Решения задач М205—М207; Ф213—Ф217

36

напряжение на конденсаторе, если в течение периода напряжение на конденсатор изменяется очень мало.

Ф261. На границе раздела двух жидкости с разными плотностями плавает, погрузившись в нижнюю жидкость на глубину $h$, толстостенный стакан с тонким дном. Стакан заполнен доверху верхней жидкости. Внешний радиус стакана $R$, внутренний — $r$. В дне стакана появляется дыра. Насколько изменится глубина погружения стакана после того, как жидкость перестанет в него?

Ф262. Тонкостенный цилиндрический стакан, имеющий тонкое дно, закрыт невероим тонким поршнем. Между поршнем и дном в стакане вставлена пружина. Внутри стакана находится воздух при атмосферном давлении $p_0$. Стакан плавает в воде, как показано на рисунке 6, расстояние рис. 6.

нице от поверхности воды до поршня равно $l_1$, глубина погружения стакана равна $l_2$. Площадь поршня $S$, жесткость пружины $k$, плотность воды $ρ$. На какую максимальную глубину можно погрузить стакан под воду, чтобы он еще мог всплить? Объем пружины пренебречь.

Рис. 6.

нице от поверхности воды до поршня равно $l_1$, глубина погружения стакана равна $l_2$. Площадь поршня $S$, жесткость пружины $k$, плотность воды $ρ$. На какую максимальную深度 воздуха можно погрузить стакан под воду, чтобы он еще мог всплить? Объем пружины пренебречь.

Решения задач

M205—M207, Ф213—Ф217

M205. 24 студенма решили 25 задач. У преодавателя есть таблица $24 \times 25$, в котором записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студенм. Докажите, что

a) можно отметить несколько задачи «залочкой», как что каждый из студенмов решил чемное число (в частности, быть может, нуль) из отмеченных задач;

b) можно отметить несколько задачи «+», а некоторых из остальных знаком «-», и приписать каждое задаче некоторых целое число баллов, так что каждый студенм набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками «+» и «-».

Обе задачи a) и б) легко решить с помощью теоремы о системах линейных уравнений. Сначала сформулируем подходящим образом задачу 6).

Пусть число студентов — $m$, задач — $n$. Зададим числа $a_{ij}$ ($1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$) следующим образом: $a_{ij}$ равно 1, если $i$-й студент решил $j$-ю задачу, и 0, если нет. Мы должны доказать, что существует такие целые числа $x_j$ ($1 \leq j \leq n$) — положительные, страшательные и нулы, что

$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0,$$

$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0,$$

$$a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{in}x_n = 0,$$

(1)

$$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0$$

или, короче, для каждой $i$ от 1 до $m$

$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j = 0.$$

Действительно, если мы припишем $j$-й задаче знак числа $x_j$ и количество баллов, равное $|x_j|$ (а задан, для которых $x_j = 0$, пропустим), то $i$-е уравнение в (1) как раз будет означать, что $i$-й студент решил «положительные» задачи и «отрицательные» задачи с одной и той же суммой баллов.

Конечно, система уравнения имеет очень низкую точность, но нас оно не интересует: хотя бы одна задача должна быть отмечена знаком «+» или «-».

Теорема a. Если $m < n$, то система уравнения (1) всегда имеет нетривиальное

37

решение $(x_1^0, \dots, x_n^0)$, причем $x_j$ выражается через числа $a_{ij}$ и число 1 с помощью четырех арифметических действий.

Доказательство проведем индукцией по $m$. Для $m = 1$ мы имеем одно уравнение (с $n \geq 2$ неизвестными):

$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0.$$

Если $a_{11} = 0$, можно взять

$$x_1^0 = 1, \quad x_2^0 = x_3^0 = \dots = x_n^0 = 0.$$

Если $a_{11} \neq 0$, то можно взять

$$x_2^0 = 1, \quad x_3^0 = \dots = x_n^0 = 0,$$

$$x_1^0 = -\frac{a_{12}}{a_{11}}.$$

Пусть для $(m - 1)$ уравнения утверждение доказано. Выведем отстояда теорему для $m$ уравнения.

Если $a_{11} = 0$, то по-прежнему можно взять решение (2). Если $a_{11} \neq 0$, то вычитем из $i$-го уравнения первого, умноженное на $-\frac{a_{i1}}{a_{11}}$, чтобы коэффициент при $x_1$ стал $a_{i1}$. Получим систему, эквивалентную исходной:

$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0,$$

$$a_{21}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0,$$

$$\dots$$

$$a_{m1}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = 0.$$

Ее последнее $(m - 1)$ уравнение, по предположению индукции (поскольку $m - 1 < n - 1$), имеют нетривиальное общее решение: $(x_2^0, x_3^0, \dots, x_n^0)$. Подставив его в первое уравнение (2), найдем

$$x_1^0 = -\frac{a_{12}x_2^0 + a_{13}x_3^0 + \dots + a_{1n}x_n^0}{a_{11}}.$$

Ясно, что все $a_{ij}$ выражаются через $a_{ij}$ с помощью четырех арифметических действий; по предположению индукции, то же верно для $x_0^0 (j = 2, \dots, n)$, а следовательно, для $x_1^0$.

Поскольку в нашей задаче $a_{ij}$ равно 0 или 1, то найдем в теореме $x_j$ будут рационально ими числа; если мы умножим все эти числа на общее кратное значение, то получим решение в целых числах: если $(x_1^0, \dots, x_n^0)$ — решение системы (1), то $(Kx_0^0, \dots, Kx_n^0)$ тоже уравняется этой системе.

Перейдем к задаче a). Во-первых, ее можно также вывести непосредственно из теоремы; нужно только «чися» и «аррифметические операции» определить иначе. А именно, пусть можно вывести «чися» состоит из двух элементов: 0 и 1, сложение и умножение определяются по формулам:

$$0 + 0 = 1 + 1 = 0; \quad 0 + 1 = 1 + 0 = 1;$$

Рис. 1.

$$0 \cdot 0 = 0 \cdot 1 = 1 \cdot 0 = 0; \quad 1 \cdot 1 = 1.$$

Можно проверить, что эти действия удовлетворяют всем общим свойством, включая возможность вычитания и деления на числа, отличные от нуля; как говоря, множество {0,1} с операциями (3) образует поле. Найдем нетривиальное решение системы уравнения (1) в этом поле. Решением будет набор $(x_j^0, \dots, x_n^0)$ нуляй и единиц. Если отметить галочки те задачи, для которых $x_j^0 = 1$, то все студенты решат четное число отмеченных задач: ведь сумма четного числа единиц по правилам (3) равна 0, а нечетного — 1.

Второе решение задачи a) можно вывести из 6. Пусть уже найден набор целых чисел $x_j^0$, удовлетворяющих системе (1). Заменим все числа $x_j^0$ на 0, а нечетные — на 1, и отметим задачи, который составствует единиц *). Ясно, что каждая сумма $\sum a_{ij}x_j^0$ осталась четной (какое слагоемое изменено на четное число). Поэтому каждый студент решил четное число отмеченных задач.

Наконец, приведем совсем элементарное требуение задачи a). Сообравнение, которое мы будем пользоваться — «если в М клетках сидят более М кроликов, то хотя бы в одной клетке сидит не менее двух кроликов» — называется общно «принищим Дирихле» ****.

Подсчитаем, сколько способами может преодолаватель расставить галочки у $n$ задач. Другими словами, сколько имеется раз?

*) Можно считать, что не все $x_j^0$ четные. Действительно, если все $x_j^0$ четные, то расстояние набор $x_j^0 = \frac{x_j^0}{2}$, то же являющийся решение.

**) Статью под таким называемом см. в «Кванте № 7», 1971.

38

ных подмножества у множества из $n$ элементов, включая «пустое» подмножество и «полное» подмножество из всех $n$ элементов. У каждой задачи, наависимо от остальных, мы можем поставить галочку или не поставить. Таким образом, искомое число равно $2^n$. Для каждого из $2^n$ подмножества $A$ сопоставить цифру 1 тем студентам, которые решили нечетное число задач, из подмножества $A$ и 0 — тем, кто решил нечетное число задач. Таким образом, каждому подмножеству $A$ мы поставим в соответствии стольец из нулей и единиц. Таких стольцов, очевидно, $2^m < 2^n$. Следовательно, найдется два разные подмножества $A$ и $B$ такие, что им соответствует один и тот же стольец из нулей и единиц. Мы утверждаем, что условие задачи будет выполнено, если отметить теперь те задачи, которые входят в одно из множества $A$ и $B$; другими словами, нужно поставить «галочки» у задачи из множества, закрашенного на рисунке 1:

$$(A \cup B) < (A \cap B) = A \Delta B^*).$$

Поскольку у каждой студента число решенных задач из $A$ и $B$ имеют одинаковую четность, то в $A \Delta B$ количество решенных им задач четно; это совершенно ясно из рисунка 10: ведь число элементов в $A \Delta B$ равно сумме числа элементов в $A$ и $B$ минусудвоенное число элементов $A \cap B$.

Н. Б. Васильев

**M206. Дана бесконечная последовательность цифр. Доказите, что для любого натурального числа $n$, взаимно простое с числом 10, в последовательности можно указать такую стсяцих подряд цифр, что записьаемое этим цифрами число делится на $n$.

Будем считать, что нам задана бесконечная последовательность цифр $a_1, a_2, \dots, a_i, \dots$, записанная слева направо. Расмотрим такие числа:

$$a_m, a_{m-1}a_m, a_{m-2}a_{m-1}a_m, \dots, a_1a_2\dots a_m$$

(черта, как обычно, обозначает десятичную запись числа). Если $m$ достаточно велико — больше $n$, — то найдет два числа $a_{m-1}a_m, a_{m-2}a_{m-1}a_m, \dots, a_1a_2\dots a_m$ где $i < j$, дающие при делении на $n$ одинаковый остаток. Действительно, при делении на $n$ возможно $n$ различных остатков: 0, 1, 2, …, $n-1$. Поэтому, если $m > n$, то среди $m$ остатков, получающихся при делении выписанных выше чисел на $n$, обязательно найдет два одинаковых остатка: ведь если бы все остатки были разичны, то их было бы не больше $n$, а $m < n$. Рассуждение такого рода уже недоно-

*) См. статью Гиндикин С. Г., Сколько существует операций над множества, «Квант», 1973, № 7.

39

Рис. 4.

маленькие буквы обозначают также и прямы, на которых лежат стороны: $X_2X_3$ — пряма $x_1$, $X_3X_1$ — пряма $x_2$, $X_1X_2$ — пряма $x_3$.

Пусть треугольник $B$ как углово расположен в плоскости треугольника $A$. Проведем через вершины $A_1, A_2$, и $A_3$ прямы $x_1, x_2, x_3$, соответственно параллельные прямы $b_1, b_2$ и $b_3$. Ясно, что треугольники $X$ и $B$ подобны, поскольку их соответственно параллельны (рис. 2, 3). Таким образом, мы построили треугольник $X$, подобный треугольнику $B$, стороны которого или их продолжения проходят через вершины $A_1, A_2, A_3$ треугольника $A$. (Многие читатели считали, что треугольник, подобный $B$, должен быть описан вокруг $A$ в естественном, «узком» смысле слова, то есть точкам $A_1, A_2, A_3$ не разрешается лежать на продолжениях сторон $x_1, x_2, x_3$, а только на самих сторонах, как на рисунке 2, но не на 3. В конце мы скажем о тех изменениях, которые придается в ней решение при таком, более «узком» понимании).

Если врашать одновременно с одной и той же угловой скоростью прямую $x_1$ вокруг ее точки $A_1, x_2$ — вокруг $A_2$ и $x_3$ — вокруг $A_3$, то мы получим целое семейство треугольников $X$. Все это семейство мы обозначим буквой $S$. Ясно, что каждый треугольник $X$ семейства $S$ подобен $B$. На рисунке 4 видно, как меняется треугольник $X$ при повороте прямы $x_1, x_2, x_3$; не очень только, что происходит в «критический» момент, когда треугольник $X$ становится совсем маленьким; мы увидим скоро, что в некоторых моментах прямы $x_1, x_2, x_3$ проходят через одну точку, так что треугольник $X$ вырождается в эту точку; затем прямы $x_1, x_2, x_3$ приближаются к своим первоначальным положениям (это происходит, когда каждая из них повернется на угол $180^\circ$).

Выясним более точно, как устройство $S$. Заметим, что, когда две прямы равномерно врашают вокруг двух точек $A_1$ и $A_2$ (рис. 5), точка их пересечения $P$ описывает окружность с центром $O$, для которой $OA_1A_2 = OA_2A_1 = \frac{\pi}{2} - \varphi$, где $\varphi$ — постоянную угол между прямыми, $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$.

При этом для точки $P$ по одному сторону от прямой $A_1A_2$ угол $A_1PA_2$ равен $\varphi$, а по другую ($\pi - \varphi$). Отсюда следует, что каждая из точки $X_1, X_2, X_3$ вершин треугольников $X$ описывают окружности. Центры этих окружностей обозначим через $O_1, O_2, O_3$ (окружность с центром $O_1$ проходит через $A_2$ и $A_3$ и т. д.).

Найдем теперь треугольник на и более плосками. Воспользовемся тем, что все треугольники $X$ подобны, то есть и площадь, и длина каждой стороны максимальная у одного и того же из них. Рассмотрим, например, как меняется длина стороны $X_2X_3$ (рис. 6). Поскольку окружности, по которым пробегют $X_2$ и $X_3$, обе проходят через точку $A_1$, то основания $K_2$ и $K_3$ перпендикуляров $O_2K_2$ и $O_3K_3$, опущенных на прямую $x_1$, — середины отрезков $A_1X_2$ и $A_1X_3$. Поэтому

40

| $X_2X_3$| = 2 | $K_2K_3$| проекции отрезка $O_2O_3$ на прямую $x_1$ максимальная, очевидно, тогда, когда $x_1 \parallel O_2O_3$. Итак, мы доказали, что сторона $x_1$ максимального треугольника $M$ из семейства $S$ параллельна $O_1O_2$. Разумеется, точно так же получим, что у этого треугольника $x_2 \parallel O_1O_3$, $x_3 \parallel O_2O_1$. Отсюда ясно, как построить этот треугольник $M$.

Минимальный треугольник семейства $S$ получается, когда прямые $x_1, x_2, x_3$ перpendикularны линяем центров соответствующих пар окружностей: $O_2O_3, O_3O_1, O_1O_2$; при этом все стороны треугольника $X$ равны нулю. Таким образом, все три вершины треугольника $X$ совпадают — он выражается в точку; обозначим ее $C$. Через эту точку $C$ проходит все три окружности. Рисовать семейства треугольников вида $S$ проще всего, начиная именно с окружностей: убедитесь*) в том, что если взять произвольно три окружности, проходящие через одну точку $C$, обозначить отличные от $C$ точки их попарного пересечения через $A_1, A_2, A_3$, то можно принять любую точку на окружности за одну из трех вершин треугольника $X$, стороны которого проходят через точки $A_1, A_2, A_3$, а вершины лежат на наших окружности. Заметим еще, что при готовении с центром в точке $C$ и коэффициентом 2 центры окружностей $O_1, O_2, O_3$ переходит в вершины $M_1, M_2, M_3$ максимального треугольника семейства $S$ (рис. 7, а). Таким образом, треугольник $O$ всегда подобен $B^{**}$).

Мы указали выше, какой именно треугольник семейства $S$ наиболее suitable. Но это еще не полностью решает задачу М207. Дело в том, что множество треугольников, подобных В и описанных вокруг $A$, не исчерпывает одним семейством $S$. Например, треугольник $X$ на рисунке 3 не входит в семейство $S$, порожденное треугольником $B$ рисунка 2. Вообще, если отрезать треугольник $B$ относительно каждой прямой (безразлично какой) и, исходя из полученного треугольника $B'$, построить семейство $S'$ треугольников, — так же, как вначале мы строили семейство $S$, исходя из $B$, — то семейства $S$ и $S'$ не будут содержать общих треугольников ***).

*) «Убедитесь можно понимать здесь двояко: и как «проверите на примерах, вооружившись циркулем, линейкой и бумагой», и как «точно сформулируйте и докажите в общем виде».
**) Заметим, что возможность случая, когда треугольник $O$ вырождается в точку (и все три окружности совпадают). Подумайте, когда это происходит и во что превращается в этом случае семейство $S$.
***) Окружности, связанные с семейством $S'$, получаются из окружностей, связанных с $S$, симметрией относительно прямых $a_i$ (см. рис. 7, б).

Таким образом, нужно найти наиболее suitable треугольник в каком из двух семействах $S$ и $S'$ наиболее suitable, а также чтобы разобраться, все ли нужные треугольники «охвачены» двумя семействами $S$ и $S'$, введем понятие «ориентиции» треугольника. Заметим, что все рассматриваемые нами треугольники имеют определенную нумерацию вершин: мы говорим «треугольник», подразумевая «треугольник, вершины которого занутерованы цифрами 1, 2, 3». Орентация такого треугольника — это направление обхода («по» или «против» часовой стрелки), определяемое указаным порядком вершин: от 1 к 2, затем к 3, затем обратно к 1. На рисунке 8 черные треугольники ориентированы по часовой стрелке, красные — против. Ясно, что два готовичных треугольника (стороны которых соответственно параллельны) ориентированы одинаково, треугольники, получающие друг из друга поворотом, — тоже, а треугольники, симметричные относительно прямой, ориентированны противоположно друг другу. Таким образом, все треугольники семейства $S$

41

имеют одну ориентацию (такую же, как В), все треугольники $S'$ — противоположную. Так вот, можно доказать, что наиболее треугольник принадлежит семейству, ориентация которого совпадает с ориентацией А. (Доказите это самостояльно.)

Тепер обсуждим вопрос о том, все ли треугольники, описанные вокруг А и подобные В, мы изучили. Пока что мы рассмотрели все треугольники такого вида, получающие из В поворотом, гомотейн и, быть может, еще симметрией относительно прямой. Это всевозможные треугольники X, которые подобны В «сохранемным номерации вершин», то есть так, что $\Rightarrow X_1 = \Rightarrow B_1$, $\Rightarrow X_2 = \Rightarrow B_2$, $\Rightarrow X_3 = \Rightarrow B_3$. Итак, если требуется в условиях именно такого подобия (то есть подразуметь, что $\Rightarrow M_1 = \Rightarrow B_1$, $\Rightarrow M_2 = B_2$, $\Rightarrow M_3 = \Rightarrow B_3$), то решение можно считать законченным: все множество допустимых треугольников X исчерпывается двумя семействами S и $S'$, которые мы изучали.

Если же допускать подобия с «перенумерацией вершин» (то есть такие, что $\Rightarrow X_1 = \Rightarrow B_i$, $\Rightarrow X_2 = \Rightarrow B_j$, $\Rightarrow X_3 = \Rightarrow B_k$, где $(i, j, k)$ — любая перестановка из цифр 1, 2, 3), то получится не два, а 12 семейств $S_{ijk}$, и $S'_{ijk}$. Вершины треугольников из этих семейств заполняют 18 окружностей*). На рисунке 9, а или 9, б можно выgbать любую тройку прямых, попарно не параллельных и проходящих (по одной) через точки $A_1, A_2, A_3$ — обозначить их соответствующее $x_1, x_2, x_3$ — и получится один из представителей семейства $S_{ijk}$ или $S'_{ijk}$ (при этом $x_1||b_i, x_2||b_j, x_3||b_k$). Окзывается, что и из этих 12 семейств можно указать то, в котором наиболее треугольник больше, чем во всех других. Чтобы сформировать результаты, условия обозначить вершины треугольников А и В так, что $\Rightarrow A_1 \leqslant \Rightarrow A_2 \leqslant \Rightarrow A_3$ и $\Rightarrow B_1 \geqslant \Rightarrow B_2 \geqslant \Rightarrow B_3$ (тепер мы можем это себе позвольть), и расположим треугольник В так, чтобы ориентации А и В совпадали. Тогда самый большой треугольник принадлежит семейству $S_{123}$. Это утверждение доказали участники математического кружка из г. Кировска под руководством Н. Д. Нааева, прилавшего задачу М207 в «Квант».
Он рассматривал, правда, только те шесть семейств треугольников:

$S_{123}, S_{231}, S_{312}, S'_{132}, S'_{321}, S'_{213},$ (1) ориентация треугольников в которых совпадает с ориентацией треугольника А, но в остальных семействах, как мы уже говорили, максимальные треугольники заверенно меньше.

Наконец, коснемся решения задачи про треугольники, описанные в «узком» смыслом — так, что вершины $A_i$ лежат на сторонах $x_i$, а не на их продолжениях. Ясно, что из всех семейств также треугольники могут

*) Если В равносторонний, то семейств 2; если В равобедный, то 6.

Рис. 8.

встретиться только в тех, которые дают ориентацию, совпадающего с ориентацией А. При заданном соответствии номеров вершин остается, таким образом, одно семейств. Если и А, и В — треугольники остроугольные, то, как можно доказать*), максимальный треугольник М принадлежит допустимому множеству (описан в «узком» смысле). В общем случае это может быть не так,

*) См., например, задачу 54 из книги: Морозова Е. А. и Петраков И. С. Международные математические описания. М., «Просвещение», 1971.

42

и тогда в допустимом множестве (если оно вообше не пусто!) придетя выбрать тот треугольник, который получается из М поворотом сторон $x_1, x_2, x_3$ на наименьший возможный угол. Это будет, конечно, треугольник, одна из сторон которого содержит одну из сторон треугольника А.

Н. Б. Васильев

Ф213. Максимальное допустимая скорость движения автоматом по скользкой дороге при прохождения поворота радиуса $R$ равна $V_{\max}$. На повороте дорога наклона под углом $\alpha$ к горизонтуму. Какова минимальная скорость, с которой должен движаться автоматом, чтобы проехать поворот?

Рассмотрим силы, действующие на автоматом в первом случае (рис. 10, а). Это сила тяжесте mg, сила нормальной реакции со стороны дороги N и сила треня $F_{\tau p} = kN$ (козффициент треня колесо о дорогу). Поскольку автомат движется с максимальной допустимой скоростью, сила треня прейтствует «заносу» автоматом (движению вверх по дороге) и направлена вниз по наклонной плоскости дороги.

Во втором случае сил треня $F'_{\tau p} = kN'$ (N’ — сила реакции дороги в этом случае) прейтствует скольжению автоматом под действием силы тяжесте вниз по плоскости дороги и потому направлена вверх (рис. 10,б).

Запишем уравнения движения автоматоля для первого и второго случая. Для этого спроектируем все силы на вертикальную и горизонтальную оси.

Так как автоматом в вертикальном направлении не перемещается, то

$$\frac{mv^2_{\min}}{R} = mg \frac{\sin \alpha - k \cos \alpha}{\cos \alpha + k \sin \alpha}.$$

Отсюда

$$v_{\min} = \sqrt{Rg \frac{\sin \alpha - k \cos \alpha}{\cos \alpha + k \sin \alpha}}.$$

Для того чтобы найти $k$, воспользуемся уравнениями (1) и (3). Из уравнения (1) выразим $N$, подставим в уравнение (3) и получим

$$\frac{\sin \alpha + k \cos \alpha}{\cos \alpha - k \sin \alpha} = \frac{v^2_{\max}}{Rg}.$$

и

$$k = \frac{v^2_{\max} - Rg \sin \alpha}{v^2_{\max} \cos \alpha + Rg}.$$

Тогда

$$v_{\min} = \sqrt{Rg \frac{v^2_{\max} (\mathrm{tg}^2 \alpha - 1) + 2Rg \sin \alpha}{Rg (1 - \mathrm{tg}^2 \alpha) + 2v^2_{\max} \sin \alpha}}.$$

43

Ф214. В схеме, изображенной на рисунке 11, $R_1 = 10$ ком, $R_2 = R_3 = 5$ ком, а клеммам 1-2 приложено переменное напряжение $U = 127$ в. Диоды можно считать идеальными — при одном направлении мока их сопротивление бесконечно мал, при другом — бесконечно велико. Найти, какая мощность выделяется на сопротивлении $R_1$.

Так как диоды идеальны, можно считать, что поливну перiodа изменения напряжения на клеммах участки цепи $AB$ и $CD$ накоротко замкнуты, а другую поливну перiodа—разомкнуты. Это означает, что в первом случае данная схема эквивалентна схеме, приведенной на рисунке 12, $a$, а во втором—схеме, приведенной на рисунке 12, $b$.

Количество теплоты, выделяемой на сопротивлении $R_1$ в течение первого поливны перiodа, равно

$$Q_1 = \frac{U^2}{R_1} \frac{T}{2}$$

($T$—перiod изменения напряжения в цепи, $U = 127$ в—действующей значение напряжения).

В течение второй поливны перiodа через сопротивление $R_1$ идет ток

$$I = \frac{U}{R_1 + R_2 + R_3}$$

и на нем выделяется количество теплоты

$$Q_2 = I^2 R_1 \frac{T}{2} = \frac{U^2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2} R_1 \frac{T}{2}.$$

За перiod $T$ на сопротивлении $R_1$ выделяется количество теплоты

$$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{T}{2} U^2 \left[ \frac{1}{R_1} + \frac{R_1}{(R_1 + R_2 + R_3)^2} \right].$$

Это означает, что в среднем (по перiodу) на сопротивлении $R_1$ выделяется мощность

$$P = \frac{Q}{T} = \frac{U^2}{2} \left[ \frac{1}{R_1} + \frac{R_1}{(R_1 + R_2 + R_3)^2} \right] \approx 1 \text{ вт.}$$

Ф215. Для мыльных пузырьра радиусов $R_1$ и $R_2$ сливаются в один пузырь радиуса $R_3$. Найти аммосферное давление, если коэффициент поверхности наяжения мыльной ленки равен $\sigma$.

При решении этой задачи будем исходить из того, что после слияния двух

44

Из соответствии (2) и (3)

$$m_1 = \left( p_a + \frac{2\sigma}{R_1} \right) \frac{4}{3} \pi R_1^3 \frac{\mu}{RT},$$

$$m_2 = \left( p_a + \frac{2\sigma}{R_2} \right) \frac{4}{3} \pi R_2^3 \frac{\mu}{RT},$$

$$m_3 = \left( p_a + \frac{2\sigma}{R_3} \right) \frac{4}{3} \pi R_3^3 \frac{\mu}{RT}.$$

Найdenные выражения для $m_1, m_2,$ и $m_3$ подставим в равенство (1). В результате получим:

$$\left( p_a + \frac{2\sigma}{R_1} \right) R_1^3 + \left( p_a + \frac{2\sigma}{R_2} \right) R_2^3 = \left( p_a + \frac{2\sigma}{R_3} \right) R_3^3,$$

откуда

$$p_a = \frac{2\sigma \left( R_3^2 - R_1^2 - R_2^2 \right)}{R_1^3 + R_2^3 + R_3^3}.$$

Ф216. Вставая и приседая в определение моменты времени, мальчик на качелях лезко увеличаем амплитуду своих качаний. Объясните, почему это удается.

Качели с малчиком — это магнитик. Своободные колбания магнитка затухают из-за наличия сил сопротивления: энергия колбаний магнитка переходит в тепло. Для того чтобы сделать колбания незатухающим, нужно каким-либо способом компенсировать эти потери.

Можно магнитку с помощью спецального механизма периодических поставлять энергию извне. Если энергия, сообщенная магнитку, например, за период, будет больше потериной энергии за это же время, то амплитуда колбаний будет нарастать. При этом, однako, будет увеличитаться и потери энергии. Поэтому, когда поступающая извне энергия сравняется с теряемой энергией, амплитуда колбаний перестанет изменяться. Такие колбания называют автоколебаниями. Примером механической автоколебательной системы является магнитик в часах.

Другой способ увеличития амплитуды колбаний — изменение параметров самой системы. Именно о таком способе говорится в данной задаче.

Рассмотрим сначала колбания простейшей колбательной системы — математической магнитка. Если магнитик в силу каких-то случайных причины наcal колбаться, то раскачать его, то есть увеличит амплитуду колбаний, можно следующим образом: всякий раз, когда магнитик проходит положение равновесия, будем поднимать его, а когда магнитик максимально отклонен, будем его опускать. Таким образом мы периодически (с частотой, в два раза больше частоты колбания магнитка) меняем длину нити маятника — параметр самой системы. Поэтому такой способ возникления колбаний называют параметрическим возниклением.

Когда мы поднимаем магнитик, мы совершаем над ним работу, увеличитаем его потенциальную энергию. Опуска магнитик, мы предоставляем возможность силе тяжестями совершить работу, что уменшает энергию магнитка. Но все дело в том, что извне поступает энергия больше, чем расходуется. Действительно, поднимаем за нить магнитка на высоту $h$, тем самым укараивая на $h$ длину нити, мы совершаем работу

$$A_1 \approx F_{H_1} h = \left( mg + m \frac{v^2}{R} \right) h,$$

поскольку сила наяжения нити $F_{H_1}$ в положении равновесия не только уравновешивает силу тяжестями, но и сообщает магнитку центрстроительное ускорение. Когда же в точке максимального отклонения от положения равновесия мы даем возможность магнитку опуститься, то есть увеличитаем до первого начального значения $R$ длину нити, силе тяжестями совершить работу

$$A_2 = mgh \cos \alpha,$$

так как перемещение магнитка по вертикали равно $h \cos \alpha$.

Таким образом, в системе за один полуперiod поступает энергия

$$E = A_1 - A_2 > 0.$$

В результате этого амплитуда колбаний будет увеличится (конечно, если эта поступающая энергия больше выделяется тепля из-за действия сил сопротивления).

Теперь вернемся к задаче с качелями. Из вышесказанного ясно, что для того чтобы раскачать качели, мальчик должен приседать всякий раз, когда качели максимально отклонены, и вставать при прохождения положения равновесия. И в этом случае как бы меняется длина нити магнитка (если длиной нити считать расстояние от точки подвеса до положения центра тяжестями малчика), а роль силы наяжения нити выполняет сила реакции со стороны ног — $N$. В положении равновесия $N = mg + m \frac{v^2}{R}$ и

$$A_1 \approx \left( mg + m \frac{v^2}{R} \right) h,$$

где $h$ — высота подвеса центра тяжестями малчика. Когда качели максимально отклонены и мальчик приседает, силе тяжестями совершить работу

$$A_2 = mgh \cos \alpha.$$

Таким образом, за период системы получает энергия

$$E = 2 \left( A_1 - A_2 \right) \approx 2h \left[ m \frac{v^2}{R} + mg (1 - \cos \alpha) \right].$$

Эта величины положительная, поэтому энергия и, следовательно, амплитуда колбаний будут увеличится.

45

Ф217. Электронно-лучевавая мрубка с ускоряющим напряжением $U$ помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B$, направленной вдоль оси мрубки. На экране при этом наблюдается небольшое распливанное пятное. Если менять величины индукции, то можно заменить, что при некоторых значениях $B_0, 2B_0, 3B_0, \dots$ электронноеasma формула — собственная в точку. Объяснение это является тако явление. Как с помощью макого эксперимента определять отношение заряда электрона к его массе?

Электроны выпLETают из электронной пушки трубки с небольшим угловым разбросом скорости и попадают в магнитное поле. При этом в направлении оси электроны имеют одинаковые составляющие скорости, которые согласно закону сохранения энергии равны

$$v_1 = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$$

и различные составляющие, перепределительные оси, намного меньше, чем $v_1$.

На составляющие скорости, параллельные оси трубки, магнитное поле ниже является равномерным и прямолинейным. Начиные же перепределительных оси составляющих приводит к искривлению траектории движения электронов. Действительно, на электрон, в магнитное поле перепределкой его силовым линям, действует сила Лоренца $F = evB$,

где $e$ — заряд электрона, $v$ — его скорость, в данном случае равная перепределкой составляющей электрона. Эта сила сообщает электрону центростремильное ускорение

$$a_u = \frac{v^2}{R}$$

где $R$ — радиус окружности, по которой будет двигаться электрон. Согласно второму закону Ньютона

$$m \frac{v^2}{R} = evB$$

$$R = \frac{mv}{eB}$$

и периодвращения электрона по окружности

$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{eB}$$.

Мы получили очень важный результат: какими бы ни были составляющие скорости электронов, перепределительные оси трубки, все электроны совершают один оборот за одно и то же время. Если бы составляющие скорости электронов, параллельные оси трубки, были все равны нулю, то траекториями электронов были бы окружности разных радиусов, проходящие через одну точку — точку вылета электронов из пушки (рис. 13). Причем в эту точку все электроны приходили бы одновременно.

Так как электроны участвуют еще в равномерном прямолинейном движении вдоль оси трубки, то результатирующих траекториями их движений будут винтовые линни. Причем эти линни будут пересекаться на каждом шаге винта (рис. 14), так как составляющие скорости, параллельные оси, одинаковы для всех электронов. В точках пересечения траектория и формулы формулы электронов пятно на экране будет соблюдаться в точку, если расстояние $L$ от электронной пушки до экрана будет кратно шагу винтовой линни $h = v_1T$, то есть

$$L = nv_1T = \frac{n}{B} 2\pi \sqrt{\frac{2mU}{e}}.$$

Причем, при $B = B_0$ $n = 1$, при $B = 2B_0$ $n = 2$ и т. д.

С помощью такого эксперимента можно определить отношение заряда электрона к его массе. Действительно, из последней формулы

$$\frac{e}{m} = \frac{8\pi^2 U}{L^2 B_0^2}$$

измерив $U$, $L$ и $B_0$, найдем отношение $\frac{e}{m}$.

И. Ш. Слободечкий