp các số thực $R$ là không bằng nhau.

Như vậy, lần đầu tiên người ta đã chứng minh được rằng ngay cả trong các tập hợp vô hạn cũng có những tập hợp bất đẳng thức.

Cantor sớm chứng minh rằng có thể chỉ ra càng nhiều tập vô hạn không tương đương theo cặp càng tốt, do đó tập hợp các số tim vô hạn hóa ra là không giới hạn, và trong những thế kỷ 70-80 trôi qua - chủ yếu là do Cantor - một khoa học toán học mới đã được xây dựng - lý thuyết tập hợp.