Bài toán M241—M245; F253—F257

41

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. Cùng với những bài toán tương đối dễ, cũng có những bài toán không dễ giải đối với các chuyên gia - các nhà toán học, vật lý học. Những câu khó nhất bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Nếu bạn không thể nhanh chóng hoàn thành một nhiệm vụ, đừng bỏ cuộc, hãy cố gắng quay lại nhiệm vụ đó - sau một ngày, một tuần. Nếu bài toán làm bạn quan tâm, thì đừng trì hoãn ngay cả sau khi lời giải đã được tìm thấy—hãy nghĩ về cách viết lời giải một cách hợp lý và thuyết phục nhất, cách bạn có thể khái quát hóa bài toán, làm rõ hoặc củng cố kết quả của nó, những gì gần bài toán nó cho phép bạn khám phá.

Trong phần thứ hai của phần “Sách Vấn đề”, Kvanta "" chúng tôi đặt lời giải bài toán (khoảng sáu tháng sau khi công bố các điều kiện) có tính đến các bức thư do độc giả gửi. Về cơ bản, lời giải của mỗi bài toán là một ghi chú nhỏ và chúng tôi khuyên những ai không nhận được «Kvant» trong quá trình của năm hoặc không giải quyết được bài toán. Ở số lẻ «Kvant» (số 1, 3, …) chúng tôi trình bày tên của độc giả đã gửi đúng cho chúng tôi lời giải bài toán. Học sinh thường xuyên gửi lời giải thú vị và hữu ích trong suốt năm sẽ nhận được quyền tham gia ba kỳ thi Olympic toàn Liên minh về toán hoặc vật lý cùng với những người chiến thắng. Olympic khu vực. Ngoài ra, đối với những người chiến thắng trong cuộc thi thường trực của chúng tôi dành cho lời giải bài toán, ban biên tập sẽ thiết lập một số giải thưởng đặc biệt (chúng tôi sẽ công bố sau).

Tất nhiên, không phải tất cả bài toán của chúng tôi đều được xuất bản lần đầu tiên. Sau khi hình thành, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất chúng tôi bài toán. Thật không may, việc tạo ra một bản gốc mới bài toán - thật không may, việc thực hiện một “khám phá” độc lập nhỏ thậm chí còn khó hơn việc giải một bản khám phá có sẵn. Nếu điều này làm phiền bạn, vui lòng gửi cho chúng tôi bài toán cùng với giải pháp. Viết bài toán đến với bạn như thế nào: bạn có gặp phải bài toán hoặc ý tưởng lời giải tương tự không, hiện tượng chung hoặc định lý toán học nào có liên quan đến kết quả mới của bạn. Chúng tôi sẽ xuất bản bài toán đẹp hơn và thú vị hơn trong “Sách Vấn đề” hoặc các phần khác «Kvant».

Địa chỉ của chúng tôi: 117071, Moscow V-71, Leninsky Prospekt, 15, tòa soạn tạp chí «Kvant»

Trên phong bì sau địa chỉ, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi (ví dụ: “sổ bài toán M242, M245” hoặc “F257” hoặc “bài toán mới trong toán học (trong vật lý)”). Gửi Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới cho từng môn học trong các phong bì riêng biệt. Từ ngữ của bài toán mới (cũng như bất kỳ tài liệu nào khác dự định xuất bản trên tạp chí) phải được gửi thành hai bản. Chúng tôi nhận được rất nhiều thư từ độc giả và cố gắng cảm ơn tất cả các phóng viên thường xuyên của chúng tôi. Chúng tôi vui lòng yêu cầu bạn điền lời giải cẩn thận để tạo điều kiện thuận lợi cho công việc của các biên tập viên và nhà tư vấn của phần “Sách Vấn đề”, Kvanta. Ở phần đầu của bức thư, hãy nhớ viết họ, tên, họ viết tắt, địa chỉ nhà, cũng như lớp và trường mà bạn là giáo viên (và “số” của bạn nếu bạn là sinh viên của VZMSH). Nhập thư có ghi địa chỉ của bạn trên đó (đối với đáp số sau khi xác minh lời giải). Chúng tôi chỉ có thể xem xét thư của độc giả nếu chúng được viết bằng tiếng Nga và được gửi không quá một tháng rưỡi sau khi xuất bản số báo tương ứng.

Hạn chót để gửi đáp số đến bài toán của số này là ngày 1 tháng 3 năm 1974.

42

Bài tập
M241—M245; F2 53—F257

M241. Chứng minh rằng $3^{1974} + 5^{1974}$ chia hết cho 13.
S.I. Meizus

M242. Gọi $A_i H_i$ là chiều cao và $A_i M_i$ là đường trung tuyến vẽ từ đỉnh $A_i$ của tam giác nhọn $A_1 A_2 A_3$ ($i = 1, 2, 3$). Chứng minh rằng một trong ba sản phẩm
$|H_1 M_1| \cdot |A_2 A_3|, |H_2 M_2| \cdot |A_3 A_1|, |H_3 M_3| \cdot |A_1 A_2|$
bằng tổng của hai số còn lại $^*$). Câu phát biểu này có đúng với tam giác vuông và tam giác tù không?
S. Salnikov, học sinh lớp 10 (2. Mary)

M243. $n$ đoạn $A_1 B_1, A_2 B_2, \dots, A_n B_n$ (Hình 1) nằm trên mặt phẳng
$^*$) $|KL|$ biểu thị độ dài của đoạn có các đầu $K$ và $L$.

M244. Cho hai bộ số thực $n$:
$a_1, a_2, \dots, a_n$ và $b_1, b_2, \dots, b_n$. Chứng minh rằng nếu thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện:
a) từ $a_i < a_j$ suy ra $b_i \leq b_j$;
b) $^*$ từ $a_i < a < a_j$, trong đó $a = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$, theo sau là $b_i \leq b_j$;
thì bất đẳng thức đúng
$n (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n) \geq \geq (a_1 + a_2 + \dots + a_n) (b_1 + b_2 + \dots + b_n)$.
A. Gritsoryan, học sinh lớp 10 (Baku)

M245. Người ta đề xuất xây dựng $N$ điểm trên mặt phẳng sao cho tất cả khoảng cách theo cặp giữa chúng bằng một số xác định trước:
đối với mỗi hai điểm $M_i, M_j$ người ta biết khoảng cách $|M_i M_j| = r_{ij}$ phải là bao nhiêu ($i$ và $j$ là bất kỳ số nào từ 1 đến $N$).
a) Có thể xây dựng được nếu khoảng cách $r_{ij}$ được cho theo cách sao cho bất kỳ điểm $N$ nào cũng có thể được xây dựng?
b) Yêu cầu có thể xây dựng được tất cả các điểm $N$ có đủ không?
b) Điều gì sẽ thay đổi nếu bạn xây dựng các điểm không phải trên mặt phẳng mà trong không gian? Vậy thì $K$ nhỏ nhất là bao nhiêu để có thể xây dựng bất kỳ điểm $K$ nào từ $N$ điểm đã cho và đảm bảo việc xây dựng tất cả các điểm $N$?

M. L. Gerver

43

Cơm. 2.

F253. Một quả bóng làm bằng chất điện môi rắn được đặt trong một điện trường đều có cường độ E. Trong trường hợp này, chất điện môi bị phân cực hoàn toàn. Sử dụng nguyên lý chồng chất, hãy tìm cường độ điện trường tại tâm quả bóng và tại các điểm cách tâm quả bóng một khoảng r (r nhỏ hơn bán kính quả bóng).

Các phân tử điện môi có thể được biểu diễn dưới dạng quả tạ có chiều dài l với điện tích +q và -q ở hai đầu. Số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích là n.

F254. Ống có thành mỏng của phong vũ biểu rue nằm với đầu hở của nó ở dưới đáy cốc rue. Đầu kín được giữ thẳng đứng bằng một sợi dây sao cho ống tạo một góc α với phương thẳng đứng (Hình 2). Chiều dài ống l, khối lượng m, mật độ ru ρ, áp suất khí quyển h mm pm. cm. Tìm lực căng của sợi dây. Bỏ qua kích thước phần ống chìm trong rễ. Diện tích mặt cắt của ống S.

F255. Khi chụp ảnh Mặt Trăng từ Trái Đất bằng máy ảnh có thấu kính có tiêu cự F, ảnh của Mặt Trăng dưới dạng một đĩa có bán kính R được đặt trên tấm nhựa chụp ảnh. Sau đó, sử dụng cùng một thiết bị, sẽ thu được hình ảnh sắc nét của Mặt trăng. Nó có bán kính R1. Khi chụp ảnh Mặt Trăng lần thứ hai, thấu kính máy ảnh đã di chuyển so với thấu kính chụp ảnh một khoảng bằng bao nhiêu?

Đường kính vật D. (Không tính đến nhiễu xạ.)

F256. Một viên đạn găm vào trung tâm của một bến tàu hình vuông, lơ lửng tự do. Nếu tốc độ của viên đạn là v > v0 thì nó xuyên thẳng qua đế. Bến tàu sẽ di chuyển với tốc độ bao nhiêu nếu tốc độ của viên đạn là 2 v0? nv0? Ở tốc độ đạn nào thì tốc độ của bến tàu sẽ tối đa?

Khối lượng của viên đạn là m, khối lượng của ụ đạn là M và lực cản được coi là không phụ thuộc vào tốc độ.

Trích từ bài thơ của L. Euler “Về tác động của đạn khi bắn ở bến tàu,” 1770.

Cơm. 3.

F257. Trong mạch như hình 3, lúc đầu tất cả các phím đều mở. Tụ C1 và C2 phóng điện. E.m.f. pin E. Sau đó, các phím K1 và K3 được đóng lại và sau một thời gian chúng sẽ mở ra. Sau đó, các phím K2 sẽ được đóng lại. Hiệu điện thế nào sẽ xuất hiện trên tụ C1 sau khi đóng công tắc K2?