Bài toán

35

kona. Newton trong hệ thống này, việc biết biểu thức của năng lượng tổng cộng là chưa đủ. Nhưng điều này sẽ được thảo luận trong một bài viết khác.

Để kết luận, chúng tôi trình bày một số bài toán và mời người đọc nhập tất cả dữ liệu ban đầu cần thiết cho lời giải những bài toán này.

Bài tập

1. Trên kệ của xe ngựa có một vật nặng được buộc chặt vào tường bằng một chiếc lò xo. Khi đoàn tàu bắt đầu tăng tốc thì trọng lượng của lò xo bắt đầu dao động. Tìm chu kỳ dao động của nó.

2. Lần này trọng lượng rơi vào sợi dây. Khi tàu tăng tốc, anh bắt đầu lưỡng lự. Tìm chu kỳ dao động và vị trí cân bằng của ma trận này.

3. Một ống gắn vào xe và uốn cong một góc vuông chứa nước chứa đầy nước uốn cong theo phương ngang. Nước dâng lên ở độ cao bao nhiêu khi xe bắt đầu chuyển động với tốc độ nhanh hơn?

4. Chiếc vali nằm trên kệ được buộc bằng một sợi dây. Với gia tốc nào thì sợi dây sẽ đứt? Việc cọ xát vali lên kệ có ảnh hưởng như thế nào?

5. Lò xo và vật nặng quay với vận tốc góc $\omega$. Trọng lượng sẽ dao động như thế nào?

6. Có oxy trong một bình hình trụ. Tàu quay quanh trục của nó. Áp suất khí thay đổi như thế nào dọc theo bán kính của thùng chứa?

Nhiệm vụ

1. Bên phải và bên trái số 0, viết các số của dãy tự nhiên:
   …6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7…

Sau đó, đếm từ số bên phải, gạch bỏ mọi số thứ ba (cả bên trái và bên phải), đếm từ bên trái - mọi số thứ năm, tính từ hai bên phải - mọi số thứ bảy, tính từ hai bên trái - mọi số thứ chín, v.v. Chứng minh rằng kết quả là tất cả các số $k$ sao cho $4k+1$ là số nguyên tố sẽ không bị gạch chéo ở bên trái, và tất cả các số $m$ sao cho $4m-1$ sẽ không bị gạch chéo ở bên phải.

2. Trên các cạnh $AB$, $BC$ và $AC$ của tam giác $ABC$ các điểm $L_1$, $M_1$, $N_1$ và $L_2$, $M_2$, $N_2$ được chọn tương ứng, và do đó
   $$\frac{AL_1}{L_1B} = \frac{BL_2}{L_2A},$$
   $$\frac{BM_1}{M_1C} = \frac{CM_2}{M_2B},$$
   $$\frac{CN_1}{N_1A} = \frac{AN_2}{N_2C}.$$

Chứng minh rằng diện tích của các tam giác $L_1M_1N_1$ và $L_2M_2N_2$ bằng nhau.

3. Các chiều cao $AD$, $BE$ và $CF$ bị bỏ qua khỏi các cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
   a) diện tích adb của một tam giác có các đỉnh là trung điểm $H$, $K$ và $L$ của các đường cao được vẽ bằng $1/4$ diện tích của tam giác $DEF$;

6. chúng ta hãy biểu thị bằng $\theta$, $\varphi$ sự tương ứng của các góc (được tính ngược chiều kim đồng hồ) tạo thành các đường thẳng $HK$ và $AB$, $KL$ và $BC$, $LM$ và $CA$; thì đẳng thức là đúng
   $(\cos^2 A + \cos^2 B) \ tg \theta +$
   $+ (\cos^2 B + \cos^2 C) \ tg \varphi +$
   $+ (\cos^2 C + \cos^2 A) \times$
   $\times \ tg \psi = 0.$