Bài toán M276—M280; F288—F292

44

Vấn đề của Kvant

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 10 năm 1974 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M276, M277” hoặc “… F288”.
Lời giải bài toán cho từng môn học [toán học và vật lý], cũng như các ghi chú bài toán mới trong các phong bì riêng biệt. Ngoài ra, vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi hứa sẽ cho biết ai đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. trong số bài toán này đang được xuất bản lần đầu tiên. Các dấu hoa thị phù nề khó nhất.
Trong số này, cũng như số trước, “Bài toán «Kvant» bao gồm bài toán của Olympic toàn Liên minh mới nhất và các khái quát hóa của chúng. Chúng tôi sẽ đặt toàn bộ bài toán Olympic và câu chuyện chi tiết về loại cuối cùng ở vị trí thứ 10 cho năm nay.

Bài toán

M276—M280; F288—F292

M276. Cho hình vuông ABCD. Điểm P và Q lần lượt nằm trên cạnh AB và BC sao cho BP = BQ. Gọi H là đáy của đường vuông góc rơi từ điểm B lên đoạn PC. Chứng minh góc DHQ là góc vuông. (10 lớp)

N. V. Vasiliev

M277. Một số chấm màu đỏ và một số chấm màu xanh được chỉ định. Một số trong số chúng được kết nối bởi các phân đoạn. Hãy gọi một điểm là “đặc biệt” nếu hơn một nửa số điểm kết nối với nó có màu khác với màu của nó. Nếu có ít nhất một điểm đặc biệt thì điểm đặc biệt đó sẽ được chọn và sơn lại bằng màu khác. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước sẽ không còn điểm kỳ dị nào. (10 lớp)

A. M. Steinberg

M278. a) Mỗi ​​cạnh của hình lục giác lồi có chiều dài lớn hơn 1. Nó có luôn chứa một đường chéo có chiều dài lớn hơn 2 không?

6. Trong hình lục giác lồi ABCDEF, độ dài các đường chéo AD, BE và CF lớn hơn 2. Có phải nó luôn có cạnh dài hơn 1 không? (8 lớp)

N. Kh. Adakhanov

M279. Trên n thẻ xếp thành vòng tròn có viết các số, mỗi số bằng +1 hoặc -1. Trong số câu hỏi nhỏ nhất người ta có thể xác định chắc chắn tích của tất cả n số, nếu trong một câu hỏi người ta có thể tìm ra

a) tích của các số trên ba tấm thẻ bất kỳ?

6. tích của các số trên ba tấm thẻ bất kỳ nằm trên một hàng? (n là số tự nhiên lớn hơn 3). (9 lớp)

Yu. I. Ionin

45

M280*. Cho tam giác ABC có diện tích 1. Gọi $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC và AB. Diện tích nhỏ nhất mà phần chung của tam giác $A_1B_1C_1$ và KLM có thể có là bao nhiêu nếu các điểm K, L và M lần lượt nằm trên các đoạn $AB_1, CA_1$ và $BC_1$? (10 lớp)

B. M. Ioliev

F288. Tàu C (Hình 1) giao tiếp với không gian xung quanh thông qua một lỗ nhỏ. Nhiệt độ của khí trong không gian xung quanh T, áp suất p. Khí này loãng đến mức các phân tử khi bay vào và ra khỏi bình vượt quá kích thước của lỗ sẽ không trở thành nhau. Bình được duy trì ở nhiệt độ 4 T. Áp suất trong bình sẽ là bao nhiêu? (9 lớp)

F289. Một thanh cứng có chiều dài 2 l trượt dọc theo các cạnh của một góc vuông, ở giữa thanh có một hạt có khối lượng m được cố định. Tốc độ của điểm B không đổi và bằng v (Hình 2). Xác định lực mà hạt tác dụng lên thanh tại thời điểm $\alpha = 45^\circ$. (8 lớp)

Hình 1. Hình 2.

F290. Ống chứa một lò xo có gắn một quả cầu, có thể quay quanh một trục thẳng đứng đi qua đầu ống. Đầu tự do của lò xo được gắn vào ống (Hình 3). Đồ thị của lực đàn hồi F của lò xo theo biến dạng được thể hiện trên Hình 4.

Vẽ đồ thị gần đúng về sự phụ thuộc của độ dịch chuyển của quả bóng dọc theo ống vào vận tốc góc khi nó tăng từ 0 đến một giá trị như

khi $F = 5$ n. Mối quan hệ này sẽ thay đổi như thế nào khi vận tốc góc giảm? $l_0 = 2$ xem (lớp 8-9)

F291. Hai tụ điện A và B giống hệt nhau, mỗi tụ có điện dung C và một cuộn dây có độ tự cảm L được nối như trên Hình 5.

Hình 5. Hình 6.

Tại thời điểm ban đầu, công tắc K mở, tụ A được tích điện đến hiệu điện thế U. Điện tích của tụ B và cường độ dòng điện trong cuộn dây bằng không. Xác định giá trị dòng điện cực đại trong cuộn dây sau khi đóng công tắc. (10 lớp)

F292. Từ một điểm ở dưới cùng của một bàn ủi tròn nằm ngang, các quả bóng phân tán theo các góc nhỏ tới máy phát sắt với vận tốc hình chiếu bằng nhau dọc theo máy phát này (Hình 6). Những quả bóng này có gặp nhau không? (10 lớp)