Một con mắt chăm chú nhìn thấy gì?

24

NHÌN THẤY GÌ
CON MẮT CHẮC CHẮN

Trên bìa có vẽ hình 24-gon thông thường. Bằng cách kiểm tra cẩn thận, bạn có thể tìm thấy một số đa giác đều do giao điểm của các đường chéo, các đoạn đường chéo và các cạnh.

Các loại, ví dụ: hình tam giác và hình vuông đều, và tâm của chúng có thể khác với tâm của 24 giác nhất định. Bạn có để ý đến chúng không, mắt bạn có nhìn vào bức vẽ không? Nếu không, không có vấn đề gì. Một số hình vuông được tô sáng trong Hình 1, một số hình tam giác đều được tô sáng trong Hình 2.

Tuy nhiên, bạn vẫn cần đảm bảo rằng các đa giác này thực sự đều đặn; Bản thân bản vẽ, cho dù nó được thực hiện cẩn thận đến đâu, cũng không mang lại sự đảm bảo như vậy.

Để chứng minh điều đó, chúng ta hãy tưởng tượng rằng một 24-giác nội tiếp trong một đường tròn, rồi xét các góc tạo bởi chuyển động của nó, đồng thời lưu ý những đoạn nào trên hình vẽ bằng nhau và tại sao (tự tiến hành chứng minh). Hình 1 và 2 lần lượt minh họa đặc điểm của trường hợp hình thành hình vuông và hình tam giác đều, giúp so sánh với một nhiệm vụ phức tạp hơn: tìm ra có bao nhiêu hình tam giác đều và hình vuông được vẽ trên trang bìa.

Chúng ta hãy nhìn lại bìa. Có thể thấy rõ làm thế nào, khi giao nhau, các đường chéo của một hình 24, gần tâm của nó, tạo thành một hình mà mắt kiên quyết không chịu nhìn tròn (trên thực tế, tất nhiên đây là một hình 24 thông thường). Ở một khoảng cách nào đó từ trung tâm của 24-giác này, chúng ta thấy “vòng tròn” thứ hai và thứ ba đồng tâm chứ không chỉ thể hiện rõ ràng “vòng tròn” bốn và thứ năm. Các “vòng tròn” khác có đường kính tương tự không thể nhìn thấy được, không đáng chú ý. Có bao nhiêu? Đáp số Hình 3 có thể giúp trả lời câu hỏi này.

Hình 4 thể hiện một 24-giác hình sao thông thường. Bạn có thể kiểm tra trực tiếp, bằng cách nhìn dọc theo từng mắt xích của đường đứt nét, xem liệu đó có thực sự là một đa giác hay không, tức là đường đứt nét đã vẽ có đóng hay không, hình có bị chia thành nhiều đường gãy khép kín hay không.

Tuy nhiên, câu hỏi vẫn chưa rõ ràng: liệu có thể sử dụng được 24-giác thông thường khác không? Nếu chỉ nhìn vào bản vẽ thì rất khó để kiểm chứng điều này. Sử dụng người quan sát trực quan, kiểm tra xem nếu các đỉnh của 24 giác được nối qua một, thì đường đứt nét sẽ khép lại thành hình 12 giác, nếu qua hai, thì thành hình bát giác… Tại sao điều này xảy ra? Điều này có phải là do việc chia cạnh của 24 giác cho hai sẽ được số 12 và cho 3 được 8? Teller, bạn có thể thiết lập số lượng 24 giác đều có hình ngôi sao mà không cần dùng đến hình vẽ (làm thế nào?

lời giải đẹp có bài toán như sau: “Tại bao nhiêu điểm mà các đường chéo của $n$-gon ($n \geq 4$) cắt nhau, nếu biết rằng không có ba đường chéo nào cắt nhau tại một điểm, thì ta thấy rằng có số điểm giao nhau bằng đúng số cách chọn 4 từ $n$, tức là $C_n^4$.

Trong trường hợp 24 cạnh không có ba đường chéo nào cắt nhau tại một điểm, giao điểm của các đường chéo sẽ là $C_{24}^4$. Nhưng vì một 24-giác nhất định -

25

đúng thì số điểm như vậy sẽ ít hơn $C_{24}^4$ đưa ra giới hạn trên. Hình (xem bìa) cho thấy tại một số điểm có ba hoặc nhiều đường chéo cắt nhau. Nhưng có thể tầm nhìn của chúng ta đang đánh lừa chúng ta và trên thực tế, hình vẽ không chỉ ra một điểm giao nhau của ba đường thẳng mà là hai điểm rất gần nhau và sau đó mắt không thể phân biệt được điểm giao nhau của các cặp đường chéo?

Trong một số trường hợp, lý luận đơn giản xác nhận tính đúng đắn của những gì được nhìn thấy. Ví dụ, gần như hiển nhiên rằng giao điểm của các đường chéo thuộc các đường chéo của một 24 giác đều, là trục đối xứng của nó, lớn hơn gấp đôi. Xác định sự hiện diện (hoặc vắng mặt) của nhiều hơn hai giao điểm của các đường chéo trong Hình 5, 6.

Có thể chứng minh rằng trong 6 tam giác đều phía trên nhìn thấy trong hình có nhiều hơn hai đường chéo của một 24 cạnh đều cắt nhau. Hãy thử điều này.

Cố gắng làm rõ ước tính số giao điểm của các đường chéo của một hình 24 cạnh đều.

Cố gắng lấy 24-gon thông thường, chỉ sử dụng cách gấp một tờ giấy.

V. N. Berezin