Tự làm các thí nghiệm tôpô

58

Tự làm các thí nghiệm tôpô
B. A. Kordemsky

Trong bài viết này, chúng tôi mời bạn làm quen với cấu trúc liên kết, một ngành khoa học nghiên cứu các đặc tính của các hình không thay đổi khi kéo dài mà không bị đứt hoặc cuộn mà không cần dán. Để làm được điều này, bạn phải thực hiện một số thí nghiệm: tô màu bản đồ, giải thoát bản thân khỏi sợi dây “bị giam cầm”, cắt các dải giấy thành các vòng không phân phối.

Trên thực tế, bản thân cấu trúc liên kết bắt đầu bằng việc khám phá ra bí mật của một số câu đố hình học thú vị đã khiến Leonhard Euler và các nhà toán học khác vào thời đó bận tâm.

Bốn màu: không ít, không cần nhiều hơn

— Vadim, hãy nhìn vào tấm thẻ tôi nhận được để cắt (Hình 1). Nó phải được tô màu sao cho các vùng lân cận không trở thành một sao (các vùng chỉ có một điểm chung không được coi là lân cận;

Cơm. 1.

màu nào được gọi là thường xuyên). Có vẻ như năm màu là đủ đối với tôi.

“Đúng vậy, Olya, một gót chân màu sắc là đủ để có được màu chính xác của bất kỳ lá bài nào trên mặt phẳng,” Vadim xác nhận, “nhưng trong trường hợp này, tôi sẽ cố gắng giới hạn bản thân ở bốn màu.” Bạn có nhớ chúng ta đã có bài giảng “Về bài toán bốn màu”, trong đó…

“Thật vậy,” Olya ngắt lời Vadim, “chưa ai nghĩ ra bản đồ nào yêu cầu màu thứ năm để tô.” Đây là một trong những bài toán cũ nổi tiếng vẫn chưa khuất phục trước nỗ lực của các nhà toán học. “Bài toán tứ sắc” tưởng chừng đã vượt qua mốc thế kỷ từ lâu nhưng “sự vật vẫn còn đó”?

“Chà, nếu bạn tính từ một bài giảng vào năm 1840, tại đó nhà thiên văn học và hình học người Đức August Mobinus đã trình bày phiên bản ban đầu của vấn đề này mà không áp dụng nó vào bản đồ tô màu *), thì hơn 130 năm đã trôi qua,” Vadim trả lời, “nếu tính từ năm 1878, thì cột mốc thế kỷ vẫn chưa đạt được.”

• Sao em lại nhắc đến cuộc hẹn hò thứ hai khác? - Olya tin tưởng.

— Năm 1878, tại một trong những ấn phẩm của Hiệp hội Địa lý Anh, nhà toán học xuất sắc người Anh Arthur Calley đã hình thành rõ ràng bài toán: để chứng minh rằng mọi bản đồ địa lý trên một mặt phẳng (hoặc trên quả địa cầu) đều có thể được vẽ chính xác bằng bốn màu, từ đó mang lại ý nghĩa thực tiễn cho bài toán này. Chính từ thời điểm này, bài toán đã trở nên đặc biệt phổ biến và thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học cũng như những người yêu thích các câu đố toán học. Ngay sau đó kết quả đầu tiên xuất hiện: bằng chứng

*) “… trên một mặt phẳng không thể tạo ra năm vùng sao cho mỗi hai vùng đều có một ranh giới chung” - từ bài giảng của Mobinus.

59

bằng chứng chỉ một gót sơn là đủ (cũng ở Anh, một năm sau báo cáo của Cayley), nhưng bằng chứng hoàn chỉnh về chỉ bốn loại sơn vẫn chưa được phát minh.

“Đợi đã, Vadim,” Olya lại ở bên nhau. Bạn nói rằng không có bằng chứng đầy đủ, nhưng liệu có kết quả cụ thể nào không? Tôi không biết gì về điều này.

• Vâng, Olya, có một số kết quả. Gần đây đã có một sự thay đổi đáng kể trong lời giải “vấn đề bốn màu”*). Năm 1968, các nhà toán học Ringel và Youngs đã đưa ra câu trả lời đầy đủ đáp số cho câu hỏi về số lượng màu nhỏ nhất đủ để tô màu chính xác một bản đồ được vẽ trên bất kỳ bề mặt nào ngoại trừ … bề mặt của một quả địa cầu nói chung, và do đó là một mặt phẳng.

“Tôi biết,” Olya lưu ý, “tại sao bạn lại nói: “vì vậy, máy bay.” Nếu người ta chứng minh được rằng có đủ hoặc ngược lại, không đủ bốn màu để tô màu bản đồ vẽ trên hình cầu, thì “bài toán bốn màu” sẽ được giải quyết đối với bản đồ phẳng, vì bất kỳ bản đồ nào trên hình cầu đều có thể được biến thành bản đồ tương đương trên mặt phẳng và ngược lại.

— Đúng vậy, Olya, nhưng bản đồ phẳng cũng có kết quả. Năm 1969, các nhà toán học Ore và Stepple đã chứng minh rằng bất kỳ bản đồ nào trên một mặt phẳng bao gồm không quá 39 khu vực đều có thể được tô bằng bốn màu, và vào năm 1971, nhà toán học Liên Xô G. A. Donets đã chứng minh tuyên bố này cho các bản đồ bao gồm 41 khu vực.

• Cảm ơn, Vadim. Tôi sẽ đi tô màu bản đồ.

Vài ngày sau, Vadim hỏi Ole đã tô xong bản đồ bằng bốn màu chưa.

“Tất nhiên,” Olya trả lời, “chỉ có 32 oba trên bản đồ của tôi.”

*) Có lẽ Vadim đã đọc về điều này trong cuốn sách: Harar and F. Graph Theory. M., “Mir”, 1973, tr. 158, 162.

Cơm. 2.

lacti. Tôi đã thử các điều kiện bài toán và vẽ chính xác tám khu vực với mỗi màu. Hãy tưởng tượng - nó đã hoạt động!

• Tuyệt vời! Làm tốt lắm, Olya! Tôi cũng sẽ cố gắng làm điều này.

Bài toán 1. Cố gắng tô màu từng khu vực trong số tám khu vực trên bản đồ của Olya.

Bài toán 2. Chứng minh rằng có một bản đồ không thể sơn ít hơn 4 màu.

Phân vùng khu vực

Diện tích trong Hình 2 được đặt trên bốn khu vực, bao gồm không quá 39 khu vực, có thể được tô bằng bốn màu, và vào năm 1971, nhà toán học Liên Xô G. A. Donets đã chứng minh nhận định này cho các bản đồ gồm 41 khu vực.

• Cảm ơn, Vadim. Tôi sẽ đi tô màu bản đồ.

Vài ngày sau, Vadim hỏi Ole đã tô xong bản đồ bằng bốn màu chưa.

“Tất nhiên,” Olya trả lời, “chỉ có 32 oba trên bản đồ của tôi.”