Bài kiểm tra đầu vào tại VZMSH năm 1974. Lời giải bài toán

40

Kỳ thi đầu vào VZMSH năm 1974
Lời giải bài toán
A. L. Toom

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài viết thú vị nhất bài toán từ tác phẩm giới thiệu về VZMSH năm 1974 (xem «Kvant», 1974, Số 1, trang 73).

Nhiệm vụ 1. Ba pho mát khác chơi một số ván cờ và mỗi người chơi với nhau số lượng ván như nhau. Họ bắt đầu quyết định ai thắng.

Người thứ nhất nói: “Tôi có nhiều hơn các bạn ở trên”. Người thứ hai nói: “Tôi có ít hơn các bạn, đồ ngốc.” Nhưng khi đếm điểm thì hóa ra Thủ tướng ghi nhiều điểm nhất (thắng - 1 điểm; hòa - 1/2 điểm, dẫn trước - 0). Có thể có một cây anh túc? Nếu không, hãy chứng minh điều đó; nếu có, hãy cho một ví dụ.

Vâng, đó có thể là trường hợp. Đây là một ví dụ chứng minh điều này. Hãy để mỗi hai phô mai 7 trò chơi, và trong số đó:

người đầu tiên thắng hai ván thứ hai;

người thứ hai thắng ba ván trước người thứ ba;

người thứ ba thắng bốn ván đấu với người thứ ba.

Các trận còn lại đều kết thúc với tỷ số hòa.

Bài 2. Có ba số nguyên dương a, b, c sao cho a nhỏ hơn 1974, b nhỏ hơn c 1575 và a2 + b2 = c2 không?

Vâng, những con số như vậy tồn tại. Chúng ta có thể viết chúng ra đơn giản nhưng chúng ta sẽ giải thích cách tìm chúng và chứng tỏ rằng bộ ba số này là duy nhất.

Theo điều kiện,
$$\begin{cases} c^2 - b^2 = a^2, \\ c - b = 1575, \\ a < 1974. \end{cases}$$

Từ hệ thống này, rõ ràng $a^2$ chia hết cho 1575=3²·5²·7. Do đó $a$ chia hết cho 3·5·7=105.

Hãy đặt $a = 105$ k. Từ bất đẳng thức $a < 1974$ suy ra $1 \leq k \leq 18$. Sau đó
$$c = \frac{1}{2} (7k^2 + 1575),$$
$$b = \frac{1}{2} (7k^2 - 1575),$$
từ đâu $k > 15$. Với $k = 16$ và $k = 18$ số $b$ không phải là số nguyên. Chỉ còn lại $k = 17$. Sau đó
$$a = 1785, b = 224, c = 1799.$$

Dễ dàng chứng minh được các số này thỏa mãn điều kiện.

Bài 6. Điểm $D$ nằm trên đường phân giác của góc ACB. Chúng tôi đã chọn các điểm $A_1$ và $A_2$ trên tia AC, và các điểm $B_1$ và $B_2$ trên tia CB, giả sử rằng các điểm nguyên $A_1$, $C$, $B_1$, $D$ nằm trên cùng một đường tròn và các điểm nguyên $A_2$, $C$, $B_2$, $D$ nằm trên cùng một vòng tròn. Chứng minh rằng $A_1A_2 = B_1B_2$.

Chúng ta hãy giới thiệu các ký hiệu sau: $CD = a$, $\rightarrow ACD = \rightarrow BCD = \alpha$. Chúng ta cần thực hiện hai công trình tương tự. Để không viết cùng một thứ hai lần, chúng tôi giới thiệu biến $n$, biến này nhận hai giá trị: 1 và 2, đồng thời mô tả cấu trúc một lần, sử dụng biến $n$ (xem Hình 1). Hãy tiếp tục

41

Hình 1.

AC ngoài điểm C đến đoạn CEₙ = CBₙ. Chúng ta vẽ cung CBₙD cung DFₙ bằng cung CBₙ. Rõ ràng, ⇒CDFₙ = α và DFₙ = CBₙ = CEₙ. Do đó, khi tính đến sự tương ứng ⇒AₙCD = ⇒CDFₙ, chúng ta thu được CDFₙEₙ là hình bình hành và EₙFₙ = CD = α. Hơn nữa, ⇒CAₙFₙ = ⇒CDFₙ, vì chúng nằm trên một cung CFₙ; do đó ⇒EₙAₙFₙ = α.

Do đó, trong tam giác EₙFₙAₙ
EₙFₙ = FₙAₙ = α,
⇒EₙFₙAₙ = 180° - 2 α.

Có thể các tam giác E₁F₁A₁ và E₂F₂A₂ bằng nhau theo tiêu chí thứ nhất.

Hình 2.

Sau đó
E₁A₁ = E₂A₂,
B₁C + A₁C = B₂C + A₂C,
B₁C - B₂C = A₂C - A₁C,

từ đó B₁B₂ = A₁A₂, đây là điều cần chứng minh.

Nhiệm vụ 7. Số 1974 được viết ra để xây dựng. Cứ hai số được viết bởi hai chữ số liền kề (theo thứ tự viết) thì chia hết cho 17 hoặc 23.

a) Chữ số cuối cùng là 1. Chữ số đầu tiên là gì?
b) Chữ số đầu tiên là 9. Chữ số cuối cùng là bao nhiêu?

Thật thuận tiện để vẽ một “đồ thị” (sơ đồ các mũi tên), như trong Hình 2. Trong đó, một mũi tên từ số x đến số y có nghĩa là y có thể theo sau x, tức là hai số xy được chia cho 17 hoặc 23.

Ta thấy rằng chỉ có 5 đứng trước 1, chỉ có 8 đứng trước 5, v.v., mỗi chữ số xác định duy nhất số trước đó. Hơn nữa, nếu ta đi theo mũi tên ngược từ số 1 thì các số bắt đầu từ 6 được lặp lại với chu kỳ là 5. Do đó, nếu số thứ 1974 là 1 thì số thứ 1971 là 6, và từ đó có sự lặp lại với chu kỳ là 5 thì số thứ nhất cũng là 6.

Bây giờ hãy để số đầu tiên là 9. Hãy đi theo các mũi tên về phía trước. Sau 9 chỉ có thể là 2, sau 2 chỉ có 3, sau 3 chỉ có 4, sau 4 chỉ có 6, nhưng sau 6 có thể có cả 9 và 8.

Nhưng sau 8 thì phải có 5, 1, 7, nhưng sau 7 thì không có gì xuất hiện cả.

Do đó, số 8 không được xuất hiện sớm hơn vị trí thứ 1971 và cho đến lúc đó chỉ có số 9 có thể xuất hiện sau số 6. Số 6 xuất hiện lần đầu ở vị trí thứ 5 và sẽ được lặp lại ở vị trí thứ 5. Điều này có nghĩa là ở vị trí thứ 1970 sẽ có số 6. Năm 1971, như chúng tôi đã tìm ra, có thể có 9 hoặc 8, và ở vị trí thứ 1974 có thể có 4 hoặc 7.

Bài 8. Tứ giác lồi ABCD có chu vi bằng 10, các cạnh AB và CD song song.

42

Tìm độ dài các cạnh biết rằng các phân giác của góc A và B của góc phần tư chia cạnh CD thành ba phần bằng nhau, còn các phân giác của góc C và D chia cạnh AB thành ba phần bằng nhau.

Trong bài toán này có bốn trường hợp có thể xảy ra, được mô tả dưới dạng sơ đồ trong Hình 3, 4, 5, 6. Các hình này không mô phỏng độ dài thực tế của các cạnh hoặc độ lớn của các góc; chỉ hiển thị thứ tự giao điểm của các đường phân giác $AE$, $BH$, $CK$, $DM$ từ bên cạnh.

Trường hợp I (Hình 3). Hãy để $AM = MK = KB = a$. Lưu ý rằng $\Rightarrow AMD = \Rightarrow CDM = \Rightarrow ADM$. (*) Pozny $AD = a$. Tương tự như $BC = DE = EH = HC = a$. Chu vi tư thế theo phương pháp tứ giác bằng 8 $a$, từ đó $a = 5/4$. Đáp số cho trường hợp này và các trường hợp khác trong bảng.

Trường hợp II (Hình 4). Hãy để $AK = KM = MB = a$. Đẳng thức (*) lại đúng nên $AD = 2$ $a$, và tương tự $BC = DE = EH = HC = 2$ $a$. Chu vi là 13 $a$, do đó $a = \frac{10}{13}$.

Trường hợp III (Hình 5) tương tự trường hợp II.

Trường hợp IV (Hình 6). Hãy để $AK = KM = MB = a$. Sử dụng các đẳng thức góc giống nhau (*), chúng ta thu được: $AD = BC = 2$ $a$, $DE = HC = 2$ $a$, từ đó $DH = HE = EC = a$. Chu vi bằng 10 $a$, do đó $a = 1$.

Nhiệm vụ 9. a) Liệt kê tất cả các hình chữ nhật có thể có độ dài các cạnh lớn hơn 10 và có thể cắt thành 28 hình chữ nhật có kích thước $3 \times 5$.

6. Có thể điền vào một số hộp hình chữ nhật $a \times b \times c$, trong đó $a \geq b \geq c \geq 10$ bằng 28 thanh có kích thước $3 \times 5 \times 10$ không?

a) Hiển nhiên diện tích của hình chữ nhật đó là $28 \cdot 3 \cdot 5 = 420$. Độ dài các cạnh của nó là số nguyên. Điều này có nghĩa là chúng ta cần chia số $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ thành hai thừa số nguyên, mỗi thừa số đều lớn hơn 10. Xét tập hợp chia hết cho 7.

43

Hình 7.

Nó lớn hơn 10 và nhỏ hơn 42 (nếu không thì hệ số thứ hai không lớn hơn 10).

Chúng tôi nhận được bốn trường hợp: 1) $14 \times 30$; 2) $21 \times 20$; 3) $28 \times 15$; 4) $35 \times 12$.

Chúng tôi thấy rằng không có cạnh thẳng nào ngoài bốn cạnh được liệt kê là phù hợp. Bốn điều này có phù hợp không?

Lưu ý rằng nếu chiều dài một cạnh của hình chữ nhật chia hết cho 3 và cạnh kia cho 5 thì hình chữ nhật đó có thể được cắt thành hình chữ nhật có kích thước $3 \times 5$. Ngay sau đó, hình chữ nhật có kích thước $21 \times 20$ và $35 \times 12$ là phù hợp.

Đầu tiên chúng ta cắt hình chữ nhật có kích thước $14 \times 30$ thành hai hình chữ nhật: $9 \times 30$ và $5 \times 30$. Cả hai đều có thể được cắt thành hình chữ nhật $3 \times 5$, vì vậy hình chữ nhật $14 \times 30$ cũng phù hợp.

Hình chữ nhật có kích thước $28 \times 15$ có thể được cắt thành hình chữ nhật $25 \times 15$ và $3 \times 15$.

Điều này có nghĩa là cả bốn cạnh thẳng đều phù hợp.

6. Vâng, bạn có thể. Hãy đưa ra một ví dụ chứng minh điều này. Cho phép
   $$a = 20, b = 15, c = 14.$$
   Hãy cắt hộp có kích thước $20 \times 15 \times 14$ này thành hai: kích thước $20 \times 15 \times 9$ và $20 \times 15 \times 5$.

Trong mỗi hộp trong số hai hộp kết quả, một chiều được chia cho 3, chiều còn lại cho 5 và chiều thứ ba cho 10. Do đó, tất nhiên, mỗi chiều đều có thể được lấp đầy bằng các thanh $3 \times 5 \times 10$. Tổng cộng sẽ có 28 thanh.

Bài toán 10. Có số nào có chín chữ số viết là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 mà năm chữ số không được gạch bỏ để bốn chữ số còn lại theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần?

Vâng, nó tồn tại. Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh rằng số sau đây là phù hợp:

321 654 987.

Dễ dàng kiểm tra xem nếu bất kỳ hai chữ số nào của số này theo thứ tự giảm dần (câu chuyện nhỏ hơn ở bên phải câu chuyện lớn hơn), thì chúng nhất thiết phải thuộc cùng một bộ ba. Điều này có nghĩa là trong số này không thể chọn ba chữ số chính theo thứ tự giảm dần, vì tất cả các chữ số này phải nằm trong một bộ ba.

Nếu một số chữ số của số này xuất hiện theo cùng một thứ tự, thì chúng nhất thiết phải thuộc các bộ ba khác nhau. Vì chỉ cần ba số nên không thể chọn nhiều hơn ba số trên không theo cùng một thứ tự.

Có những ví dụ khác. Ví dụ: một số phù hợp:

638 159 274,

hãy tự mình chứng minh điều đó.

Bài toán 11. Có thể chỉ ra một tam giác bên trong có các cạnh 3, 4, 5, khoảng cách từ thành phần đó đến mỗi cạnh của tam giác: a) nhỏ hơn 2; b) nhỏ hơn 1?

a) Có, tâm của đường tròn nội tiếp là phù hợp (bán kính của nó là 1).

Đáp số đến câu hỏi 6): không, bạn không thể. Hãy chứng minh điều đó. Chúng ta hãy vẽ từ tâm O của đường tròn bán kính nội tiếp đến tất cả các điểm tiếp xúc trên một cạnh và biểu thị bằng số trực tiếp các phần mà tam giác của chúng ta sẽ được chia vào (xem Hình 7). Dễ dàng chứng minh rằng nếu điểm M mong muốn nằm trong phần I (kể cả đường viền) thì khoảng cách từ M đến AB không nhỏ hơn 1. Tương tự, nếu M thuộc phần II thì khoảng cách từ M đến BC không nhỏ hơn 1, và nếu M thuộc phần III thì khoảng cách từ M đến AC không nhỏ hơn 1.