Необычное путешествие

22

Почему-то все думают, что гравитацию ослабить нельзя. Оказывается, сделать это очень просто. Представьте себе, что два одинаковых массивных шара насажены на легкий длиной жесткий стержень. Когда шары сведены вместе и находятся на расстоянии $R$ от центра Земли, они пригiriваются к Земле с силой $F$. Развinem шары, сохраняя расстояние от них до центра Земли прежним; на каждый шар теперь действует сила, равная $\frac{F}{2}$ (рис. 1). Но направлены эти силы к центру Земли, то есть под некоторым углом $\alpha$ друг к другу! А значит, результатующая сила $F_p = F \cos \frac{\alpha}{2}$. Гантель пригiriвается слабее, чем материалная точка той же массы.

Конечно, никакого ослабления гравитационных сил не производит. Дело же в том, что равнойствующая гравитационных сил, приложенных к составляющим тело частицам, не равна арифметической сумме этих сил. Тело массы $m$ в поле тяготения можно считать материалной точкой той же массы только в том случае, если оно однородно и имеет форму шара. Тогда сила, действующая на материалную точку, помещенную в центре такого шара, равна силе, действующей на тело. Тем не менее, изучая движение тела в гравитационном поле, обычно рассматривают силы, действующие на материалную точку. Это можно делать,

Рис. 1.

23

Пусть при движении по орбите вокруг Земли части корабля развигаются и сдвигаются так, что угол α удерживает постоянным (рис. 2).
(Чтоы удерживать заданный угол α, надо специально управлять ориентией корабля, а не только сдвижением и развижением его части.) Тогда сила, действующая на гантель по всей орбите, отличается от силы, действующей на материальную точку той же массы, постоянным множителем $\cos \frac{\alpha}{2}$. Иными словами, для гантели сила пряжения к Земле равна не $\gamma \frac{mM}{R^2}$, а $\gamma' \frac{mM}{R^2}$, где $\gamma' = \gamma \cos \frac{\alpha}{2}$. Здесь $\gamma$ — гравиционная постоянная, $m$ — масса гантели, $M$ — масса Земли, $R$ — расстояние до центра Земли.

Размеры корабля все-tаки невелики по сравнению с расстоянием $R$, поэтому угол α довольно мал, то есть величины $\cos \frac{\alpha}{2}$ близка к единице. Все физические законы, справедливые для материальной точки в поле тяжести Земли, справедливы и для нашего корабля, нужно только гравиционную постоянную $\gamma$ всюду заменять на $\gamma'$. Так, потенциальная энергия гантели в поле тяжести Земли будет равна $\gamma' \frac{mM}{R}$.

Выполняются в нашем случае и все законы Кеплера. В частности, орбита корабля должна быть эллипсом, в одном из фокусов которого находится Земля.

Пусть наш корабль движется по орбите с прижатыми друг к другу шарами. Что произойдет, если быстро развинуть шары на угол α в перигree *)? Гравитационная постоянная изменится в $\cos \frac{\alpha}{2}$ раз, уменьшится и потенциальная энергия корабля. Значит, его кинетическая энергия увеличится. Корабль поддет по новой орбите, тоже по эллипсу, но немного большему. Так как $\gamma'$ все же крайне мал отличается от $\gamma$, то в апогее он удалится от Земли тоже крайне незначительно, а в перигree вернется в ту же точку.

Чтоы выбрать правильную тактику ухода с орбиты, разберемся, как меняется скорость при движении по орбите. На первой половине эллипса, от перигree до апогея (рис. 3), сила пряжения направлена под тупым углом к скорости, поэтому скорость уменьшается по величины. От апогея до перигея скорость все время увеличивается, потому что сила пряжения направлена под острым углом к скорости. На одной половине эллипса сила тяготения тормозит корабль, на другой — его разгоняет, причем работы по разгону и торможению равны по величины.

*) Перигей — точка орбиты, близкая к Земле. Апогей — самая удаленная от Земли точки орбиты.

Рис. 2.

Рис. 3.

25

Отсюда

$$v_0 + V_0 = \frac{2\gamma' M}{v}.$$

Обозначим $2\frac{\gamma' M}{v}$ через $w'$, тогда $v_0 + V_0 = w'$. (1)

Совершенно аналогично при перехождение от апогея $A_0$ к перигree $\Pi_1$ получим $V_0 + v_1 = w$, (2)

где $w = \frac{2\gamma M}{v}$. Из равенств (1) и (2) следует, что

$$v_1 - v_0 = w - w'.$$

Это означает, что за один оборот вокруг Земли скорость возрастает на постоянную величину $w - w'$.

Тепер не трудно построить графики зависимости скоростей и расстояний в перигree и апогее от числа оборотов $n$ (рис. 5, а, б).

После $n$ оборотов

$$v = v_0 + n(w - w')$$

$$V = V_0 - n(w - w')$$

$$r = \frac{v}{v_0 + n(w - w')},$$

$$R = \frac{v}{V_0 - n(w - w')}.$$

Из анализа этих зависимостей видно, что в тот момент, когда скорость в перигree превышает $w'$, наш корабль уже не вернется к Земле.

Что это за скорость $v = w'$? В перигree $w' = 2\gamma' \frac{M}{v}$. Подставим $v = rv$. Получим $v = 2\gamma' \frac{M}{rv}$, откуда $v = \sqrt{\frac{2\gamma' M}{r}}$. Значит, $v = w'$ — это вторая космическая скорость на расстоянии $r$ от центра Земли. Тепер стал ясен смысл $w$ и $w'$ — это вторые космические скорости для $y$ и $y'$ при заданном моменте импульса $L = mv$.

А теперь давайте обсудем, насколько реализен такой космический корабль. Если он имеет длину $l$ на орбите радиуса $R$, то $\alpha \approx \frac{l}{R}$.

Тогда, как как для малого $\alpha$ cos$\frac{\alpha}{2} \approx 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2$, получим относительное отличие сил притяжения $\frac{\gamma - \gamma'}{\gamma} \approx \frac{l^2}{8R^2}$. Для корабля длиной около 20 м на орбите радиуса примерно 10 000 км относительное ослабление gravитации всего $0,5 \cdot 10^{-12}$. Но для корабля длиной около 200 км эффектив уже значительен — $0,5 \cdot 10^{-4}$. Такому кораблю для того, чтобы уйти от Земли, нужно немного больше года.

Интересно, что чем меньше радиус орбиты, тем быстрее корабль покинет Землю. Ведь за то же время он успеет совершить большие число оборотов, причем начиная с большей скорости. Чем сильнее корабль притягивает, тем быстрее он уходит. По расчетам В. В. Белецкого, с расстояниям двацать тысяч kilометров от центра сверхплотной звезды Сириус В космической корабль длиной 200 км смог бы уйти всего за полтора часа.