Задачи М246—М250; Ф258—Ф262

34

Задачи

M246—M250; Ф258—Ф262

M246. На плоскости даны две прямы m и n и точка O. Построите треугольник, две высоты которого лежат на данных прямы m и n, а центр описанной окружности находится в точке O.

Ю. А. Грязнов

M247. Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плосками, из которых k имеют форму уголка, а остальные 12 — k — прямогольника (см. рис. 1). При каких k это возможно?

Э. Туркевиц

M248. В выпуклий n-угольник $A_1A_2 \dots A_n$ в писан n-угольник $B_1B_2 \dots B_n$, площадь которого равна P (вершина $B_i$ лежит на стороне $A_iA_{i+1}$ для $i = 1, 2, \dots, n-1$, а вершина $B_n$ — на $A_1A_1$). Около того же n-угольника $A_1A_2 \dots A_n$ описан n-угольник $C_1C_2 \dots C_n$, площадь которого равна Q, так, что $C_1C_2||B_1B_2, C_2C_3||B_2B_3, \dots, C_nC_1||B_nB_1$

Рис. 1. Рис. 2.

35

Рис. 3.

(вершина $A_i$ лежит на стороне $C_{i-1}C_i$ для $i = 2, \dots, n$, а вершина $A_1$ — на стороне $C_nC_1$, см. рис. 2). Найдите площадь $n$-угольника $A_1A_2 \dots A_n$.

И. А. Кушинр

M249*. На ребрах $A'D'$ и $C'D'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ выбирают две точки $K$ и $M$ так, что плоскость $KDM$ касается шара, вписанного в куб (рис. 3). Докажите, что величина $\phi$ двугранного угла при ребре $B'D$ tetraэдра $B'DKM$ не зависит от выбора точки $K$ и $M$. Найдите эту величины $\phi$.

И. Ф. Шарыцин

M250. a) * При дворе короля Артура *) собрать $n$ рыцарей. Некоторые из них враждуют друг с другом, но у каждой рыцаря не менее $\frac{n}{2}$ друзей среди собравшихся. Докажите, что Мерлин — советник короля Артура — может усадить рыцарей за круглым столом так, чтобы рядом с каждой сидели его друзья.

6. Докажите, что если у каждой рыцаря четное (и, конечно, положительное) количество друзей, то Мер-
   *) См. Марк Твен. Янки при двере короля Артура.

2*