Đại học bang Novosibirsk

52

Đại học bang Novosibirsk

Đại học bang Novosibirsk có các khoa sau:
toán học với các khoa toán, toán ứng dụng và cơ học;
thuộc vật chất; khoa học tự nhiên với các khoa hóa học, sinh học; địa vật lý địa chất;
nhân đạo với các khoa ngôn ngữ và lịch sử Nga; kinh tế với sự tập trung đặc biệt vào khoa học kinh tế.
Trường đại học tọa lạc tại Akademgorodok, cách Novosibirsk 20 km. Sinh viên được đào tạo tại các viện khoa học thuộc Chi nhánh Siberia của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô: thủy động lực học, toán học, trung tâm máy tính, vật lý hạt nhân, cơ học lý thuyết và ứng dụng, vật lý nhiệt, vật lý bán dẫn, tự động hóa và đo điện, địa chất và địa vật lý, hóa học vô cơ, hóa học tổ chức, động học hóa học và đốt cháy, xúc tác, nguồn, ngữ văn và triết học, tế bào học và di truyền học.
Trong số này, chúng tôi xuất bản các bài thi viết mẫu về toán và vật lý tại NSU năm 1973.

Toán học
Khoa Cơ và Toán, Khoa Vật lý, Khoa Kinh tế

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\log_3 (1-y^2)^2 =$$
   $$= 5 + \sqrt{14 \log_{\sqrt{3}}(1-y) + 7 \log_{\sqrt{3}}(\frac{1+y)^2}{3}} - 5.$$

2. Cho tam giác ABC, bisertis của góc BAC là $a$. Một đường tròn dựng trên bissertis này có đường kính chia các cạnh AB và AC theo tỷ lệ 2:1 và 1:1, tính từ điểm A. Tìm diện tích tam giác ABC.

3. Giải phương trình
   $$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{\frac{1}{2} + \cos \left(\frac{\pi}{6} - x\right)}.$$

4. Cho tứ giác paramida SABCD (SA = SB = SC = SD = 5), đáy của nó là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = CD = 4, AD = BC = 3. Vẽ một mặt phẳng qua đường chéo BD một góc 30° so với mặt phẳng đáy, cắt cạnh SC tại điểm $S'$. Tìm thể tích của paramid S’BCD.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$\log_{\sqrt{2}}(3x^2 - 1) + 2 =$$
   $$= \sqrt{1 + \log_{\sqrt{x}}x^3 + \frac{6}{\log_{3x^2-1}2\sqrt{2}}}.$$

2. Một cạnh bên của hình thang vuông góc với đáy và bằng 2a. Ở phía này, làm đường kính, một vòng tròn được xây dựng, chia phía bên kia thành ba đoạn. Tỷ lệ chiều dài của các đoạn là 1:2:2 (tính từ đáy trên). Tìm diện tích của hình thang.

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{\cos^2 x - \cos^2 3x} = \sin 2x.$$

4. Cho tứ diện đều SABC, qua đỉnh A song song với cạnh BC kẻ mặt phẳng vuông góc với các cạnh của SBC (S là đỉnh của tứ diện, ABC là đáy). Tìm bán kính tiếp tuyến của quả cầu với các cạnh SA, SB, SC và mặt phẳng vẽ. Các cạnh của một tứ diện bằng $a$.

53

Tùy chọn 3

1. Giải phương trình
   $$\log_x(x^2+1) = \sqrt{\log_x[x^2(1+x^2)]+4}.$$

2. Trong hình thang $ABCD$, đáy dưới $AD$ lớn gấp 2 lần đáy trên, bằng $a$, góc $A$ ở đáy là $45^\circ$, và các đường tròn dựng ở các cạnh bên khi đường kính tiếp xúc nhau. Tìm diện tích của hình thang.

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{\frac{1+\mathrm{tg} x}{1-\mathrm{tg} x}} = \sin x + \cos x.$$

4. Một quả bóng được nội tiếp trong một hình lập phương có cạnh $a$. Một mặt phẳng được vẽ đi qua trung điểm của hai cạnh liền kề của khối lập phương và chạm vào quả bóng. Tìm diện tích mặt cắt ngang của hình lập phương theo mặt phẳng này.

Khoa Khoa học Tự nhiên, Khoa Địa chất

Tùy chọn 4

1. Giải phương trình
   $$4\log_x\sqrt{x} + 2\log_4x x^2 = 3\log_2x x^3.$$

2. Trong một tam giác vuông $ABC$, các cạnh $AB$ và $BC$ tỉ lệ với 1:2. Trên cạnh huyền $AC$, các điểm $M$ và $N$ được chọn sao cho các đoạn $BM$ và $BN$ chia góc $B$ thành ba phần bằng nhau. Tìm tỉ số của các đoạn $BM$ và $BN$

3. Giải phương trình
   $$\sin^3x + \frac{3}{4}\left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x}\right) = \cos^3x.$$

4. Một quả cầu có bán kính $r$ chạm vào đáy và các cạnh bên được nội tiếp trong một paramid hình tam giác đều cắt cụt. Tìm thể tích của paramid nếu các cạnh của bazơ tỉ lệ 1:2.

Tùy chọn 5

1. Giải phương trình
   $$\log_2^2x + \log_2x - 2(x^2 - 6x + 6) = 1.$$

2. Một hình tròn có bán kính $r$ nội tiếp hình thang. Các điểm tiếp xúc với các mặt bên lần lượt chia chúng theo tỷ lệ 1:2 và 1:3, tính từ đáy trên. Tìm diện tích của hình thang.

3. Giải phương trình
   $$\sin x - \cos x = 4\sin x \cos^2x.$$

4. Khi các quả bóng chạm vào nhau, chúng chạm vào một mặt phẳng nhất định. Điểm tiếp xúc của các quả bóng với mặt phẳng tạo thành một tam giác có các cạnh bằng 4, 2 và 3. Tìm bán kính của các quả bóng.

Vật lý
Khoa Vật lý
Trong bài kiểm tra vật lý viết, mỗi thí sinh được cho 6 bài toán.

54

Trong các câu hỏi được đưa ra cho người nộp đơn cùng với các tùy chọn bài toán, trước tiên nên giải quyết ba câu hỏi bài toán đầu tiên và người ta cũng nhấn mạnh rằng lời giải trong số tất cả bài toán là không cần thiết để nhận được điểm cao.

Trong các phiên bản của bài thi viết vật lý dưới đây, sau điều kiện của mỗi bài toán, điểm số của nó và tỷ lệ phần trăm những người giải được bài toán này được ghi trong ngoặc đơn.

Tùy chọn 1

1. Trên bàn có: hai nguồn sáng - một bóng đèn sợi đốt và một tia laser, một chùm tia sáng song song sâu; tế bào quang điện; một điện kế để ghi lại mắt ảnh và một tấm kính phẳng song song. Nguồn sáng được bật và ảnh được ghi lại. Sau đó, một tấm được đặt trên đường đi của ánh sáng và dòng điện lại được ghi lại. Một khi nguồn là bóng đèn, lần thứ hai là tia laser. Hóa ra là sau khi đặt tấm này vào, chu kỳ quang tăng lên trong trường hợp đầu tiên và giảm đi trong trường hợp thứ hai. Giải thích tại sao. (5 6., 48%)

2. Tìm điện tích trên tụ điện $C$, nếu mạch điện ở Hình 1 mang dòng điện không đổi. Ví dụ: tại các cực $U$, điện trở trong mạch $R_1$ và $R_2$. (3 6., 82%)

3. Một hình nón vô hạn có góc mở $90^\circ$ di chuyển về phía tâm của một quả bóng đứng yên với tốc độ $v$ (Hình 2). Hướng của vận tốc trùng với trục của hình nón. Tại một số điểm, chúng tôi chia nó thành một số lượng rất lớn các con cói bay đều về mọi hướng với cùng tốc độ $v$. Phần nào của tấm cói kết thúc trên hình nón? Ảnh hưởng của trọng lượng*) tuyên bố. (5 6., 52%)

4. Một phích cắm hình trụ có bán kính $r$ và chiều cao $h$ rơi vào một hình trụ có bán kính $R$, đặc biệt chứa đầy nước (Hình 3). Chiều cao ban đầu của đầu dưới cùng của phích cắm so với mực nước $H$; tốc độ ban đầu bằng không. Bao nhiêu năng lượng sẽ được giải phóng dưới dạng nhiệt sau khi ngừng chuyển động của phích cắm và nước? Mật độ nút chai $ρ$, mật độ nước $ρ_0$, gia tốc áp suất tự do $g$. (66., 36%)

5. Một tụ điện phẳng đặt trong một điện trường đều bên ngoài $E$, vuông góc với các bản (Hình 4). Diện tích của các tấm tụ điện là $S$. Mỗi bản tụ sẽ tích điện bao nhiêu nếu tụ điện bị dây dẫn làm ngắn mạch? (7 6., 34%).

6. Một ống hẹp $AKB$ uốn cong một góc $2\alpha$ được cố định trên xe đẩy sao cho mỗi khuỷu tay của nó tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng (Hình 5). Một nửa ống $AK$ chứa đầy nước, được giữ bởi van 3. Xe đẩy có thể di chuyển theo mặt phẳng nằm ngang. Van điều tiết 3 mở ra. Tìm vận tốc của xe tại thời điểm giữa cột nước đi qua điểm thấp nhất

*) Chính xác hơn là trọng lực. (Ghi chú của biên tập viên)

55

vị trí của cô ấy. Vận tốc ban đầu bằng không. Việc đào tạo và khả năng đầu tư không được tính đến. Khối lượng của xe chở ống là $M$, khối lượng của nước là $m$, $AK = BK = l$. Gia tốc trọng lực $g$. (8 6., 10%.)

Tùy chọn 2

1. Mạch điện trong Hình 6 được lắp ráp trên bàn. Khi phím $A$ đóng, bóng đèn L sáng mờ. Khi phím $B$ đóng, đèn sẽ rất sáng. Tại sao bóng đèn cháy yếu hơn trong trường hợp thứ nhất so với trường hợp thứ hai? (5 6., 62%.)

2. Hai quả bóng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ đồng thời bắt đầu trượt không ma sát và quay từ hai cầu trượt có cùng hình dạng và chiều cao $H$ (Hình 7). Khi va chạm, các quả bóng bị cắt xuống. Những quả bóng bị cắt sẽ tăng lên độ cao bao nhiêu? (3 6., 80%).

3. Xác định gia tốc của một hình trụ trượt dọc theo rãnh có dạng góc nhị diện với góc $\alpha$ (Hình 8). Cạnh của một góc nhị diện nghiêng một góc $\beta$ so với phương ngang. Các mặt phẳng của một góc nhị diện tạo thành các góc bằng nhau với đường chân trời. Hệ số ma sát giữa hình trụ và bề mặt rãnh $k$. (5 6., 40%.)

4. Tại tâm của một quả cầu lỏng có bán kính $R$ và khối lượng $M$, khối lượng bên ngoài $m$ vỡ thành nhiều mảnh nhỏ, phân tán đều ra mọi hướng với cùng tốc độ $v$. Trong quả cầu có hai vật chịu trách nhiệm hình tròn có tâm nằm trên cùng một đường kính (Hình 9). Góc $\alpha_1$ và $\alpha_2$ gần nhau nhưng không giống nhau. Những mảnh vỡ không bay ra khỏi cành sẽ rơi xuống bề mặt quả cầu. Tìm vận tốc cuối cùng của quả cầu. Bỏ qua lực cản va đập và trọng lực. (6 6., 59%.)

5. Một tụ điện phẳng đặt trong một điện trường đều bên ngoài $E$, vuông góc với các bản tụ (Hình 10). Diện tích của mỗi tấm là $S$, điện tích $+q$ và $-q$ phân bố đều trên các tấm, khoảng cách giữa các tấm là $d$. Phải thực hiện bao nhiêu công để quay tụ điện $180^\circ$ quanh một trục vuông góc với điện trường? (6 6., 36%).

6. Trong một ống hình chữ U có thành trong chạm vào nhau, một chất lỏng có mật độ $\rho_1$ và $\rho_2$ ($\rho_1 < \rho_2$) ở trạng thái cân bằng sao cho ranh giới phân chia chính xác qua đáy ống (Hình 11). Ở độ cao $a$ tính từ điểm dưới cùng của ống, một nhánh nhỏ xuất hiện và dòng chất lỏng bắt đầu chảy. Mức chất lỏng trong khuỷu tay $\rho_2$ thay đổi bao nhiêu khi dòng chất lỏng dừng lại?

Coi ống đủ mỏng để không xảy ra chuyển động của chất lỏng (chỉ có thể làm vỡ cột chất lỏng tại điểm xuất hiện sự phóng điện). (8 6., 34%).