Bài toán M246—M250; F258—F262

34

Bài toán

M246—M250; F258—F262

M246. Trên mặt phẳng cho hai đường thẳng m, n và một điểm O. Vẽ một tam giác có hai đường cao nằm trên các đường thẳng m và n cho trước, tâm của đường tròn ngoại tiếp là điểm O.

Yu. A. Gryaznov

M247. Một hình vuông 6x6 cần được lấp đầy bằng 12 mặt phẳng, trong đó k có dạng góc và 12 - k - là hình chữ nhật còn lại (xem Hình 1). Tại mức k nào thì điều này có thể thực hiện được?

E. Turkewitz

M248. n-giác lồi $A_1A_2 \dots A_n$ chứa một n-giác $B_1B_2 \dots B_n$ có diện tích là P (đỉnh $B_i$ nằm trên cạnh $A_iA_{i+1}$ đối với $i = 1, 2, \dots, n-1$ và đỉnh $B_n$ nằm trên $A_1A_1$). Gần cùng một n-giác $A_1A_2 \dots A_n$ có một n-giác $C_1C_2 \dots C_n$ có diện tích bằng Q nên $C_1C_2||B_1B_2, C_2C_3||B_2B_3, \dots, C_nC_1||B_nB_1$

Cơm. 1. Hình 2.

35

Cơm. 3.

(đỉnh $A_i$ nằm trên cạnh $C_{i-1}C_i$ cho $i = 2, \dots, n$ và đỉnh $A_1$ nằm trên cạnh $C_nC_1$, xem Hình 2). Tìm diện tích của $n$-gon $A_1A_2 \dots A_n$.

I. A. Kushinr

M249*. Trên các cạnh $A'D'$ và $C'D'$ của khối lập phương $ABCDA'B'C'D'$, hai điểm $K$ và $M$ được chọn sao cho mặt phẳng $KDM$ chạm vào quả bóng nội tiếp trong khối lập phương (Hình 3). Chứng minh rằng giá trị $\phi$ của góc nhị diện tại cạnh $B'D$ của tứ diện $B'DKM$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm $K$ và $M$. Tìm số lượng này $\phi$.

I. F. Sharytsin

M250. a) *Tại triều đình của Vua Arthur *) tập hợp $n$ hiệp sĩ. Một số người trong số họ có thái độ thù địch với nhau, nhưng mỗi hiệp sĩ có ít nhất $\frac{n}{2}$ bạn bè trong số những người tập hợp lại. Chứng minh rằng Merlin, cố vấn của Vua Arthur, có thể xếp các hiệp sĩ ngồi vào một bàn tròn để bạn bè của anh ta ngồi cạnh nhau.

6. Chứng minh rằng nếu mỗi hiệp sĩ có số bạn bè chẵn (và tất nhiên là dương), thì Mer-
   *) Xem Mark Twain. Một tên Yankee trước cửa nhà vua Arthur.

2*