Nhẫn

2

Mọi người tiếp xúc với khái niệm vành hồi còn học trung học: lần đầu tiên - thành thạo phép cộng và nhân số, sau đó - học cách thao tác với đa thức (đa thức). Trong cả hai trường hợp, các quy tắc (tiên đề) nhất định chi phối các hoạt động này đều phổ biến. Để nghiên cứu chính xác các tính chất chung này của các phép tính cộng và nhân (số, đa thức hoặc, như chúng ta sẽ thấy sau, các đối tượng có bản chất khác), trong mối liên hệ nội bộ của chúng với nhau, không liên quan đến bản chất của các phần tử mà chúng được thực hiện, khái niệm vành đã được đưa vào đại số.

Một chiếc nhẫn là gì? Định nghĩa chính xác của đối tượng này có liên quan đến khái niệm hoạt động. Chúng tôi sẽ dạy từ anh ấy.

Xét một tập hợp tùy ý $M$. Chúng ta sẽ nói rằng một thao tác được xác định trên đó nếu một quy tắc được thiết lập theo đó hai phần tử bất kỳ $a$ và $b$ từ $M$ được gán phần tử thứ ba $c$ của cùng một bộ. Vì vậy, ví dụ: nếu $M$ là tập hợp tất cả các số nguyên (ký hiệu chuẩn $Z$ được chấp nhận cho nó), thì phép cộng $c = a + b$ và phép nhân $c = ab$ là hai phép toán khác nhau trên tập hợp này. Giả sử, nếu $M$ là một tập hợp gồm hai phần tử riêng biệt $a$ và $b$ (ký hiệu chung $M_2 = \{a, b\}$), thì tất cả các thao tác có thể có trên nó có thể được mô tả đầy đủ. Để làm điều này, trước tiên bạn cần liệt kê tất cả các cặp phần tử có thể có từ $M_2$. Đây là: $(a, a)$, $(a, b)$, $(b, a)$, $(b, b)^*$; thì bạn phải quyết định phần tử nào từ $M_2$ thuộc về cặp nào.

Thuận tiện nhất là thực hiện một thao tác cụ thể trên một tập hợp bao gồm

*) Như vậy, chúng ta phân biệt giữa các cặp $(a, b)$ và $(b, a)$, tức là chúng ta xem xét cái gọi là “cặp có thứ tự”.

Mô tả một số hữu hạn các phần tử bằng một bảng (phương pháp này được đề xuất bởi nhà toán học người Anh A. Cal (1821-1895), sau này các bảng này được gọi là bảng Cal).

Ở cột bên trái và dòng trên cùng, các phần tử của tập hợp $M$ được viết như chỉ ra trong Bảng 1; tại giao điểm của hàng bắt đầu bằng phần tử $a$ và cột bắt đầu bằng phần tử $b$, phần tử khớp với cặp $(a, b)$ đang được xem xét sẽ được chỉ định. Ví dụ: nếu cặp $(a, b)$ được liên kết với phần tử $a$, thì trường hợp này được viết như trong Bảng 1’. Hơn nữa, nếu cặp $(b, a)$ khớp với phần tử $b$ thì sẽ thu được bảng 1’'.

Bảng 1
Bảng 1'

3

Bảng hoàn thành xác định đầy đủ hoạt động. Bảng 2-5 đưa ra ví dụ về các phép toán khác nhau trên một tập hợp gồm hai phần tử. Sẽ rất hữu ích cho người đọc khi mô tả trong bảng tất cả các thao tác khác trên tập hợp này (tổng cộng có 16 thao tác; chúng tôi khuyên bạn nên tìm chúng).

Bảng 6 cho thấy một ví dụ về thao tác trên tập hợp $M_3 = \{a, b, c\}$ gồm ba phần tử. Đếm xem có bao nhiêu thao tác trên $M_3$.

Trong các phép toán ngẫu nhiên mà chúng ta đã biết từ đối số, các tên được gán: chẳng hạn, cộng, trừ, nhân. Trong trường hợp tổng quát vừa được thảo luận, các phép toán không có tên đặc biệt. Chỉ để thuận tiện, thao tác này hoặc thao tác kia đôi khi được gọi là phép nhân và thậm chí ít thường xuyên hơn - phép cộng, mặc dù

Table 1
Table 2
Table 3
Table 4
Table 5
Table 6

Nếu trong quá trình thao tác này, các tham số $(a, b)$ và $(b, a)$ được so sánh với cùng một phần tử, tức là $a * b = b * a$, thì các phần tử $a$ và $b$ được cho là giao hoán, nhưng đối với thao tác được mô tả trong Bảng 3, các phần tử tương tự này không giao hoán. Nếu một phép toán cũng có nghĩa là tất cả các cặp đều giao hoán với nó thì phép toán đó được gọi là giao hoán. Tất nhiên, phép cộng và phép nhân các số nguyên là các phép toán giao hoán; bảng 2 và 6 cũng xác định các phép toán giao hoán.

Chứng minh rằng bảng Cayley là một phép toán giao hoán đối xứng theo đường chéo chính (đây là tên đặt cho đường nối từ góc trên bên trái của bảng đến góc dưới bên phải).

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng ở dạng tổng quát thêm một thuộc tính nữa mà một phép toán có thể có (hoặc có thể không). Đặt $a, b$ và $c$ là ba (không nhất thiết

4

khác nhau) của tập hợp $M$. Nếu $a * (b * c) = (a * b) * c$ dành cho những phần tử này thì chúng được gọi là liên kết.

Tôi nhấn mạnh rằng trong cả hai phần của đẳng thức cuối cùng, các phần tử $a, b, c$, bất kể vị trí của dấu ngoặc, đều được viết theo cùng một thứ tự. Theo nghĩa này, bộ ba phần tử $a, b, c$ được sắp xếp theo thứ tự.

Vì vậy, ví dụ, các phần tử $b, a, b$ của $M_2$ đối với phép toán được mô tả trong Bảng 3 là có tính kết hợp, nhưng đối với phép toán trong Bảng 5 thì chúng không có tính kết hợp (kiểm tra phần này!). Một phép toán trong đó tất cả các bộ ba phần tử của tập hợp $M$ đều có tính kết hợp được gọi là phép kết hợp. Phép cộng và phép nhân các số nguyên không chỉ là phép toán giao hoán mà còn là phép kết hợp. Sẽ rất hữu ích cho người đọc khi đưa ra một ví dụ về một phép toán có tính chất giao hoán nhưng không có tính kết hợp như vậy.

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để xác định một chiếc nhẫn. Kolcho là một bộ $M$ với hai thao tác cụ thể. Một trong số chúng thường được gọi là phép cộng và biểu thị phần tử có thể so sánh với các cặp $(a, b)$ của nó với $a + b$, và phần còn lại thường được gọi là phép nhân và biểu thị phần tử được so sánh với các cặp $(a, b)$ với $ab$. Tính đặc thù của các hoạt động này nằm ở năm yêu cầu áp dụng cho chúng sau đây:

Phép cộng phải có tính giao hoán và kết hợp, nghĩa là, với tất cả các cặp $(a, b)$ và với tất cả các phần tử $(a, b, c)$ đơn giản từ $M$ thì phải có đẳng thức:

1. $a + b = b + a$;
2. $(a + b) + c = a + (b + c)$;
3. trong tập $M$ phải tồn tại phần tử cực đại 0 sao cho $a + 0 = a$ với mọi $a$ của $M$; trong trường hợp này, phần tử 0 được gọi là 0;
4. với mọi $a$ của $M$ phải tồn tại phần tử cực đại $c$ của $M$ sao cho $a + c = 0$; phần tử $c$ được gọi là 0 và nhân trước. Nếu bạn nhìn kỹ, tình huống sau sẽ trở nên rõ ràng:

yếu tố công nghiệp $a$ và thường được ký hiệu là - $a$ (trong trường hợp này là $c = -a$);

5. Chỉ có một điều cần có từ phép nhân: nó phải liên quan đến phép cộng một cách phân phối, nghĩa là, với bất kỳ $a, b, c$ nào từ $M$ thì các đẳng thức phải diễn ra

$$a (b + c) = ab + ac;$$
$$b + c) a = ba + ca$$

(cần phân biệt hai đẳng thức này vì phép nhân không được coi là giao hoán). Tính chất này thường được gọi là “phép nhân phân phối đối với phép cộng”.

Đó là ý nghĩa của một chiếc nhẫn. Điều rất quan trọng cần lưu ý là từ các yêu cầu 1) - 4) dẫn đến “tính duy nhất” của 0 và “tính duy nhất của phần tử đối diện”. Điều này có nghĩa như sau: a) nếu $0_1$ và $0_2$ là hai phần tử của vành $M$ thỏa mãn yêu cầu 3), thì $0_1 = 0_2$; 6) nếu $a + c_1 = a + c_2 = 0$, thì $c_1 = c_2$. Nói cách khác: chỉ có một số 0 trong vành và mỗi phần tử của vành chỉ có một phần tử đối diện. Thật vậy, nhờ vào 1) và 3):

$$0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2 + 0_1 = 0_2.$$

Điều này chứng tỏ a). Hơn nữa, nếu cả hai vế của đẳng thức

$$a + c_1 = a + c_2$$

thêm, nói, $c_1$, thì bạn nhận được

$$c_1 + (a + c_1) = c_1 + (a + c_2),$$

hoặc, nhờ vào điều 2),

$$(c_1 + a) + c_1 = (c_1 + a) + c_2,$$

hoặc, do thực tế là $a + c_1 = c_1 + a = 0$, chúng ta nhận được

$$0 + c_1 = 0 + c_2,$$

hoặc $c_1 = c_2$, chứng tỏ 6).

Ví dụ về vành là tập hợp tất cả các số nguyên mà chúng ta đã biết, tập hợp tất cả các số khác nhau, tập hợp tất cả các đa thức có hệ số thực đối với các phép tính tổng quát của phép cộng và phép nhân. Nếu bạn nhìn kỹ, tình huống sau sẽ trở nên rõ ràng:

6

chúng tôi, $a_2 + b_2 = n(q'_2 + q'_2) + r' + r''$, và một lần nữa
$$\overline{a_2 + b_2} = r' + r''.$$
Do đó, $\overline{a_1 + b_1} = \overline{a_2 + b_2}$ là điều cần chứng minh.

Vì vậy, một thao tác trên $Z_n$ được xác định. Nó được gọi là phép cộng và kết quả của việc áp dụng nó cho hai phần dư của $Z_n$, như đã đề cập, được gọi là tổng.

Mệnh đề 1. Phép cộng vào $Z_n$ thỏa mãn yêu cầu 1) - 4) nêu trong định nghĩa về bình.

Bằng chứng. Nhờ đẳng thức (3), đã được thảo luận chi tiết ở trên, tính giao hoán và tính kết hợp của phép cộng trực tiếp được đưa ra tiếp theo tính giao hoán và tính kết hợp của phép cộng các số nguyên. Tiên đề 3) về sự tồn tại của số 0 được thỏa mãn do tồn tại phần dư $\overline{0}$ (được cho bởi các số là bội của $n$): $\overline{a} + \overline{0} = \overline{a} + 0 = \overline{a}$. Cuối cùng, điều ngược lại với phần còn lại $\overline{a}$ phục vụ, rất indo, phần còn lại $-\overline{a}$, sao cho $-\overline{a} = -\overline{a}$ và tiên đề 4) cũng đúng.

Dưới đây là một số bảng cộng trong $Z_n$ (xem bảng 7-8).

Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu phép nhân với $Z_n$. Đặt cho $\overline{a}, \overline{b}$ từ $Z_n$
$$\overline{ab} = \overline{ab}$$ (4)
và gọi $\overline{ab}$ là tích của $\overline{a}$ và $\overline{b}$, và bản thân hành động đó được gọi là phép nhân. Tất nhiên, trong trường hợp này cũng vậy, bạn cần chứng minh định nghĩa đó là đúng, tức là bạn cần xác minh những điều sau:

ừm:
nếu $\overline{a}_1 = \overline{a}_2$ và $\overline{b}_1 = \overline{b}_2$ thì $\overline{a_1b_1} = \overline{a_2b_2}$.

Trên thực tế, giả sử là $a_i = q'_i n + r'$, $i = 1, 2$ và $b_j = q'_j n + r'$, $j = 1, 2$. Sau đó
$$\overline{a_1b_1} = \overline{(q'_1 n + r')(q'_1 n + r'')} = \overline{n (nq'_1 q'_1 + r'q'_1 + r''q'_1) + r'r''} = \overline{r'r''}$$
$$\overline{a_2b_2} = \overline{n (nq'_2 q'_2 + r'q'_2 + r''q'_2) + r'r''} = \overline{r'r''}$$.

Mệnh đề 2. Nhân với $Z_n$ thỏa mãn các tiên đề 5) - 8) nêu trong định nghĩa về bình.

Bằng chứng. Mối liên hệ phân phối với phép cộng, cũng như tính giao hoán và tính kết hợp của phép nhân tuân theo (4), từ các tính chất tương tự của phép nhân số nguyên. Phần còn lại $\overline{1}$ đóng vai trò của một trong phép nhân.

Vì vậy, $Z_n$ là đại lượng giao hoán, kết hợp và đơn vị.

Phép nhân trong bất kỳ bình nào $R$ về cơ bản được đặc trưng bởi các trường hợp trong đó đẳng thức trở thành đúng
$$ab = 0.$$ (5)
Vì vậy, ví dụ, trong bình $Z$ số nguyên

7

các số, đẳng thức (5) chỉ được thỏa mãn khi $a = 0$ hoặc $b = 0$. Tuyên bố tương tự cũng đúng với $Z_3$ (xem Bảng 9). Nhưng trong vòng $Z_6$, chẳng hạn, đẳng thức (5) hợp lệ cho $a = \overline{2}$ và $b = \overline{3}$, nghĩa là tích của các thừa số khác 0 ở đây hóa ra bằng 0. Người ta thường nói rằng phần tử $a$ của vành $R$ là ước số 0 nếu $a \neq 0$ và nếu có phần tử $b \neq 0$ trong $R$ sao cho $ab = 0$. Do đó, số dư $\overline{2}$ trong $Z_6$ là ước số bằng 0; mặt khác, ở khoảng cách phía trên vòng $Z$ và $Z_3$ không có ước số nào bằng 0 cả.

Cùng với đẳng thức (5), phép nhân trong vành còn có đặc điểm là

| | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ |
| $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ |
| $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ |
| $\bar{5}$ | $\bar{0}$ | $\bar{5}$ | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\bar{1}$ |

Bảng 10. Nhân với $Z_4$

các số, đẳng thức (5) chỉ được thỏa mãn khi $a = 0$ hoặc $b = 0$. Tuyên bố tương tự cũng đúng với $Z_3$ (xem Bảng 9). Nhưng trong vòng $Z_6$, chẳng hạn, đẳng thức (5) hợp lệ cho $a = \overline{2}$ và $b = \overline{3}$, nghĩa là tích của các thừa số khác 0 ở đây hóa ra bằng 0. Người ta thường nói rằng phần tử $a$ của vành $R$ là ước số 0 nếu $a \neq 0$ và nếu có phần tử $b \neq 0$ trong $R$ sao cho $ab = 0$. Do đó, số dư $\overline{2}$ trong $Z_6$ là ước số bằng 0; mặt khác, ở khoảng cách phía trên vòng $Z$ và $Z_3$ không có ước số nào bằng 0 cả.

Cùng với đẳng thức (5), phép nhân trong vành còn có đặc điểm là

| | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ |
| $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ |
| $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ |
| $\bar{5}$ | $\bar{0}$ | $\bar{5}$ | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\bar{1}$ |

Bảng 11. Nhân với $Z_6$

Những yếu tố như vậy được gọi là nghịch đảo. Trong vành $Z$ tập hợp các phần tử nghịch đảo chỉ gồm 1 và -1; trong vành $Z_3$ tất cả các phần tử ngoại trừ 0 đều nghịch đảo và trong vành $Z_6$ chỉ có phần dư $\bar{1}$ và $\bar{5}$ là nghịch đảo, do đó $\bar{5} \cdot \bar{5} = \bar{1}$. (Người đọc nên kiểm tra xem trong $Z_6$ tất cả các phần tử khác của $x$ không phải là nghịch đảo.)

Do đó, chúng tôi đã làm quen với khái niệm về vành, xem xét các ví dụ đơn giản nhất và cấu trúc đầu tiên mô tả đặc tính của đối tượng mới này: ước số 0 và phần tử nghịch đảo. Teler, bạn có thể bắt đầu nghiên cứu các vấn đề quan trọng như câu hỏi về các phần tử đơn giản của vành và phân tích thành thừa số nguyên tố. Hiện tại chúng tôi không đặt ra mục tiêu này cho bản thân: việc dành một cuộc trò chuyện riêng cho nó là điều tự nhiên.

Tóm lại - một số bài toán cho một lời giải độc lập.

1. Chứng minh rằng tập hợp các đa thức có hệ số thực với phép cộng và phép nhân chung là một vành không có ước số bằng 0. Tập hợp các phần tử nghịch đảo của vành này là gì?

2. Tạo các bảng cộng và nhân trong $Z_5$ và $Z_7$ và chứng minh rằng không những các bộ sưu tập này không có ước số 0 mà còn mọi phần tử khác 0 trong chúng đều là nghịch đảo.

3. Chứng minh rằng các tính chất được đề cập ở bài toán trước đều thuộc sở hữu của bất kỳ vành $Z_p$ nào có số nguyên tố $p$.

4. Chứng minh rằng trong vành $Z_n$ mọi phần tử khác 0 đều là nghịch đảo của nó hoặc không phải là ước số 0.

5. Chứng minh Phát biểu 4 cho vành bất kỳ có vành duy nhất, gồm hữu hạn phần tử và có tính kết hợp.