Кольца

2

С понятем колыца стalkиваются еще в средней школе: впервые — овладевая действием сложения и умножения чисел, затем — обучаясь действием с многочленами (полномами). И в том и в другом случае общими оказываются определенные правила (аксиомы), которые подчиняются эти операции. Ради изучения именно этих общих свойства операций сложения и умножения (чисел, полиномов или, как мы увидим далее, объектов иной природу) как таковых, в их внутренней связи между собой, безно尬ительной к природу элементов, над которым они производятся, и было введено в алгебре понятие колыца.

Что же такое колыцо? Точно определяние этого объекта связано с понятием операции. С него мы и научем.

Рассмотрим произвольное множество $M$. Будем говорить, что на нем определяена операция, если установлен правило, по которой любым двум элементам $a$ и $b$ из $M$ ставится в соответствии третий элемент $c$ того же множество. Так, например, если $M$ — множество всех целых чисел (для него принято стандартное обозначение $Z$), то сложение $c = a + b$ и умножение $c = ab$ является двумя различными операциями на этом множество. Если, скажем, $M$ — это множество из двух различных элементов $a$ и $b$ (общеринарное обозначение $M_2 = \{a, b\}$), то все возможные операции на нем можно полностью описать. Для этого сначала нужно перечислить всевозможные пары элементов из $M_2$. Вот они: $(a, a)$, $(a, b)$, $(b, a)$, $(b, b)^*$; затем следует решить, какой элемент из $M_2$ относится той или иной паре.

Удобнее всего конкретную операцию на множество, состоящем из

*) Таким образом, мы различаем пары $(a, b)$ и $(b, a)$, то есть рассматрием так называемые «упорядоченные пары».

Конечного числа элементов, описывайте таблицей (такой способ предложил английский математик А. Кэл и (1821—1895), по имени которого также таблицы теперь и называются таблицами Кэл).

В левом столбце и в верхней строке записываются элементы множества $M$ так, как это указано в таблице 1; на пересечении строки, которая начинается с элемента $a$, и столбца, который начинается с элемента $b$, указывается тот элемент, который сопоставляется рассматриваемой операцией паре $(a, b)$. Например, если паре $(a, b)$ сопоставляется элемент $a$, то это обстоятельство записывается так, как в таблице 1’. Далее, если паре $(b, a)$ ставится в соответствии элемент $b$, то получается таблица 1’'.

Табл. 1
Табл. 1'

3

Заполенная таблица полностью определяет операцию. В таблицах 2—5 приведены примеры различных операций на множестве из двух элементов. Читатель будет полезно описать таблицами все остальные операции на этом множестве (всего их 16; советуем их найти).

В таблице 6 приведен пример операции на множестве $M_3 = \{a, b, c\}$ из трех элементов. Подсчитайте, сколько операций существует на $M_3$.

В известных нам из аргументки случайных операции присвоены называния: скажем, сложение, вычитание, умножение. В обшем случае, о котором только что шла речь, операции специальных называний не имеют. Лишь для удобства ту или иную операцию иногда называют умножением, еще реже — сложением, хотя

Table 1
Table 2
Table 3
Table 4
Table 5
Table 6

Если при данной операции парамет $(a, b)$ и $(b, a)$ сопоставляется один и тот же элемент, то есть $a * b = b * a$, то говорят, что элементы $a$ и $b$ коммутируют, а относительно операции, описанной в таблице 3, эти же элементы не коммутируют. Если операция также, что относительно нее коммутируют все пары, то говорят, что она коммутативна. Конечно, сложение и умножение целых чисел — коммутативные операции, таблицы 2 и 6 тоже задают коммутативные операции.

Докажите, что таблица Кэли коммутативной операции симметрина относительно главной диагонали (так называют линюю, индушую из левого верхнего угла таблицы в правый нижний угол).

Сформируем теперь в общем виде еще одно свойство, который может обладать (или не обладать) операция. Пусть $a, b$ и $c$ — три (не обязательно

4

различных) элемента множества $M$. Если $a * (b * c) = (a * b) * c$ для этих элементов, то их называют ассоцирующими.

Подчерком, что в обеих частях последнего равенства элементы $a, b, c$, независимо от расстановки скобок, выписываются в одном и том же порядке. В этом смысле тройка элементов $a, b, c$ являются упорядоченными.

Так, например, элементы $b, a, b$ из $M_2$ относительно операции, описанной в таблице 3, — ассоцирующие, а относительно операции из таблицы 5 не являются ассоцирующими (проверьте это!). Операция, относительно которого все тройки элементов множества $M$ являются ассоцирующими, называется ассоциативной. Сложение и умножение целых чисел — операции не только коммутативные, но и ассоциативные. Читателью будет полезно придуть пример такой операции, которая была бы коммутативной, но не ассоциативной.

Теперь мы готовы дать определение колца. Колчо — это множество $M$ с двумя специфическими операциями. Оdnу из них принято назвать сложением и обозначать элемент, сопоставляемый его пар $(a, b)$, через $a + b$, а другую принято назвать умножением и обозначать элемент, сопоставляемый пар $(a, b)$, через $ab$. Специфика этих операций заключаена в следующих пятей требований, которые к ним предъявляются:

сложение должно быть коммутативным и ассоциативным, то есть для всех пар $(a, b)$ и для всех простых $(a, b, c)$ элементов из $M$ должны место равенства:

1. $a + b = b + a$;
2. $(a + b) + c = a + (b + c)$;
3. в множество $M$ должны существовать максимальный элемент 0, что $a + 0 = a$ при всех $a$ из $M$; этом элемент 0 при этом называется нулем;
4. для каждого $a$ из $M$ должны существовать максимальный элемент $c$ из $M$, что $a + c = 0$; элемент $c$ называет сначала нулем и умножения. Если внимательно присмотрется, то становится следующее обстоятельство:

промышленным элементу $a$ и часто обозначатом через — $a$ (так что в данном случае $c = -a$);

5. от умножения пребуется лишь одно: оно должно быть диспribутивно связано со сложением, то есть для любых $a, b, c$ из $M$ должны иметь место равенства

$$a (b + c) = ab + ac;$$
$$b + c) a = ba + ca$$

(различать эти два равенства надо потому, что умножение не предполагается коммутативным). Часто указанное свойство называют «распределительное умножение относительно сложения».

Вот что такое колцо. Очень важно иметь в виду, что из требований 1) — 4) следует «единистенность» нуля и «единистенность противоположного элемента». Означает это следующее: а) если $0_1$ и $0_2$ — два элемента колца $M$, удовлетворяющие требованиям 3), то $0_1 = 0_2$; 6) если $a + c_1 = a + c_2 = 0$, то $c_1 = c_2$. Иными словами: в колце только один нуль, и каждый элемент колца имеет лишь один противоположный элемент. В самом деле, ведь в силу 1) и 3):

$$0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2 + 0_1 = 0_2.$$

Этим доказано a). Далее, если к обеим частям равенства

$$a + c_1 = a + c_2$$

прибавить, скажем, $c_1$, то получится

$$c_1 + (a + c_1) = c_1 + (a + c_2),$$

или, в силу 2),

$$(c_1 + a) + c_1 = (c_1 + a) + c_2,$$

или, ввиду того что $a + c_1 = c_1 + a = 0$, получаем

$$0 + c_1 = 0 + c_2,$$

или $c_1 = c_2$, чем и доказывается 6).

Примерами колцом могут служить известные нам уже множество всех целых чисел, множество всех разнональных чисел, множество всех полиномов с вещественными коэффициентами относительно общих операций сложения и умножения. Если внимательно присмотрся, то становится следующее обстоятельство:

6

ны, $a_2 + b_2 = n(q'_2 + q'_2) + r' + r''$, и снова
$$\overline{a_2 + b_2} = r' + r''.$$
Следовательно, $\overline{a_1 + b_1} = \overline{a_2 + b_2}$, что и требовалось доказать.

Итак, одна операция на $Z_n$ определяна. Она называется сложением, а результат ее применения к двум остаткам из $Z_n$, как уже говорилось, называется суммой.

Предложение 1. Сложение на $Z_n$ удовлетворяет требованиям 1) — 4), перечисленных в определении колба.

Доказательство. Благодаря равенству (3), которое подробно обсуждалось, выше, коммутитивность и ассоциативность введенного сложения непосредственного следуют из коммутитивности и ассоциативности сложения целых чисел. Аксимма 3) о существовании нуля выполняется благодаря существования остатка $\overline{0}$ (его дают числа, кратные $n$): $\overline{a} + \overline{0} = \overline{a} + 0 = \overline{a}$. Наконец, противоположим остатку $\overline{a}$ служит, оченьindo, остаток $-\overline{a}$, так что $-\overline{a} = -\overline{a}$, и аксиома 4) также выполняется.

Вот несколько таблиц сложения в $Z_n$ (см. табл. 7—8).

Введем теперь в $Z_n$ умножение. Положим для $\overline{a}, \overline{b}$ из $Z_n$
$$\overline{ab} = \overline{ab}$$ (4)
и называем $\overline{ab}$ произведением $\overline{a}$ и $\overline{b}$, а само действие — умножением. Конечно, и в этом случае нужно доказать, что определение корректно, то есть нужно убедиться в следующем:

щем:
если $\overline{a}_1 = \overline{a}_2$ и $\overline{b}_1 = \overline{b}_2$, то $\overline{a_1b_1} = \overline{a_2b_2}$.

Пусть, в самом деле, $a_i = q'_i n + r'$, $i = 1, 2$, и $b_j = q'_j n + r'$, $j = 1, 2$. Тогда
$$\overline{a_1b_1} = \overline{(q'_1 n + r')(q'_1 n + r'')} = \overline{n (nq'_1 q'_1 + r'q'_1 + r''q'_1) + r'r''} = \overline{r'r''}$$
$$\overline{a_2b_2} = \overline{n (nq'_2 q'_2 + r'q'_2 + r''q'_2) + r'r''} = \overline{r'r''}$$.

Предложение 2. Умножение на $Z_n$ удовлетворяет аксиммом 5) — 8), перечисленных в определении колба.

Доказательство. Дистрибутная связь со сложением, а также коммутитивность и ассоциативность умножения следуют, благодаря (4), из аналогичных свойства умножения целых чисел. Роль единцы для умножения играет остаток $\overline{1}$.

Итак, $Z_n$ — количество коммутитивное, ассоциативное и обладающее единцией.

Умножение в каком бы то ни было колба $R$ существенно характеризуется тем, в каких случаях оказывается выполненным равенство
$$ab = 0.$$ (5)
Так, например, в колба $Z$ целых

7

чисел равенство (5) выполняется лишь тогда, когда либо $a = 0$, либо $b = 0$. Аналогично утверждение справедливо и для $Z_3$ (см. табл. 9). Но в колъце $Z_6$, например, равенство (5) справедливо при $a = \overline{2}$ и $b = \overline{3}$, то есть произведение ненулевых сомножителей оказывается здесь равным нулю. Прияго говорить, что элемент $a$ колъца $R$ является делителем нуля, если $a \neq 0$ и если существует такой элемент $b \neq 0$ в $R$, что $ab = 0$. Таким образом, остаток $\overline{2}$ в $Z_6$ является делителем нуля; с другой стороны, в расстоянии выше колъца $Z$ и $Z_3$ делителей нуля нет совсем.

Наряду с равенством (5) умножение в колъце характеризуется и тем,

| | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ |
| $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ |
| $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ |
| $\bar{5}$ | $\bar{0}$ | $\bar{5}$ | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\bar{1}$ |

Табл. 10. Умножение в $Z_4$

чисел равенство (5) выполняется лишь тогда, когда либо $a = 0$, либо $b = 0$. Аналогично утверждение справедливо и для $Z_3$ (см. табл. 9). Но в колъце $Z_6$, например, равенство (5) справедливо при $a = \overline{2}$ и $b = \overline{3}$, то есть произведение ненулевых сомножителей оказывается здесь равным нулю. Прияго говорить, что элемент $a$ колъца $R$ является делителем нуля, если $a \neq 0$ и если существует такой элемент $b \neq 0$ в $R$, что $ab = 0$. Таким образом, остаток $\overline{2}$ в $Z_6$ является делителем нуля; с другой стороны, в расстоянии выше колъца $Z$ и $Z_3$ делителей нуля нет совсем.

Наряду с равенством (5) умножение в колъце характеризуется и тем,

| | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ |
| $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ |
| $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ |
| $\bar{5}$ | $\bar{0}$ | $\bar{5}$ | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\bar{1}$ |

Табл. 11. Умножение в $Z_6$

Такие элементы называют обратными. В колъце $Z$ множество обратных элементов состоит всего лишь из 1 и —1; в колъце $Z_3$ обратными все элементы, кроме 0, а в колъце $Z_6$ обратными только остатки $\bar{1}$ и $\bar{5}$, поэтому что $\bar{5} \cdot \bar{5} = \bar{1}$. (Советует читатель проверить, что в $Z_6$ все остальные элементы $x$ не являются обратными.)

Мы познакомились, таким образом, с понятем колъца, рассмотрели простейшие примеры и первые структуры характеризки этого нового объекта: делители нуля и обратные элементы. Телер можно приступить к изучению таких важных вопросов, как, например, вопрос о простых элемтах колъца и разложении на простые множители. Этот целли мы сейчас перед собой не ставим: ей естественно посвятить отдельный разговор.

В заключение — несколько задач для самостоятельного решения.

1. Докажите, что множество полиномов с действительными коэффициентами с общиммислом сложением и умножением является колъцем без делитель нуля. Каково множество обратных элементов этого колъца?

2. Составьте таблицы сложения и умножения в $Z_5$ и $Z_7$ и докажите, что в этих колъциях не только нет делитель нуля, но и что каждый ненулевой элемент в них обратен.

3. Докажите, что свойствами, о которых говорится в предыдущей задаче, обладает любое колъцо $Z_p$ при простом числе $p$.

4. Докажите, что в колъце $Z_n$ каждый ненулевой элемент либо обратен, либо не является делитель нуля.

5. Докажите утверждение 4 для любого колъца, обладающего единней, составшего из конечного числа элементов и ассоциативного.