Của riêng mình

71

9. Bình hình trụ có thể tích 45 lít được chia thành hai phần bằng một vách ngăn mỏng, có thể chuyển động không ma sát. 1/2 mol oxy và hydro được đặt ở phần bên trái và 1 mol nitơ ở phần bên phải ở nhiệt độ 0 ° C. Thể tích của mỗi phần sẽ là bao nhiêu nếu biết rằng hydro khuếch tán qua vật liệu của vách ngăn di động theo thời gian?

10. Một máy sấy tóc, tức là một chiếc quạt để sấy tóc, được cố định ở đầu dưới của dây cáp sao cho luồng không khí thoát ra tạo thành một góc vuông với nó. Với tốc độ v nào một luồng không khí thoát ra khỏi lỗ có tiết diện S, nếu góc lệch của dây cáp là φ = 30°, và khối lượng của dây cáp và máy sấy tóc bằng M và m tương ứng?

11. Được biết, không khí ấm áp bốc lên. Tuy nhiên, trong tầng đối lưu, tức là trong các lớp khí quyển tiếp giáp trực tiếp với bề mặt Trái đất, nhiệt độ không khí giảm khi độ cao tăng lên. Tại sao?

Bài toán mở đầu

1. Tính toán
   $$\frac{\left(6 - 4\frac{1}{2}\right) : 0,003}{\left[3\frac{1}{20} - 2,65\right) \cdot 4} : \frac{1}{5} - \frac{\left(0,3 - \frac{3}{20}\right) \cdot 1}{\left(1,88 + 2\frac{3}{25}\right) \cdot \frac{1}{8}}$$

• 17,81:0,0137.

2. Có 68 quả bóng (25 quả đỏ, 20 quả xanh, 15 quả vàng, 8 quả đen). Cần phải rút ra số quả bóng nhỏ nhất là bao nhiêu để 10 quả bóng trong số đó nhất thiết phải có cùng màu?

3. Vẽ một tam giác vuông sử dụng cạnh huyền a và chiều cao h hạ xuống cạnh huyền (dùng compa và thước kẻ).

4. Để kiểm tra các trang của cuốn sách, cần có những con số năm 1974. Cuốn sách này có bao nhiêu trang?

5. Cần phải đặt hai chữ số nào vào vị trí dấu hoa thị để số kết quả 665** chia hết cho 7, 8 và 9?

6. Cái nào lớn hơn: 100²⁰ hay 9000¹⁰?

7. Trong một hình thang có hai đáy là a và b, kẻ một đường thẳng song song với hai đáy đi qua giao điểm của đường chéo. Tìm chiều dài của nó.

8. Một hành khách đi tàu điện ngầm xuống thang cuốn trong 24s. Nếu một hành khách đi cùng tốc độ nhưng trên một thang cuốn đứng yên thì người đó đi xuống trong 42 s. Anh ta đứng trên bậc thang cuốn đang chuyển động thì mất bao nhiêu giây để đi xuống?

9. Tìm diện tích của một tam giác nội tiếp trong đường tròn bán kính R nếu đường vuông góc của hai đỉnh của nó với tiếp tuyến của đường tròn tại đỉnh thứ ba của tam giác bằng p và q.

10. Có 80 xu. Trong số đó có một cái giả, nhẹ hơn tất cả những cái khác, có cùng trọng lượng. Làm thế nào bạn có thể xác định một đồng xu giả chỉ bằng bốn lần cân đồng xu trên một chiếc cân hình chảo mà không cần quả cân?

11. Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường tròn cho trước và một đường thẳng cho trước tại một điểm cho trước.

12. Giải hệ phương trình:
    $$\begin{cases} x^3 - y^3 = 19, \\ x^2y - xy^2 = 6. \end{cases}$$

13. Chứng minh rằng đa thức $x^4 - 3x^3 + 12x^2 - 24x + 15$ không thuộc 0 đối với mọi giá trị tác dụng của x.

V. K. Aslayan,
A. P. Kiryanov,
T. A. Chugunova

Của riêng mình

“Hãy nhìn nhà toán học này,” nhà logic học nói. - Anh ta nhận thấy rằng cây số đầu tiên nhỏ hơn một trăm, và từ đây, bằng cách sử dụng cái mà anh ta gọi là quy nạp, anh ta sẽ kết luận rằng mọi số đều nhỏ hơn một trăm.
“Nhà vật lý tin rằng,” nhà toán học nói, “60 chia hết cho mọi số.” Anh ấy nhận thấy rằng 60 chia hết cho 1, 2, 3, 4, 5 và 6. Anh ấy kiểm tra một số số khác, chẳng hạn như 10, 20 và 30, được lấy ngẫu nhiên, như anh ấy nói. Vì 60 chia hết cho chúng nên anh ta coi dữ liệu thực nghiệm là đạt được.
“Đúng, nhưng hãy nhìn người kỹ sư,” nhà vật lý phản đối. - Người kỹ sư nghi ngờ rằng tất cả các số lẻ đều là số nguyên tố. Trong mọi trường hợp, 1 có thể được coi là số nguyên tố, ông lập luận. Sau đó đến 3, 5 và 7, tất cả đều đơn giản. Rồi đến số 9 - một sự cố đáng tiếc; rõ ràng 9 không phải là số nguyên tố, nhưng 11 và 13 chắc chắn là số nguyên tố. Trở lại số 9, anh ấy nói, tôi kết luận rằng số 9 chắc chắn là một sai sót trong thí nghiệm.

Từ cuốn sách của D. Polya. “Toán học và các quy tắc thống nhất bổ sung của lý luận.” IL, 1957.