Về lực quán tính

28

Nghe trên xe buýt
Hãy bắt đầu với một sự việc bình thường. Xe buýt phanh gấp trước đèn giao thông, hành khách bị kéo về phía trước. Ai đó đã giẫm lên người đang đứng phía trước và tất nhiên là phải luồn lách xung quanh. Từ quan điểm của các quy tắc ứng xử, mọi thứ đều có trật tự. Nhưng đối với một nhà vật lý, cái kết của câu chuyện có vẻ phi lý. Tất nhiên, hành khách không có lỗi: có lẽ người lái xe kiêu ngạo là người đáng trách - anh ta nên quan tâm đến khoa học về hành vi, nhưng chúng ta hãy tự hỏi, nói đúng ra, lỗi của người lái xe là gì? Làm sao tài xế có thể đẩy được hành khách? Rốt cuộc, anh ta ngồi rất xa và thậm chí không thể với tới họ. Chúng ta có thể nói rằng lực (tất nhiên, không phải từ người lái mà từ động cơ hoặc có lẽ từ phanh) đã được truyền qua sàn. đáp số này cũng không thể được coi là thỏa đáng: suy cho cùng, hora vẫn đứng yên tại chỗ - hành khách dường như bị kéo, đúng hơn là bởi đầu…

Nếu anh ta không cố tình làm xáo trộn vấn đề thì mọi chuyện sẽ được giải thích rất đơn giản. Tài xế phanh xe buýt; chân của hành khách (do lực ma sát tĩnh cao của lòng bàn chân với sàn) cũng chậm lại, thân và đầu tiếp tục chuyển động với cùng tốc độ, tuân theo định luật thứ nhất. Định luật quán tính của Newton. Ví dụ, nếu không có ma sát, tất cả hành khách đều đứng trên những con lăn hoàn hảo (điều mà bạn không thể làm vì lợi ích khoa học!), thì họ sẽ không cảm nhận được bất kỳ tác động nào ngay lập tức, và hết người này đến người khác sẽ va vào bức tường của cabin tài xế đột nhiên dừng lại trước mặt họ.

Mô tả như vậy sẽ được đưa ra bởi bất kỳ người quan sát hợp lý nào ở trong hệ tọa độ quán tính, ví dụ, cảnh này được quan sát khi đang đứng trên vỉa hè.

Nhưng có thể xảy ra trường hợp một người khác muốn phân tích câu chuyện tương tự, chẳng hạn như người lái xe buýt đang ngồi chặt trên cây thánh giá của mình. Tất nhiên, anh ta biết rằng chiếc xe buýt đã giảm tốc độ, tức là nó đang tăng tốc so với mặt đất, và do đó hệ thống báo cáo của nó sẽ không còn quán tính nữa. Người lái xe sẽ giải thích sự việc theo cách này. Anh ấy sẽ nói gì

29

một hành khách không biết tác dụng của phanh xe mà vô tình cảm nhận được? Vì vậy, chúng ta đi đến câu hỏi chính - các chuyển động cơ học được mô tả như thế nào trong các hệ thống báo cáo phi quán tính?

Được biết, các định luật cơ bản của chuyển động - định luật Newton - chỉ có giá trị trong các hệ thống báo cáo quán tính. Do đó, điều tự nhiên là mong đợi rằng khi chuyển sang hệ phi quán tính, các phương trình chuyển động sẽ thay đổi. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ giới hạn ở cơ học cổ điển, nghĩa là không xem xét các chuyển động có tốc độ tương đương với tốc độ ánh sáng, thì hóa ra phương trình cơ bản của chuyển động có thể được viết giống hệt như định luật thứ hai của Newton, nếu chúng ta đưa ra một khái niệm mới - khái niệm lực quán tính.

Khi người lái xe phanh xe buýt, anh ta thấy rằng hành khách trên giày trượt patin (nghĩa là không có rung lắc) nhận được gia tốc so với xe buýt, hướng theo hướng xe buýt đang di chuyển trước khi phanh. Hoặc, cũng tương tự, gia tốc của hành khách ngược chiều với gia tốc mà xe buýt nhận được.

Gia tốc này không liên quan trực tiếp đến tác động của một vật nào đó lên hành khách mà được quan sát thấy trong hệ tọa độ có gia tốc. Cố gắng mô tả chuyển động theo quan điểm của các định luật cơ học thông thường, người ta sẽ phải nói: nếu có gia tốc thì nó phải được quy cho tác dụng của một lực nào đó. Những lực như vậy, được đưa vào trong các hệ thống báo cáo phi quán tính nhằm mô tả chuyển động có gia tốc của các vật tự do, được gọi là lực quán tính.

Lực quán tính khác với lực thông thường, chẳng hạn như lực điện hoặc lực hấp dẫn, chủ yếu ở chỗ chúng được gây ra không phải do sự tương tác của các vật thể mà do chuyển động tăng tốc của chính hệ thống báo cáo. Lực quán tính biến mất khi chuyển sang hệ thống báo cáo quán tính (quan sát trên vỉa hè), trong khi lực thông thường không thay đổi khi chuyển sang bất kỳ hệ thống báo cáo nào khác. Các lực thông thường được cho là bất biến đối với sự chuyển đổi trong một hệ tọa độ khác, nếu tốc độ của hệ quy chiếu mới tương đối với đa thức còn lại ban đầu của tốc độ ánh sáng *). Lưu ý đến một tính chất cơ bản như vậy của các lực thông thường, đôi khi lực quán tính được gọi là lực giả (lực “như thể”) hoặc lực hư cấu.

Một sự khác biệt quan trọng khác giữa các lực quán tính là từ quan điểm phi quán tính, các lực này được quan sát thấy tác dụng tại tất cả các điểm của hệ, bất cứ nơi nào vật thể đang nghiên cứu tọa lạc, và ở vùng lân cận của vật thể thì không thể chỉ ra nguồn gốc của các lực này. Nếu một hành khách đứng trên giày trượt patin, chỉ một hành khách khác, thì họ sẽ lái xe rời xa nhau theo các hướng khác nhau, lo lắng về định luật thứ ba của Newton.

Sau khi bảo vệ xe buýt, tất cả hành khách đều tiến về phía trước, không ai quay lại. Theo nghĩa này, tác dụng của lực quán tính giống với tác dụng của lực điện hoặc lực từ được truyền qua một trường điện từ và cũng không dễ để hiểu phản lực là gì. Do đó, trong bài toán một khái niệm tương tự có thể được sử dụng về lực quán tính - trường lực quán tính.

Trường và lực

Người ta biết rằng sự tương tác của điện tích và dòng điện được thực hiện bởi một trường điện từ, các lực hấp dẫn được truyền bởi trường hấp dẫn và các lực tương tác.

*) Nếu hệ thống báo cáo chuyển động với tốc độ tương đương với tốc độ ánh sáng, thì như thuyết tương đối cho thấy, các lực thông thường không bất biến. Do đó, chúng tôi giới hạn bản thân trong các hệ thống báo cáo phi tương đối cổ điển.

30

tương tác giữa các nucleon - trường lực hạt nhân.

Trong tất cả các trường hợp này, sự tương tác giữa các vật thể sẽ xảy ra mà không có sự tiếp xúc không được thể hiện. Khái niệm trường lực vật lý được đưa ra để mô tả loại tương tác này. Khái niệm này đã được thiết lập vững chắc trong vật lý và trong thế kỷ 20 đã loại bỏ hoàn toàn khái niệm lực tiếp xúc. Chỉ ở khoảng cách ngắn, đôi khi mới thực tế hơn khi nói về sự tiếp xúc của các vật thể, về lực đẩy hoặc va chạm.

Để bảo toàn định luật thứ ba của Newton, họ nói về tác dụng nghịch đảo của vật lên trường. Vì vậy, chẳng hạn, sự tương tác của hai điện tích ở xa nhau có liên quan đến tương tác giữa điện tích và trường tại vị trí của điện tích.

Sự cố trên xe buýt cũng có thể được mô tả bằng khái niệm trường lực. Trong một chiếc xe buýt đang phanh, theo quan điểm của người lái xe, một trường lực quán tính xuất hiện tác dụng lên hành khách. Nhưng cần nhấn mạnh rằng trường này nảy sinh do hệ thống báo cáo chuyển động được tăng tốc và nó có thể bị “phá hủy” khi chuyển sang hệ tọa độ quán tính.

Do đó, khi được tăng tốc trong một xe buýt đang chuyển động (chúng ta sẽ nói thêm - trong hệ tọa độ), một trường lực quán tính phát sinh, trước hết đáng chú ý là nó tạo ra gia tốc như nhau cho tất cả các vật thể trong hệ, bất kể khối lượng của chúng. Các gia tốc này có giá trị tuyệt đối bằng gia tốc của hệ tọa độ và hướng theo hướng ngược lại.

Chỉ có một lực trong tự nhiên - lực hấp dẫn - có những tính chất giống nhau. Ví dụ, trong trường hấp dẫn của Trái đất, mọi vật thể đều rơi tự do với cùng một gia tốc so với hệ quy chiếu quán tính. Sự tương tự này thực sự có một ý nghĩa sâu sắc - nó phản ánh nguyên tắc tuyến tính của sự tương đương *), ý nghĩa cơ bản của nó được bộc lộ trong thuyết tương đối.

Trong lúc đó, chúng ta có thể đưa ra một kết luận quan trọng: giống như lực hấp dẫn, lực quán tính tỉ lệ với khối lượng của vật. Đây là hệ quả của sự bằng nhau về gia tốc của mọi vật tự do trong hệ tọa độ không chu vi.

Các loại lực quán tính là gì?

Nguyên lý của Galileo phát biểu rằng trong bất kỳ hệ quy chiếu quán tính chuyển động nào, các định luật cơ học cũng được áp dụng như trong hệ quy chiếu đứng yên**). Mặt khác, họ nói rằng không có thí nghiệm nào bên trong hệ có thể được quan sát để biết liệu nó chuyển động đều và thẳng hay kết thúc. Đặc biệt, điểm vật chất, trên đó không có vật nào tác dụng trong một hệ như vậy, sẽ kết thúc hoặc chuyển động mà không có gia tốc. Về vấn đề này, chúng ta phải nói thêm rằng điểm không được nằm trong điện trường hoặc từ trường và không được tác động từ bên ngoài bởi bất kỳ vật thể nặng nào. Có thể nói, việc áp dụng nguyên lý Galileo theo hướng ngược lại là hợp lý để xác định xem hệ thống báo cáo có quán tính hay không. Thước đo cho điều này phần lớn phải là mức độ chính xác của việc thực hiện các định luật Newton trong hệ thống này.

*) Ví dụ, xem bài viết của D. Borodin “Khối lượng hấp dẫn”, «Kvant», 1973, số 2.

Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng Trái đất hữu ích cũng có thể bị “phá hủy” bằng cách chuyển sang một hệ tọa độ khác, chẳng hạn như tàu vũ trụ. Hiện tượng không thuận nghịch (khi lực hấp dẫn được “cân bằng” bởi lực quán tính) phản ánh dòng chảy của lực hấp dẫn với lực quán tính.

**) Nguyên lý Einstein còn đi xa hơn nữa, khẳng định rằng tất cả các định luật vật lý (không chỉ các định luật cơ học) vẫn giữ nguyên. Trong bài viết này chúng ta sẽ chỉ nói về các hiện tượng cơ học cổ điển.

31

Cơm. 1.

Nếu chúng ta xem xét chuyển động của một vật thể trong các hệ thống báo cáo phi quán tính, thì chúng ta không thể quên rằng ngoài các lực tương tác thông thường, lực quán tính còn tác dụng lên các vật thể. Để viết phương trình chuyển động của một vật, bạn phải xác định được tất cả các lực. Lực của cơ thể phụ thuộc vào vị trí tương đối của cơ thể và vận tốc tương đối của chúng. Các lực quán tính do gia tốc chuyển động của hệ thống báo cáo gây ra rõ ràng cũng phụ thuộc vào bản chất chuyển động của chính hệ thống báo cáo.

Hãy xem xét hai trường hợp:

1. một hệ báo cáo liên quan đến một hệ quán tính đứng yên của chuyển động tịnh tiến với một gia tốc không đổi nào đó;
2. Hệ thống báo cáo quay quanh một trục cố định với vận tốc góc không đổi.

Trong trường hợp thứ nhất, chỉ có một lực xuất hiện, lực đó gọi là lực quán tính. Trong trường hợp thứ hai, chúng ta cần nói về hai lực. Đầu tiên chỉ phụ thuộc vào tọa độ, nghĩa là vào khoảng cách đến trục quay; Các lực này được gọi là định tâm bằng lực quán tính. Thứ hai phụ thuộc vào tốc độ chuyển động của cơ thể so với hệ thống báo cáo quay, nhưng không phụ thuộc vào tọa độ; nó được gọi là lực Corniss trong phần của thợ cơ khí người Pháp Corpolis (1792-1843). Chúng tôi sẽ không nói về lực Corniss trong bài viết này.

Để có được các biểu thức cụ thể cho lực quán tính trong chuyển động tịnh tiến và cho lực quán tính định tâm, việc so sánh các chuyển động của vật thể trong hệ thống báo cáo quán tính và không quán tính là đủ.

Chuyển tiếp của hệ thống báo cáo

Cho hệ báo cáo $K'$ chuyển động có gia tốc đều với gia tốc $a_0$ so với hệ quán tính $K$. Chúng ta hãy xem xét một vật chịu tác dụng của một lực $F$ từ một vật khác, tạo cho nó một gia tốc $a$ so với hệ $K$. Gia tốc của vật này trong hệ $K'$ được ký hiệu là $a'$. Chúng ta hãy mô tả chuyển động của vật thể được chọn theo quan điểm của hai người quan sát: một người được liên kết với hệ thống $K'$ (chúng ta sẽ gọi nó là người quan sát chuyển động), người kia nằm trong hệ thống $K$ (chúng ta sẽ gọi nó là người quan sát đứng yên).

Đối với người quan sát đứng yên (trong hệ thống báo cáo quán tính), vật thể tham gia vào hai chuyển động (Hình 1): với gia tốc $a'$ so với hệ $K'$ và với gia tốc $a_0$ so với hệ $K$, do đó gia tốc toàn phần của nó

$$a = a' + a_0.$$

Hãy viết phương trình chuyển động của vật:

$$m a = F,$$

hoặc

$$m (a' + a_0) = F.$$

Đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại theo cách khác:

$$m a' = F - m a_0.$$ (1)

32

Trong trường hợp một phần, khi $F = 0$, không có gia tốc trong hệ $K$, tức là $a = 0$, do đó

$$a' = -a_0.$$

Do đó, một vật thể quan sát chuyển động sẽ phát hiện ra rằng tất cả các vật thể tự do trong hệ thống của anh ta đều có gia tốc có giá trị tuyệt đối bằng gia tốc của chính hệ thống báo cáo, nhưng có hướng ngược lại. Có thể nói rằng trong hệ này có một trường lực tác dụng lên các vật có lực $F_n$, gọi là lực quán tính.

Vì vậy, từ quan điểm của phương trình chuyển động quan sát được của một vật, trong trường hợp tổng quát nó phải được viết như sau (Hình 2):

$$m a' = F + F_n.$$ (2)

So sánh (1) và (2), dễ dàng thấy rằng

$$F_n = -m a_0.$$

Nghĩa là, trong trường hợp chuyển động tịnh tiến của hệ báo cáo phi tiêu, lực quán tính phụ thuộc vào gia tốc của hệ này, dễ thay đổi bằng thực nghiệm. Chúng ta cũng hãy lưu ý một lần nữa rằng lực quán tính (giống như lực hấp dẫn) tỉ lệ với khối lượng của vật.

Năng lượng tiềm năng của một cơ thể trong lĩnh vực này. Bạn có thể làm điều này đối với trường lực quán tính, sử dụng sự tương tự với trường hấp dẫn của Trái đất. Điểm giống nhau của các trường này trước hết nằm ở chỗ tất cả các vật tự do trong hệ thống báo cáo có gia tốc đều chuyển động với cùng gia tốc, không phụ thuộc vào khối lượng của chúng.

Người ta biết rằng ở gần bề mặt Trái đất (nơi gia tốc áp suất tự do không đổi) một vật thể có khối lượng $m$ có thế năng

$$\Pi = mgx,$$

trong đó $x$ là chiều cao của vật thể so với bề mặt Trái đất (Hình 3). Nhân tiện, hãy lưu ý rằng đại lượng $\varphi = gx$ được gọi là thế năng trường hấp dẫn. Khi di chuyển một vật thể từ độ cao $x_1$ lên độ cao $x_2 < x_1$ trường sẽ hoạt động

$$A = mg (x_1 - x_2) = -(\Pi_2 - \Pi_1),$$

nghĩa là công bằng với thế năng của cơ thể. Công này làm tăng động năng của vật: thế năng giảm đi bao nhiêu thì động năng lại tăng lên một lượng như vậy, do đó tổng động năng và thế năng không đổi. Do đó tổng năng lượng

$$E = \frac{mv^2}{2} + mgx$$

không thay đổi và được duy trì trong quá trình chuyển động.

Nếu hệ thống báo cáo $K'$ tăng tốc theo hướng trục $x'$ (Hình 4) và

33

Mọi vật tự do đều “rơi” với gia tốc $a_0$, bằng gia tốc chuyển động của chính hệ, khi đó bằng cách tương tự biểu thức thế năng của một vật có khối lượng $m$ trong trường lực quán tính có thể viết như sau:

$$\Pi' = ma_0x'$$

trong đó $x'$ là tọa độ của vật thể trong hệ $K'$. Gọi đại lượng $\varphi' = a_0x'$ là thế năng của trường lực quán tính là hợp lý.

Khi đó tổng năng lượng của cơ thể đối với hệ thống báo cáo tăng tốc bằng

$$E' = \frac{mv'^2}{2} + ma_0x'$$

trong đó $v'$ là tốc độ của cơ thể. Hơn nữa, giá trị của tổng năng lượng luôn không đổi.

Lực quán tính ly tâm

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một hệ thống báo cáo quay với vận tốc góc không đổi $\omega$ quanh một trục cố định. Ví dụ, một hệ thống như vậy có thể là một đĩa quay. Chúng tôi đã nói rằng trong trường hợp phát triển hệ thống báo cáo, cần phải tính đến hai lực quán tính - ly tâm và quán tính. Chúng ta hãy giới hạn ở việc chỉ xem xét lực quán tính ly tâm. Lực này phụ thuộc vào tọa độ của vật thể và không phụ thuộc vào việc nó đứng yên hay chuyển động so với hệ thống báo cáo đã phát triển, do đó, để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng vật thể bất động.

Giả sử có một vật thể trên đĩa quay chính, vật này được giữ trên đĩa bằng một lò xo cách trục quay một khoảng $r$. Chúng ta hãy mô tả hành vi của anh ta từ quan điểm của vật thể đứng yên và di động có thể quan sát được.

Một người quan sát đứng yên (liên kết với hệ thống báo cáo quán tính) sẽ nói rằng vì vật chuyển động theo đường tròn nên nó có một gia tốc gọi là hướng tâm và có độ lớn bằng nhau.

$$a_\mu = \omega^2 r.$$

Gia tốc này của vật được truyền bởi lực đàn hồi của lò xo bị kéo căng $F_y$, vì không có vật nào khác trong mặt phẳng nằm ngang tác dụng lên vật (Hình 5). Theo định luật thứ hai của Newton

$$m a_\mu = F_y.$$

Theo quan điểm chuyển động quan sát được (gắn với hệ quán tính quay của báo cáo), vật sẽ kết thúc, do đó tổng các lực tác dụng lên vật đó bằng 0. Vì vậy, quan sát được điều này phải nói rằng có một lực cân bằng với lực đàn hồi (Hình 6). Đây là lực quán tính ly tâm $F_{и.ц}$, bằng

$$F_{и.ц} = -F_y = -m a_\mu.$$

Dấu trừ cho biết lực này có hướng ngược với gia tốc hướng tâm, nghĩa là dọc theo bán kính tính từ trục quay và có độ lớn bằng $F_{и.ц} = m\omega^2 r$.

34

Điều thích hợp cần lưu ý ở đây là có sự mơ hồ đáng tiếc trong thuật ngữ hiện tại. Thực tế là trong một hệ quy chiếu đứng yên, mặt phẳng mà một điểm vật chất chuyển động trong đường tròn tác dụng (theo định luật thứ ba của Newton) lên vật giữ nó trên đường tròn (trong ví dụ của chúng ta là lò xo) còn được gọi là mặt phẳng ly tâm. Người ta không nên nhầm lẫn ranh giới này với lực quán tính ly tâm (từ cuối cùng, quan trọng nhất này thường bị bỏ qua), tác dụng lên bất kỳ vật thể nào trong hệ quy chiếu quay (không quán tính). Hai sự hợp nhất này xuất hiện trong các hệ quy chiếu khác nhau và được áp dụng cho các cơ quan khác nhau (Hình 7).

Tiềm năng trường của phản ứng tổng hợp quán tính ly tâm

Hãy tính công mà trường quán tính ly tâm hợp nhất thực hiện để di chuyển một điểm vật chất có khối lượng $m$. Đặt tọa độ ban đầu của điểm (khoảng cách từ trục quay) bằng $r_1$ và tọa độ cuối cùng - $r_2$. Phản ứng tổng hợp quán tính ly tâm bằng $m\omega^2 r$ và được hướng từ trục quay.

Nếu $r_2 - r_1$ nhỏ thì chúng ta có thể viết

$$A = F_{и.ц} \Delta r = m\omega^2 \frac{r_1 + r_2}{2} \Delta r,$$

thay thế sliu ở giữa $F_{и.ц}$ bằng sliu ở điểm giữa. Thay $\Delta r$ cho $r_2 - r_1$, chúng ta nhận được

$$A = \frac{m\omega^2 r_2^2}{2} - \frac{m\omega^2 r_1^2}{2}.$$

Mặt khác, công luôn bằng độ biến thiên của thế năng mang dấu ngược lại, tức là

$$A = -(\Pi'_2 - \Pi'_1).$$

So sánh hai biểu thức của công, chúng ta nhận thấy rằng các đại lượng

$$\Pi' = -\frac{m\omega^2 r^2}{2}$$

có thể được gọi là thế năng của một điểm vật chất trong trường hợp quán tính ly tâm và các đại lượng

$$\varphi' = -\frac{\omega^2 r^2}{2}$$

theo tiềm năng của lĩnh vực này.

Khi đó, đối với hệ quy chiếu quay, tổng năng lượng của một điểm trong quá trình chuyển động bằng

$$E' = \frac{mv'^2}{2} - \frac{m\omega^2 r^2}{2}$$

và độ lớn của nó không đổi.

Tuy nhiên, chúng ta hãy nhớ lại rằng trong một hệ quy chiếu quay còn có một sự hợp nhất quán tính khác (lực Koryulis), lực này phụ thuộc vào tốc độ của điểm vật chất. Do đó, để viết phương trình bậc hai